1. Técnicas de integração — Cálculo II

Objetivos de aprendizagem

Enunciar e demonstrar a regra da substituição a partir da regra da cadeia e do Teorema Fundamental do Cálculo.
Enunciar e demonstrar a fórmula de integração por partes a partir da regra do produto, e aplicá-la com a heurística LIATE.
Integrar potências e produtos de funções trigonométricas usando identidades pitagóricas e de ângulo duplo.
Resolver integrais com $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ e $\sqrt{x^2-a^2}$ por substituição trigonométrica, com o triângulo de referência.
Decompor funções racionais em frações parciais (fatores lineares simples e repetidos, quadráticos irredutíveis) e integrar cada termo.
Reconhecer, diante de um integrando não rotulado, qual técnica (ou combinação de técnicas) se aplica, e identificar quando nenhuma delas produz uma primitiva elementar.

1.1 Substituição

O Teorema Fundamental do Cálculo (Cálculo I, Unidade 11) reduz o cálculo de $\int_a^b f$ a encontrar uma primitiva de $f$ . Mas encontrar primitivas é, em geral, mais difícil do que derivar: a derivada de uma combinação de funções elementares é sempre elementar (basta aplicar as regras mecanicamente), enquanto a primitiva pode não ter expressão em termos de funções elementares. Esta unidade estuda os métodos que revertem, quando possível, cada regra de derivação. A substituição reverte a regra da cadeia.

TeoremaRegra da substituição

Sejam

g

derivável com

g'

contínua em

[a, b]

f

contínua num intervalo contendo a imagem de

g

. Então

\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.

Em particular, para a primitiva indefinida, se

F' = f

, então

\displaystyle\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C

Demonstração

Como

f

é contínua, ela possui primitiva

F

(Cálculo I, Unidade 11: toda função contínua num intervalo é integrável e

F(y) = \int_{g(a)}^y f

é derivável com

F' = f

). Defina

H(x) = F\big(g(x)\big)

. Pela regra da cadeia,

H'(x) = F'\big(g(x)\big)g'(x) = f\big(g(x)\big)g'(x)

. Logo

H

é primitiva de

x \mapsto f(g(x))g'(x)

, e pelo Teorema Fundamental

\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = H(b) - H(a) = F\big(g(b)\big) - F\big(g(a)\big) = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du,

usando o Teorema Fundamental outra vez na última igualdade, agora para a variável

u

\blacksquare

ObservaçãoComo escolher $u = g(x)$

Procure, no integrando, uma subexpressão

g(x)

cuja derivada

g'(x)

também apareça (a menos de constante multiplicativa) como fator. Tipicamente: o que está dentro de um parêntese elevado a uma potência, dentro de uma raiz, no expoente de uma exponencial, ou no argumento de uma função trigonométrica ou logarítmica. A troca

u = g(x)

du = g'(x)\,dx

substitui todas as ocorrências de

x

, inclusive o "

dx

"; se a integral é definida, os limites de integração também mudam, de

x = a, b

para

u = g(a), g(b)

— dispensando voltar à variável

x

ao final.

Exemplo resolvidoSubstituição simples, integral indefinida

Calcule

\displaystyle\int x\,\sqrt{1 + x^2}\;dx

Seja $u = 1 + x^2$ ; então $du = 2x\,dx$ , ou seja, $x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du$ .
$\displaystyle\int x\sqrt{1+x^2}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\tfrac12\,du = \tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}u^{3/2} + C = \tfrac13 u^{3/2} + C$ .
Voltando a $x$ : $\tfrac13(1+x^2)^{3/2} + C$ .

Exemplo resolvidoSubstituição com mudança de limites

Calcule

\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 x\,\sin x\;dx

usando o Teorema com troca de limites.

Seja $u = \cos x$ ; $du = -\sin x\,dx$ , logo $\sin x\,dx = -du$ .
Limites: $x=0 \Rightarrow u = \cos 0 = 1$ ; $x = \pi/2 \Rightarrow u = \cos(\pi/2) = 0$ .
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\sin x\,dx = \int_1^0 u^3(-du) = \int_0^1 u^3\,du = \tfrac14$ .

ContraexemploPor que a substituição às vezes falha

A substituição só simplifica quando a derivada de

g

está presente (a menos de constante). Em

\int \sqrt{1+x^2}\,dx

(sem o fator

x

), a troca

u = 1+x^2

deixa

du = 2x\,dx

sem candidato para

x\,dx

isolado — é preciso outra técnica (Unidade 1, seção 4: substituição trigonométrica).

1.2 Integração por partes

Assim como a substituição reverte a regra da cadeia, a integração por partes reverte a regra do produto. Ela é o método de escolha quando o integrando é um produto de funções de natureza diferente — um polinômio e uma exponencial, um logaritmo isolado, um produto de uma função algébrica por uma trigonométrica — em que nenhuma das duas é a derivada (a menos de constante) da outra.

