Núcleo III — Ontologia da Matemática — Laboratório Virtual G

Distinção entre Ontologia e Epistemologia

Ontologia e epistemologia respondem a perguntas diferentes, ainda que frequentemente confundidas na linguagem corrente. A ontologia pergunta o que existe e em que sentido existe: os números existem independentemente de nós, ou são convenções, construções ou ficções úteis? A epistemologia, tratada com mais detalhe no Núcleo IV deste eixo, pergunta como podemos conhecer o que quer que exista: por demonstração, por intuição, por convenção social — e o que justifica esse conhecimento como tal.

A distinção importa porque é possível, em princípio, responder de modos independentes às duas perguntas: um platonista pode sustentar que os números existem objetivamente (posição ontológica) e, ao mesmo tempo, enfrentar a dificuldade de explicar como uma mente física poderia ter acesso epistêmico a objetos que não ocupam espaço nem tempo — um problema formulado com precisão por Paul Benacerraf e retomado por Mark Balaguer (1998) em sua defesa do chamado platonismo pleno.

Este eixo já dispõe de uma elaboração rigorosa dessa mesma distinção, situada na perspectiva etnomatemática do GEPEMA — que trata da realidade, da matematizabilidade e da matematização como momentos distintos do conhecimento matemático em contextos culturais específicos. Este núcleo não reproduz aquela elaboração; ele a pressupõe e a generaliza para a Matemática formal como um todo, remetendo o leitor interessado na articulação original ao Núcleo VII (Matemática, Cultura, Sociedade e Trabalho) e à página de Etnomatemática do Portal.

Existência de números, funções, pontos e retas

Perguntar se o número 2 existe parece, à primeira vista, uma pergunta estranha — ninguém duvida de que "2 + 2 = 4" é verdadeiro. A dificuldade filosófica não está em duvidar da verdade das proposições aritméticas, mas em explicar o que essa verdade pressupõe sobre a natureza do objeto "2": Penelope Maddy (1990) observou que a prática matemática cotidiana trata os números como se fossem objetos determinados, com propriedades próprias, e que qualquer ontologia da Matemática precisa dar conta dessa aparência de objetividade, seja endossando-a, seja explicando por que ela é enganosa.

O mesmo problema se estende a funções, pontos e retas — objetos que a geometria e a análise tratam como dados, mas cuja natureza última é discutida: um ponto geométrico é uma posição no espaço, uma construção mental, ou apenas um elemento de uma estrutura abstrata definida por seus relacionamentos com outros pontos? Michael Resnik (1997) argumenta que a pergunta pela natureza individual desses objetos é mal colocada: o que existe, propriamente, são estruturas — o objeto matemático é apenas uma posição dentro de um padrão de relações, sem propriedades além daquelas que a estrutura lhe confere.

Essa resposta estruturalista, já apresentada no Núcleo II deste eixo como corrente filosófica geral, ganha aqui um sentido ontológico mais preciso: se Resnik está certo, perguntar "o que é o número 2, além de sua posição na sequência dos naturais?" é uma pergunta sem resposta — e sem necessidade de resposta.

Natureza do infinito

O infinito ocupou, por mais de dois mil anos, um lugar ambíguo na Matemática: aceito como ferramenta de cálculo — no método de exaustão grego, nos infinitésimos do Cálculo, discutidos no Núcleo I deste eixo —, mas evitado como objeto de estudo direto, sob a suspeita de que um "infinito completo" (actual) fosse logicamente incoerente ou metafisicamente impossível, em oposição ao infinito meramente potencial (uma sequência que nunca termina, mas nunca é dada como totalidade).

A obra de Georg Cantor, no final do século XIX, rompeu com essa cautela ao tratar infinitos actuais como objetos matemáticos legítimos, dotados de propriedades precisas — e, mais surpreendentemente, ao demonstrar que existem infinitos de tamanhos diferentes: o conjunto dos números reais é, em um sentido matematicamente preciso, maior que o conjunto dos números naturais. Rudy Rucker (1995) dedicou um livro inteiro a mostrar como esse resultado, contraintuitivo mesmo para matemáticos treinados, obriga a repensar o que significa "tamanho" quando aplicado a coleções infinitas.

Do ponto de vista ontológico, a questão que fica em aberto é se esses infinitos cantorianos existem no mesmo sentido em que existem os números naturais, ou se são antes construções formais úteis, sem compromisso ontológico forte — uma disputa que Michael Potter (2004) situa no centro da filosofia da teoria dos conjuntos contemporânea, e que permanece sem consenso.

Objetos como construções, estruturas ou relações

As três respostas mais influentes à pergunta ontológica sobre os objetos matemáticos podem ser resumidas, de modo simplificado, como segue: para o platonismo, defendido por Balaguer (1998) e por Maddy (1990) em sua fase realista, os objetos matemáticos existem objetivamente, independentemente de qualquer mente ou construção; para o construtivismo — já apresentado no Núcleo II deste eixo em sua origem intuicionista —, só existem os objetos que podem ser efetivamente construídos; para o estruturalismo de Resnik (1997), não existem objetos matemáticos individuais no sentido usual, mas apenas estruturas e posições dentro delas.

Nenhuma dessas posições é isenta de dificuldades: o platonismo enfrenta o problema, já mencionado, de explicar o acesso epistêmico a objetos não físicos; o construtivismo precisa explicar por que resultados matemáticos aceitos pela comunidade — como a própria hierarquia infinita de Cantor — dependem de princípios que os construtivistas rejeitam; e o estruturalismo precisa esclarecer o que é, exatamente, uma estrutura, sem reintroduzir pela porta dos fundos os objetos individuais que pretendia eliminar (POTTER, 2004).

Do ponto de vista deste núcleo, o mais importante não é declarar um vencedor entre essas posições — o que a filosofia da matemática contemporânea, apesar de décadas de debate, ainda não fez —, mas reconhecer que a escolha entre elas tem consequências para a Educação Matemática: dizer a um estudante que "o número 2 existe" pressupõe, ainda que implicitamente, alguma dessas respostas ontológicas. Essa consequência pedagógica é retomada no Núcleo VIII (Conhecimento Matemático, Ensino e Aprendizagem) deste eixo.

Referências

Bibliografia real e verificada, usada por citação indireta. Este núcleo não duplica a distinção Ontologia → Epistemologia já elaborada para a Etnomatemática, nem o Núcleo II (Filosofia da Matemática) deste eixo — apenas os pressupõe e remete a eles.

BALAGUER, Mark. Platonism and anti-platonism in mathematics. New York: Oxford University Press, 1998.
MADDY, Penelope. Realism in mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1990.
RESNIK, Michael D. Mathematics as a science of patterns. Oxford: Oxford University Press, 1997.
POTTER, Michael. Set theory and its philosophy: a critical introduction. Oxford: Oxford University Press, 2004.
RUCKER, Rudy. Infinity and the mind: the science and philosophy of the infinite. Princeton: Princeton University Press, 1995.