Núcleo IX do eixo estruturante
Tecnologias, Visualização e Produção do Conhecimento Matemático
Como a computação, a simulação e a visualização alteram a forma de representar e as possibilidades de produzir conhecimento matemático — a reflexão sobre a experimentação matemática que o MatLabG pratica neste Portal.
Computação, simulação e geometria dinâmica
A partir da segunda metade do século XX, a computação deixou de ser apenas uma ferramenta de cálculo numérico para se tornar um instrumento de investigação matemática propriamente dita. Jonathan Borwein e David Bailey (2004) documentaram essa transição sob o nome de matemática experimental: o uso sistemático de computadores para explorar padrões, testar conjecturas em milhares de casos e sugerir resultados que só depois são demonstrados por métodos tradicionais — um modo de produzir conhecimento matemático que não substitui a demonstração, mas a precede e a orienta.
A geometria dinâmica, em particular, permite manipular construções geométricas em tempo real e observar o que se mantém invariante sob transformação contínua — uma possibilidade que a régua e o compasso, por si sós, nunca ofereceram. Esse tipo de exploração visual e manipulável é, no Laboratório Virtual G, o território específico do MatLabG, onde a experimentação matemática interativa é efetivamente praticada; este núcleo discute o estatuto epistemológico dessa prática, sem duplicar a ferramenta em si.
Prova assistida por computador
O caso mais discutido de prova assistida por computador é o do teorema das quatro cores, cuja demonstração, na década de 1970, dependeu da verificação computacional de milhares de configurações — um argumento correto, mas que nenhum matemático poderia conferir integralmente à mão, questão já apresentada no Núcleo IV deste eixo (KITCHER, 1983). Décadas depois, Thomas Hales (2005) enfrentou uma situação semelhante ao demonstrar a conjectura de Kepler sobre o empacotamento mais denso de esferas: sua prova, publicada nos Annals of Mathematics, dependia de cálculos computacionais tão extensos que os revisores da revista declararam estar apenas "99% certos" de sua correção — um grau de certeza incomum para um periódico de Matemática pura, e sintoma de um problema epistemológico genuíno.
Esses casos obrigam a repensar o que significa uma demonstração ser verificável: se a verificabilidade tradicional pressupõe que um matemático treinado possa, em princípio, conferir cada passo do argumento, uma prova cuja etapa central é um cálculo computacional de escala industrial desafia esse pressuposto — e abriu caminho para respostas técnicas específicas, como as provas formalmente verificadas por assistentes de prova, que reduzem a verificação da correção do argumento à verificação da correção de um programa.
Experimentação matemática
A obra A=B, de Marko Petkovšek, Herbert Wilf e Doron Zeilberger (1996), é um caso emblemático de como a experimentação computacional pode não apenas sugerir, mas efetivamente produzir demonstrações: os autores descrevem algoritmos capazes de descobrir e provar automaticamente identidades combinatórias que, tratadas manualmente, exigiriam páginas de manipulação algébrica — um deslocamento parcial da criatividade matemática do ser humano para o algoritmo, ao menos para certas classes bem definidas de problemas.
Do ponto de vista deste eixo, a experimentação matemática não é uma ameaça ao rigor, mas uma categoria epistemológica adicional ao lado da conjectura, da demonstração formal e da refutação já discutidas no Núcleo IV: ela ocupa o espaço, historicamente informal, em que o matemático explora um problema antes de saber que forma sua solução vai assumir — espaço que a computação tornou sistemático e documentável, sem eliminar a necessidade de demonstração ao final do processo (BORWEIN; BAILEY, 2004).
Referências
Bibliografia real e verificada, usada por citação indireta. Este núcleo não duplica o MatLabG, ferramenta de experimentação deste Portal, nem a discussão sobre simulação e prova já iniciada no Núcleo IV deste eixo — apenas os pressupõe e remete a eles.
- BORWEIN, Jonathan; BAILEY, David. Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century. Natick: A K Peters, 2004.
- HALES, Thomas C. A proof of the Kepler conjecture. Annals of Mathematics, v. 162, n. 3, p. 1065-1185, 2005.
- PETKOVŠEK, Marko; WILF, Herbert S.; ZEILBERGER, Doron. A=B. Wellesley: A K Peters, 1996.