TeoremaFórmula de integração por partes

u

v

são deriváveis com

u'

v'

contínuas, então

\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)\,u'(x)\,dx,

escrita de forma abreviada como

\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du

. Na forma definida,

\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b v\,u'\,dx

Demonstração

Pela regra do produto (Cálculo I, Unidade 6),

(uv)' = u'v + uv'

, isto é,

uv' = (uv)' - u'v

. Como

u'

v'

contínuas implicam

(uv)'

contínua, integrando ambos os lados e usando que

uv

é primitiva de

(uv)'

(Teorema Fundamental):

\int u\,v'\,dx = \int (uv)'\,dx - \int u'v\,dx = uv - \int v\,u'\,dx. \qquad\blacksquare

ObservaçãoEscolhendo $u$ e $dv$ — a heurística LIATE

A escolha de

u

deve tornar

\int v\,du

mais simples que

\int u\,dv

. Uma heurística útil (não um teorema) é priorizar como

u

, nesta ordem, funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas, Exponenciais (LIATE): quanto mais "alto" na lista, mais provável que sua derivada seja mais simples que ela própria — enquanto

dv

deve ser facilmente integrável.

Exemplo resolvidoProduto polinômio × exponencial

Calcule

\displaystyle\int x\,e^x\,dx

Por LIATE, $u = x$ (algébrica) e $dv = e^x\,dx$ ; então $du = dx$ e $v = e^x$ .
$\displaystyle\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$ .

Exemplo resolvidoLogaritmo isolado

Calcule

\displaystyle\int \ln x\;dx

Escreva $\ln x = (\ln x)\cdot 1$ ; tome $u = \ln x$ , $dv = dx$ . Então $du = \tfrac1x\,dx$ , $v = x$ .
$\displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\tfrac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$ .

TeoremaFórmula de redução

Para

n \ge 1

inteiro,

\displaystyle\int x^n e^x\,dx = x^n e^x - n\int x^{n-1}e^x\,dx

Demonstração

Tome

u = x^n

dv = e^x\,dx

; então

du = nx^{n-1}\,dx

v = e^x

, e a fórmula de partes dá diretamente o resultado.

\blacksquare

Aplicada repetidamente, reduz

\int x^n e^x

\int e^x

n

passos — uma técnica de redução de grau análoga às que reaparecem na Unidade 2 (regra de Simpson) e na Unidade 6 (Taylor).

1.3 Integrais trigonométricas

Produtos e potências de funções trigonométricas — $\int \sin^m x\cos^n x\,dx$ , $\int \tan^m x \sec^n x\,dx$ — não se resolvem por uma única fórmula, mas por uma família de estratégias que combina as identidades pitagóricas ( $\sin^2x + \cos^2x = 1$ , $1+\tan^2x=\sec^2x$ ) com a substituição da seção anterior, escolhendo qual fator "reservar" como $du$ .

TeoremaPotências de seno e cosseno

m

é ímpar, escreva

\sin^m x = \sin^{m-1}x\cdot\sin x = (1-\cos^2x)^{(m-1)/2}\sin x

e substitua

u = \cos x

; simetricamente se

n

é ímpar. Se

m

n

são ambos pares, use as identidades de ângulo metade

\sin^2x = \tfrac{1-\cos2x}{2}

\cos^2x = \tfrac{1+\cos2x}{2}

para reduzir o grau antes de integrar.

Demonstração

m = 2k+1

, então

\sin^m x\cos^n x = (\sin^2x)^k\cos^n x\,\sin x = (1-\cos^2x)^k\cos^n x\,\sin x

, um polinômio em

\cos x

multiplicado por

\sin x\,dx = -du

(com

u=\cos x

): a substituição da seção 1 aplica-se diretamente, pois o "resto" da derivada de

u

está presente. Quando

m

n

são pares, nenhum fator

\sin x

\cos x

isolado sobra para desempenhar o papel de

du

; a saída é abaixar o grau algebricamente, pelas identidades de ângulo duplo (que decorrem de

\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x = 2\cos^2x - 1

), até restar um caso ímpar ou uma integral elementar.

\blacksquare

Exemplo resolvidoPotência ímpar

Calcule

\displaystyle\int \sin^3x\,\cos^2x\;dx

$\sin^3x = (1-\cos^2x)\sin x$ . Seja $u=\cos x$ , $du=-\sin x\,dx$ .
$\displaystyle\int(1-u^2)u^2(-du) = \int(u^4-u^2)\,du = \tfrac{u^5}{5} - \tfrac{u^3}{3} + C$ .
$= \tfrac15\cos^5x - \tfrac13\cos^3x + C$ .

Exemplo resolvidoPotências pares

Calcule

\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2x\;dx

$\sin^2x = \tfrac{1-\cos2x}{2}$ .
$\displaystyle\int_0^\pi \tfrac{1-\cos2x}{2}\,dx = \tfrac12\Big[x - \tfrac{\sin2x}{2}\Big]_0^\pi = \tfrac12(\pi - 0) = \tfrac{\pi}{2}$ .

ObservaçãoTangente e secante

Para

\int \tan^m x\sec^n x\,dx

a estratégia é análoga, usando

1+\tan^2x=\sec^2x

: se

n

é par, reserve

\sec^2x\,dx = du

com

u=\tan x

; se

m

é ímpar, reserve

\sec x\tan x\,dx = du

com

u=\sec x

. Os casos "

m

par e

n

ímpar" exigem integração por partes (ex.:

\int \sec^3x\,dx

, que reaparece na Unidade 1, seção 4, e na Unidade 4 ao calcular comprimentos de arco de parábolas).

1.4 Substituição trigonométrica

Quando o integrando contém $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ ou $\sqrt{x^2-a^2}$ , nenhuma substituição algébrica elimina a raiz — mas uma identidade pitagórica sim. A ideia é substituir $x$ por uma função trigonométrica de um novo parâmetro $\theta$ , escolhida para que a expressão sob a raiz se torne um quadrado perfeito.

TeoremaAs três substituições trigonométricas

Seja

a>0

\sqrt{a^2-x^2}: \quad x=a\sin\theta,\ \theta\in\Big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\Big] \ \Rightarrow\ \sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta.

\sqrt{a^2+x^2}: \quad x=a\tan\theta,\ \theta\in\Big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\Big) \ \Rightarrow\ \sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta.

\sqrt{x^2-a^2}: \quad x=a\sec\theta,\ \theta\in\Big[0,\tfrac{\pi}{2}\Big)\cup\Big[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\Big) \ \Rightarrow\ \sqrt{x^2-a^2}=a\tan\theta.

Em cada caso, a restrição de

\theta

torna

x=x(\theta)

injetiva (Cálculo I, Unidade 5), o que garante

\theta = x^{-1}

, necessário para voltar à variável original.

Demonstração

No primeiro caso,

a^2 - x^2 = a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2(1-\sin^2\theta) = a^2\cos^2\theta

; como

\theta\in[-\pi/2,\pi/2]

\cos\theta\ge0

e a raiz quadrada é

a\cos\theta

sem valor absoluto. No segundo,

a^2+x^2 = a^2(1+\tan^2\theta)=a^2\sec^2\theta

, e

\sec\theta>0

nesse intervalo. No terceiro,

x^2-a^2 = a^2(\sec^2\theta-1)=a^2\tan^2\theta

, com

\tan\theta\ge0

nos ramos escolhidos. A troca de variável segue então da regra da substituição (seção 1), com

dx = a\cos\theta\,d\theta

(ou

a\sec^2\theta\,d\theta

, ou

a\sec\theta\tan\theta\,d\theta

, respectivamente).

\blacksquare

ObservaçãoVoltar à variável $x$ : o triângulo de referência

Depois de integrar em

\theta

, é preciso reescrever o resultado em

x

. O meio mais seguro é um triângulo retângulo com um ângulo

\theta

cujos lados codificam a substituição escolhida: por exemplo, para

x=a\sin\theta

, o cateto oposto a

\theta

mede

x

e a hipotenusa mede

a

, de modo que o cateto adjacente é

\sqrt{a^2-x^2}

\cos\theta=\sqrt{a^2-x^2}/a

\tan\theta = x/\sqrt{a^2-x^2}

etc. — sem refazer trigonometria a cada vez.

Interpretação geométrica de

x=a\sin\theta

: o ponto sobre o arco de raio

a

tem abscissa

x=a\sin\theta

e ordenada

\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta

Exemplo resolvidoCaso $\sqrt{a^2-x^2}$

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}}

$a=2$ ; $x=2\sin\theta$ , $dx=2\cos\theta\,d\theta$ , $\sqrt{4-x^2}=2\cos\theta$ .
$\displaystyle\int \frac{2\cos\theta\,d\theta}{4\sin^2\theta\cdot2\cos\theta} = \frac14\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac14\cot\theta + C$ .
Triângulo: cateto oposto $x$ , hipotenusa $2$ , cateto adjacente $\sqrt{4-x^2}$ ; $\cot\theta = \sqrt{4-x^2}/x$ .
Resultado: $\displaystyle -\frac{\sqrt{4-x^2}}{4x}+C$ .

Exemplo resolvidoCaso $\sqrt{x^2-a^2}$

Calcule

\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\;dx

x>3

$a=3$ ; $x=3\sec\theta$ , $dx=3\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ , $\sqrt{x^2-9}=3\tan\theta$ .
$\displaystyle\int \frac{3\tan\theta\cdot3\sec\theta\tan\theta}{3\sec\theta}\,d\theta = 3\int\tan^2\theta\,d\theta = 3\int(\sec^2\theta-1)\,d\theta = 3\tan\theta-3\theta+C$ .
Triângulo: hipotenusa $x$ , cateto adjacente $3$ , cateto oposto $\sqrt{x^2-9}$ ; $\tan\theta=\sqrt{x^2-9}/3$ , $\theta=\sec^{-1}(x/3)$ .
Resultado: $\sqrt{x^2-9} - 3\sec^{-1}(x/3) + C$ .

1.5 Frações parciais

Toda função racional $P(x)/Q(x)$ com coeficientes reais pode, em princípio, ser integrada: o método das frações parciais a reescreve como soma de termos elementares — frações com denominador linear ou quadrático irredutível —, cada um integrável pelas técnicas já vistas (logaritmo, arco-tangente, ou substituição).

DefiniçãoFração própria e divisão polinomial

P/Q

é própria se

\deg P < \deg Q

. Se for imprópria, a divisão de polinômios dá

P(x)/Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x)

, com

S

polinômio e

R/Q

própria;

S

integra-se termo a termo e apenas

R/Q

exige o método.

TeoremaDecomposição em frações parciais

Seja

R/Q

própria, com

Q

fatorado em fatores lineares e quadráticos irredutíveis reais (Teorema Fundamental da Álgebra). Então

R/Q

é soma, de modo único, de termos:

\frac{A}{(px+q)^k} \quad\text{para cada fator linear } (px+q)^k, \qquad \frac{Bx+C}{(rx^2+sx+u)^j} \quad\text{para cada fator quadrático irredutível } (rx^2+sx+u)^j,

com

k

j

variando de

1

até a multiplicidade do fator em

Q

, e

A, B, C

constantes reais a determinar.

Demonstração

Existência e unicidade decorrem de um resultado de álgebra (divisão euclidiana de polinômios e o fato de

\mathbb{R}[x]

ser um domínio de fatoração única): a demonstração completa pertence a um curso de Álgebra e é aqui assumida (Iezzi; Murakami; Machado, 2013, tratam o caso elementar). O que cabe ao Cálculo é o procedimento: igualando

R(x)

à soma dos numeradores sobre o denominador comum

Q(x)

, obtém-se uma identidade polinomial; comparando coeficientes (ou substituindo valores convenientes de

x

, inclusive as raízes de

Q

) resulta um sistema linear em

A, B, C, \ldots

com solução única — o que verifica a decomposição em cada caso concreto.

\blacksquare

Exemplo resolvidoFatores lineares distintos

Calcule

\displaystyle\int \frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}\;dx

$\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ . Multiplicando por $(x-1)(x+2)$ : $3x+5 = A(x+2)+B(x-1)$ .
$x=1$ : $8=3A \Rightarrow A=8/3$ . $x=-2$ : $-1=-3B \Rightarrow B=1/3$ .
$\displaystyle\int\Big(\frac{8/3}{x-1}+\frac{1/3}{x+2}\Big)dx = \tfrac83\ln|x-1|+\tfrac13\ln|x+2|+C$ .

Exemplo resolvidoFator quadrático irredutível

Calcule

\displaystyle\int \frac{2x-1}{x(x^2+4)}\;dx

$\dfrac{2x-1}{x(x^2+4)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4}$ . Logo $2x-1 = A(x^2+4)+(Bx+C)x$ .
$x=0$ : $-1=4A \Rightarrow A=-1/4$ . Comparando $x^2$ : $0=A+B\Rightarrow B=1/4$ . Comparando $x^1$ : $2=C$ .
$\displaystyle\int\Big(\frac{-1/4}{x}+\frac{x/4+2}{x^2+4}\Big)dx = -\tfrac14\ln|x|+\tfrac18\ln(x^2+4)+\arctan\tfrac{x}{2}+C$ , usando substituição no primeiro termo de $\frac{x}{x^2+4}$ e a primitiva padrão de $\frac{1}{x^2+4}$ .

1.6 Estratégia de integração

As seções anteriores tratam cada técnica isoladamente; um integrando real raramente anuncia qual delas usar. Esta seção fecha a unidade com um procedimento de reconhecimento — e com o limite dessa busca: existem funções elementares cuja primitiva, provadamente, não é elementar.

Se o integrando tem...	experimente...
uma subexpressão cuja derivada aparece como fator	substituição (seção 1)
produto de funções de natureza distinta (polinômio × exponencial, log isolado)	partes (seção 2)
potências de seno e cosseno, ou de tangente e secante	integrais trigonométricas (seção 3)
$\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ ou $\sqrt{x^2-a^2}$	substituição trigonométrica (seção 4)
quociente de polinômios	divisão + frações parciais (seção 5)
nenhum padrão reconhecível	tentar simplificar algebricamente, ou reconhecer que a primitiva pode não ser elementar

ContraexemploNem toda função elementar tem primitiva elementar

O Teorema de Liouville, do século XIX, mostra que integrandos como

e^{-x^2}

\dfrac{\sin x}{x}

\dfrac{1}{\ln x}

não possuem primitiva expressável por soma, produto, composição e potência de funções elementares — por mais que se tente substituição, partes ou frações parciais. Isso não significa que a integral definida não exista (o Teorema Fundamental do Cálculo, Unidade 11, garante que existe sempre que o integrando é contínuo): significa apenas que ela não se escreve em "forma fechada" com as funções já conhecidas. É o que justifica, nas Unidades 2 e 3, respectivamente, os métodos numéricos de aproximação e a análise de convergência sem cálculo explícito de primitiva.

ObservaçãoCeticismo produtivo

Diante de um integrando novo, a pergunta certa não é "qual fórmula memorizada se aplica?", mas "que estrutura algébrica ou trigonométrica este integrando revela, e que técnica dessa estrutura eu já demonstrei nesta unidade?". Essa disposição — reconhecer estrutura, não recordar receita — é o que transfere para integrandos nunca vistos antes.

Síntese

Substituição $u=g(x)$ : reverte a regra da cadeia; procure, no integrando, uma subexpressão cuja derivada também apareça.
Partes $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ : reverte a regra do produto; use LIATE para escolher $u$ .
Trigonométricas: potência ímpar reserva um fator para $du$ ; potências pares usam ângulo duplo.
Substituição trigonométrica: $x=a\sin\theta$ para $\sqrt{a^2-x^2}$ ; $x=a\tan\theta$ para $\sqrt{a^2+x^2}$ ; $x=a\sec\theta$ para $\sqrt{x^2-a^2}$ .
Frações parciais: divida se imprópria; decomponha em termos de fatores lineares e quadráticos irredutíveis do denominador.
Nem toda função elementar tem primitiva elementar (Teorema de Liouville) — limite que justifica a integração numérica (Unidade 2).

Exercícios

48 exercícios autorais, organizados por tópico e em três níveis (Fundamental, Intermediário, Aprofundamento): 18 resolvidos, que mostram o raciocínio completo, e 30 propostos, para você resolver antes de conferir a resolução completa. Os tipos de questão foram escolhidos a partir de obras de referência (lista ao final); dados, redação e resoluções são próprios.

1.1 Substituição

Exercício 1.1.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\,dx

Resolução

Seja $u=x^2$ , $du=2x\,dx$ .
$\int \cos u\,du = \sin u + C$ .

Resposta: $\sin(x^2)+C$

Tipo de questão observado em: Anton, Bivens e Davis (2014).

Exercício 1.1.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx

Resolução

Seja $u=x^2$ , $du=2x\,dx$ ; limites: $x=0\Rightarrow u=0$ , $x=1\Rightarrow u=1$ .
$\tfrac12\int_0^1 e^u\,du = \tfrac12[e^u]_0^1$ .

Resposta: $\tfrac12(e-1)$

Tipo de questão observado em: Stewart (2016).

Exercício 1.1.3

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx

Resolução

Seja $u=\ln x$ , $du = dx/x$ .
$\int u\,du = u^2/2 + C$ .

Resposta: $\tfrac12(\ln x)^2+C$

Exercício 1.1.4

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int x^3\sqrt{x^4+1}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac16(x^4+1)^{3/2}+C$

Exercício 1.1.5

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \sin(3x)\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $-\tfrac13\cos(3x)+C$

Exercício 1.1.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int_1^2 \frac{2x+1}{x^2+x+3}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\ln(9/5)$

Exercício 1.1.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int e^{\cos x}\sin x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $-e^{\cos x}+C$

Exercício 1.1.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $-\dfrac{1}{2(1+x^2)}+C$

1.2 Integração por partes

Exercício 1.2.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int x\sin x\,dx

Resolução

$u=x$ , $dv=\sin x\,dx$ ; $du=dx$ , $v=-\cos x$ .
$\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx$ .

Resposta: $-x\cos x + \sin x + C$

Tipo de questão observado em: Stewart (2016).

Exercício 1.2.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int x^2 e^x\,dx

pela fórmula de redução.

Resolução

$u=x^2$ , $dv=e^x dx$ : $\int x^2e^x = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx$ .
$\int xe^x\,dx = xe^x - e^x$ (Exemplo da seção 2).

Resposta: $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$

Exercício 1.2.3

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx

Resolução

$u=x$ , $dv=\cos x\,dx$ ; $du=dx$ , $v=\sin x$ .
$\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$ .
Avaliar de $0$ a $\pi$ : $(\pi\sin\pi+\cos\pi) - (0+\cos0) = -1-1$ .

Resposta: $-2$

Exercício 1.2.4

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int x\ln x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{x^2}{4}+C$

Exercício 1.2.5

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \arctan x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $x\arctan x - \tfrac12\ln(1+x^2)+C$

Exercício 1.2.6

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int e^x\sin x\,dx

(integração cíclica: aplique partes duas vezes e isole a integral).

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac12 e^x(\sin x - \cos x)+C$

Exercício 1.2.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\dfrac{2e^3+1}{9}$

Exercício 1.2.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int x\sec^2x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $x\tan x + \ln|\cos x|+C$

1.3 Integrais trigonométricas

Exercício 1.3.1

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \cos^3x\,dx

Resolução

$\cos^3x=\cos x(1-\sin^2x)$ ; $u=\sin x$ , $du=\cos x\,dx$ .
$\int(1-u^2)\,du = u - u^3/3$ .

Resposta: $\sin x - \tfrac13\sin^3x + C$

Exercício 1.3.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \sin^2x\cos^2x\,dx

Resolução

$\sin^2x\cos^2x = \tfrac14\sin^2(2x) = \tfrac18(1-\cos4x)$ .
$\int \tfrac18(1-\cos4x)\,dx = \tfrac{x}{8} - \tfrac{\sin4x}{32}$ .

Resposta: $\tfrac{x}{8} - \tfrac{\sin4x}{32}+C$

Tipo de questão observado em: Stewart (2016).

Exercício 1.3.3

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \tan^2x\sec^2x\,dx

Resolução

$u=\tan x$ , $du=\sec^2x\,dx$ .
$\int u^2\,du = u^3/3$ .

Resposta: $\tfrac13\tan^3x+C$

Exercício 1.3.4

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \sin^3x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $-\cos x + \tfrac13\cos^3x + C$

Exercício 1.3.5

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^4x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $3\pi/16$

Exercício 1.3.6

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \tan^4x\sec^2x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac15\tan^5x+C$

Exercício 1.3.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \sec^4x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tan x + \tfrac13\tan^3x+C$

Exercício 1.3.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \sin^2x\cos^3x\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac13\sin^3x - \tfrac15\sin^5x+C$

1.4 Substituição trigonométrica

Exercício 1.4.1

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}

Resolução

$x=3\sin\theta$ , $dx=3\cos\theta\,d\theta$ , $\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta$ .
$\int \dfrac{3\cos\theta}{3\cos\theta}\,d\theta = \int d\theta = \theta$ .

Resposta: $\arcsin(x/3)+C$

Tipo de questão observado em: Anton, Bivens e Davis (2014).

Exercício 1.4.2

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}

Resolução

$x=2\tan\theta$ , $dx=2\sec^2\theta\,d\theta$ , $\sqrt{x^2+4}=2\sec\theta$ .
Integral reduz a $\tfrac14\int \cos\theta/\sin^2\theta\,d\theta = -\tfrac{1}{4\sin\theta}+C$ .
Triângulo: oposto $x$ , adjacente $2$ , hipotenusa $\sqrt{x^2+4}$ ; $\sin\theta=x/\sqrt{x^2+4}$ .

Resposta: $-\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{4x}+C$

Exercício 1.4.3

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x^2}\,dx

x>2

Resolução

$x=2\sec\theta$ , $dx=2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ , $\sqrt{x^2-4}=2\tan\theta$ .
Integral reduz a $\int(\sec\theta-\cos\theta)\,d\theta = \ln|\sec\theta+\tan\theta|-\sin\theta$ .
Triângulo: hipotenusa $x$ , adjacente $2$ , oposto $\sqrt{x^2-4}$ .

Resposta: $\ln\!\big(x+\sqrt{x^2-4}\big) - \dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x}+C$

Exercício 1.4.4

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{25-x^2}}

Conferir a resolução completa

Resposta: $\arcsin(x/5)+C$

Exercício 1.4.5

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}

Conferir a resolução completa

Resposta: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C$

Exercício 1.4.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac12 x\sqrt{1-x^2} + \tfrac12\arcsin x+C$

Exercício 1.4.7

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-16}}

x>4

Conferir a resolução completa

Resposta: $\dfrac{\sqrt{x^2-16}}{16x}+C$

Exercício 1.4.8

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int x^2\sqrt{4-x^2}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\dfrac{x(2x^2-4)}{8}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin\dfrac{x}{2}+C$

1.5 Frações parciais

Exercício 1.5.1

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-x-2}\,dx

Resolução

$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ ; $\dfrac{x+3}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}$ .
$x=2$ : $A=5/3$ . $x=-1$ : $B=-2/3$ .

Resposta: $\tfrac53\ln|x-2| - \tfrac23\ln|x+1|+C$

Tipo de questão observado em: Guidorizzi (2018).

Exercício 1.5.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{3x+2}{(x+1)^2}\,dx

(fator linear repetido).

Resolução

$3x+2 = 3(x+1) - 1$ , logo o integrando é $\dfrac{3}{x+1} - \dfrac{1}{(x+1)^2}$ .
$\int\big[3/(x+1) - 1/(x+1)^2\big]dx$ .

Resposta: $3\ln|x+1| + \dfrac{1}{x+1}+C$

Exercício 1.5.3

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{x^2+1}{x^2-1}\,dx

(fração imprópria).

Resolução

Divisão: $\dfrac{x^2+1}{x^2-1} = 1 + \dfrac{2}{x^2-1} = 1+\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$ .
$\dfrac{2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}$ .

Resposta: $x + \ln|x-1| - \ln|x+1|+C$

Exercício 1.5.4

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{5x-1}{x^2-x-2}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $3\ln|x-2| + 2\ln|x+1|+C$

Exercício 1.5.5

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{2x+3}{(x+2)^2}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $2\ln|x+2| + \dfrac{1}{x+2}+C$

Exercício 1.5.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{3x+1}{x^2+4}\,dx

(fator quadrático irredutível).

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac32\ln(x^2+4) + \tfrac12\arctan(x/2)+C$

Exercício 1.5.7

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x-1}\,dx

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Resposta: $\tfrac{x^2}{2}+3x+2\ln|x-1|+C$

Exercício 1.5.8

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Cálculo

Calcule

\displaystyle\int \frac{dx}{x(x+1)^2}

Conferir a resolução completa

Resposta: $\ln|x| - \ln|x+1| + \dfrac{1}{x+1}+C$

1.6 Estratégia de integração

Exercício 1.6.1

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Investigação

Calcule

\displaystyle\int x^3 e^{x^2}\,dx

, identificando as duas técnicas necessárias.

Resolução

Escreva $x^3e^{x^2} = x^2\cdot xe^{x^2}$ ; substitua $u=x^2$ , $du=2x\,dx$ : reduz a $\tfrac12\int u e^u\,du$ .
Agora partes: $\int u e^u\,du = ue^u - e^u$ .

Resposta: $\tfrac12 e^{x^2}(x^2-1)+C$

Exercício 1.6.2

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Investigação

Calcule

\displaystyle\int \ln(x^2+1)\,dx

Resolução

Partes: $u=\ln(x^2+1)$ , $dv=dx$ ; $du=2x/(x^2+1)\,dx$ , $v=x$ .
$x\ln(x^2+1) - \int \dfrac{2x^2}{x^2+1}\,dx$ ; como $2x^2=2(x^2+1)-2$ , o resto é $\int[2-2/(x^2+1)]dx$ .

Resposta: $x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan x+C$

Exercício 1.6.3

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Investigação

Calcule

\displaystyle\int \cos(\sqrt{x})\,dx

Resolução

Substitua $u=\sqrt x$ ( $x=u^2$ , $dx=2u\,du$ ): reduz a $2\int u\cos u\,du$ .
Partes: $\int u\cos u\,du = u\sin u + \cos u$ .

Resposta: $2\sqrt{x}\sin\sqrt{x} + 2\cos\sqrt{x}+C$

Exercício 1.6.4

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Investigação

Calcule

\displaystyle\int (\ln x)^2\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x+C$

Exercício 1.6.5

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Investigação

Calcule

\displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\,dx

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Resposta: $\dfrac{e^{2x}(2\sin3x - 3\cos3x)}{13}+C$

Exercício 1.6.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Investigação

Calcule

\displaystyle\int \tan^3x\,dx

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Resposta: $\tfrac12\tan^2x + \ln|\cos x|+C$

Exercício 1.6.7

Proposto Nível 1 · Fundamental Investigação

Calcule

\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx

e explique por que a substituição trigonométrica é desnecessária aqui.

Conferir a resolução completa

Resposta: $-\sqrt{4-x^2}+C$ (substituição algébrica simples $u=4-x^2$ basta)

Exercício 1.6.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Investigação

Calcule

\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx

Conferir a resolução completa

Resposta: $\tfrac12\ln(x^2+2x+5)+C$

História, Filosofia e Educação Matemática

História da Matemática

De achado individual a procedimento ensinável

A Unidade 4 já narrou como a integral nasceu, no século XVII, do método dos indivisíveis de Cavalieri e Torricelli (Andersen, 1985; Mancosu, 1996). O que esta unidade acrescenta é outra história, menos contada: a de como o cálculo de primitivas — que em Newton e Leibniz ainda era, em boa parte, arte individual, resolvida caso a caso por engenhosidade — se tornou, ao longo de um século, um conjunto finito de procedimentos que qualquer estudante pode aprender e aplicar.

Nota históricaA correspondência Bernoulli–Leibniz e o nascimento das frações parciais

Entre 1702 e 1703, Johann Bernoulli e Gottfried Leibniz trocaram cartas sobre um problema aparentemente isolado: como integrar

1/(x^4+a^4)

? A solução de Bernoulli — decompor o denominador em fatores e a fração em somandos mais simples — é, em essência, o método de frações parciais desta unidade (Boyer; Merzbach, 2012). Na época, tratava-se de um truque para um caso; não havia ainda a garantia, que hoje demonstramos apoiados no Teorema Fundamental da Álgebra, de que o procedimento funciona para qualquer função racional.

Nota históricaEuler e a sistematização

É em Leonhard Euler, na segunda metade do século XVIII, que os casos particulares de Bernoulli, Leibniz e dos irmãos Bernoulli se organizam em métodos gerais. Sua obra em três volumes sobre cálculo integral reúne, pela primeira vez, substituição, partes e frações parciais como capítulos de um mesmo edifício sistemático — não mais uma coleção de proezas isoladas, mas um repertório de técnicas transferíveis (Boyer; Merzbach, 2012). É esse gesto de sistematização, mais do que qualquer descoberta pontual, que torna possível ensinar "técnicas de integração" como disciplina, e não como biografia de gênios.

ObservaçãoUm limite descoberto, não inventado

O fechamento desta unidade — o reconhecimento de que

e^{-x^2}

não tem primitiva elementar — também tem história: ao longo do século XIX, o estudo algébrico das funções (por Liouville e, mais tarde, formalizado pela teoria diferencial de Galois) mostrou que essa impossibilidade não é falta de engenho, mas necessidade estrutural, demonstrável. A busca por métodos mais poderosos de integração não termina em fracasso pedagógico: termina na descoberta precisa de onde o "cálculo simbólico" para — e onde a matemática, na Unidade 2, precisa de outra estratégia, a aproximação numérica.

Essa trajetória — de artifício a algoritmo, e de algoritmo a limite reconhecido — é o que esta unidade convida o estudante a refazer em miniatura: não decorar seis técnicas desconexas, mas compreender por que eram inevitáveis, e por que, ainda assim, não bastam para tudo.

Filosofia da Matemática

O que significa saber uma técnica?

Substituição, partes, frações parciais: cada uma é, superficialmente, uma receita — um procedimento mecânico que, seguido corretamente, produz o resultado certo. Essa aparência convida a uma pergunta filosófica incômoda: aprender a integrar é aprender matemática, no sentido de compreender uma estrutura, ou é aprender a operar um algoritmo, no sentido de executar passos sem necessariamente compreendê-los?

Nota históricaProcesso e objeto

Anna Sfard (1991) oferece uma chave para essa tensão: todo conceito matemático tem uma face processual (uma sequência de operações a executar) e uma face estrutural (um objeto sobre o qual se pensa e se opera). A "técnica de substituição" pode ser vivida como processo — os passos "escolher

u

, calcular

du

, substituir, integrar, voltar" — ou pode amadurecer em objeto: a compreensão, demonstrada nesta unidade, de que substituição é a regra da cadeia lida ao contrário, um fato estrutural sobre como duas regras de derivação se relacionam. A demonstração de cada teorema desta unidade não é ornamento: é o que transforma processo mecânico em objeto compreendido.

Nota históricaRegistros de representação

Raymond Duval (1993), já citado na Unidade 4, oferece outra lente: a substituição trigonométrica exige transitar entre ao menos três registros — a expressão algébrica com radical, o ângulo

\theta

e suas razões trigonométricas, e o triângulo retângulo de referência. Um estudante que só sabe "aplicar a fórmula" sem converter entre esses registros fica preso a um deles e não reconhece a mesma estrutura noutra roupagem — por exemplo, não percebe que

\sqrt{x^2-a^2}

\sqrt{a^2+x^2}

pedem substituições diferentes por motivos geométricos análogos.

ContraexemploContra o dualismo fácil

Seria um erro concluir que "técnica" é inferior a "conceito". Silva (2007) lembra que a própria noção do que conta como demonstração ou como método legítimo é historicamente situada: os critérios de rigor de Euler não eram os de Cauchy, e ambos produziram matemática verdadeira. As técnicas desta unidade não são um desvio da compreensão matemática — são, elas mesmas, teoremas (assim demonstrados aqui), e dominá-las com prova é uma forma legítima, e não menor, de conhecimento matemático.

Educação Matemática

Ensinar seis técnicas sem transformá-las em seis receitas soltas

O risco didático mais previsível desta unidade é também o mais bem documentado: o estudante decora seis procedimentos desconexos, aplica cada um corretamente quando o exercício já indica qual usar (por estar na "seção da substituição trigonométrica"), e fracassa diante de um integrando fora de contexto — exatamente o que a seção de estratégia, ao final, tenta prevenir.

Nota históricaObstáculos epistemológicos específicos

Wanderley Rezende (2003), em pesquisa sobre as dificuldades do ensino de Cálculo no Brasil, mostra que parte do fracasso não vem de falta de prática, mas de uma relação instrumental com o conteúdo: o estudante aprende a operar sem que a operação se apoie em compreensão do porquê. Guy Brousseau (1983) dá nome a esse fenômeno como obstáculo epistemológico: um conhecimento que funcionou bem num domínio (aqui, "seguir os passos de uma técnica já rotulada pela seção do material") torna-se, ele mesmo, o obstáculo que impede reconhecer a mesma técnica fora do contexto em que foi aprendida. Aplicado a esta unidade, o risco é específico — dominar a mecânica de "integração por partes" sem jamais perceber que ela é a regra do produto invertida, o que a torna, para esse estudante, uma fórmula arbitrária a decorar em vez de um fato necessário a reencontrar.

Nota históricaEngenharia didática e o valor do erro produtivo

Michèle Artigue (1995) defende que o ensino de Cálculo se beneficia de expor o estudante a situações em que a técnica óbvia falha — por exemplo, tentar substituição simples em

\int\sqrt{1+x^2}\,dx

e constatar, na prática, por que ela não resolve o problema (nota da seção 1) — antes de apresentar a técnica correta como solução. O erro reconhecido como estrutural, e não como descuido, é parte do percurso, não um desvio dele.

ObservaçãoOrientação para a sala de aula

Três movimentos, sustentados por essa pesquisa, orientam a condução desta unidade: (1) diante de qualquer novo integrando, perguntar primeiro "que estrutura eu reconheço?" antes de "qual técnica eu decorei?"; (2) tratar a heurística LIATE e a tabela de estratégias como andaimes provisórios, não como algoritmos a memorizar cegamente — eles orientam a busca, mas não substituem a verificação (derivar o resultado obtido e conferir que se recupera o integrando); (3) usar deliberadamente exercícios de "reconhecimento", como os da seção final, em que o estudante decide a técnica antes de aplicá-la, e não apenas exercícios já rotulados por seção.

Glossário da unidade

Primitiva: Função $F$ tal que $F'=f$ ; duas primitivas de $f$ num intervalo diferem por constante.
Substituição: Troca de variável $u=g(x)$ que reverte a regra da cadeia.
Integração por partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ ; reverte a regra do produto.
LIATE: Heurística de prioridade (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial) para escolher $u$ em partes.
Fração própria: Razão de polinômios $P/Q$ com $\deg P < \deg Q$ .
Fator irredutível: Fator quadrático $ax^2+bx+c$ com discriminante negativo, que não se fatora em reais.
Função elementar: Obtida de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas (e suas inversas) por soma, produto, quociente e composição finitas.
Triângulo de referência: Triângulo retângulo usado para reconverter uma substituição trigonométrica de $\theta$ de volta a $x$ .

Referências

ANDERSEN, K. Cavalieri's method of indivisibles. Archive for History of Exact Sciences, Berlin, v. 31, n. 4, p. 291-367, 1985.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
APOSTOL, T. M. Calculus. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1967. v. 1.
ARTIGUE, M. La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. In: ARTIGUE, M. et al. Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica, 1995. p. 97-140.
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 4, n. 2, p. 165-198, 1983.
DUVAL, R. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, Strasbourg, v. 5, p. 37-65, 1993.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1.
MANCOSU, P. Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century. New York: Oxford University Press, 1996.
REZENDE, W. M. O ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica. 2003. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1.
SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 22, n. 1, p. 1-36, 1991.
SILVA, J. J. da. Filosofias da matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2007.
SPIVAK, M. Calculus. 4. ed. Houston: Publish or Perish, 2008.
STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.

Obras observadas para a escolha dos tipos de exercício

Consultadas para cobrir os tipos clássicos de questão e graduar a dificuldade. Nenhum enunciado ou resolução foi transcrito.

AMYOTTE, L. Calcul intégral. 2. éd. Montréal: ERPI, 2014.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1.
KUMAR, V. Integral calculus. 2. ed. New Delhi: McGraw Hill Education (India), 2013.
LARSON, R. Calculus: an applied approach. 9. ed. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013.
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Calculus: early transcendental functions. 7. ed. Boston: Cengage Learning, 2019.
MENDELSON, E. 3000 solved problems in calculus. New York: McGraw-Hill, 1988. (Schaum's Solved Problems Series).
RICHARDSON, L. F. Advanced calculus: an introduction to linear analysis. Hoboken: John Wiley & Sons, 2008.
ROGAWSKI, J. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1.
STEWART, J. Calculus: early transcendentals. 8. ed. metric version. Boston: Cengage Learning, 2016.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Calculus: early transcendentals. 9. ed. Metric version. Boston: Cengage, 2021.
WIDDER, D. V. Advanced calculus. 2. ed. New York: Dover, 1989.