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Cálculo I · Unidade 1 · Demonstrativa

Fundamentos matemáticos

Os números reais, sua ordem e sua geometria: a base sobre a qual limites, derivadas e integrais serão construídos.

Pré-requisitos: Geometria Plana · semelhança de triângulos e Teorema de Pitágoras (Capítulo 8).

Objetivos de aprendizagem

  • Enunciar os axiomas de corpo, de ordem e da completude de R\R e deduzir deles propriedades usuais.
  • Usar supremo e ínfimo; demonstrar a propriedade arquimediana, a existência de 2\sqrt{2} e sua irracionalidade.
  • Demonstrar a densidade de Q\Q e de R∖Q\R \setminus \Q e interpretar dízimas infinitas como supremos.
  • Operar com intervalos, inclusive famílias infinitas, e aplicar o teorema dos intervalos encaixados.
  • Interpretar ∣x−a∣|x - a| como distância e resolver equações e inequações modulares por casos e por geometria.
  • Resolver inequações polinomiais, racionais e com raízes por estudo de sinal, justificando cada passagem.
  • Demonstrar e aplicar as desigualdades triangular, MA–MG, de Bernoulli e de Cauchy–Schwarz.
  • No plano cartesiano, deduzir e usar distância, ponto médio, inclinação, paralelismo, perpendicularidade, distância de ponto a reta e equações de circunferências.

1.1 Números reais

O Cálculo estuda variação e aproximação. Toda vez que dissermos que uma sequência de valores "se aproxima" de um número, precisaremos garantir que esse número existe. Com os racionais isso falha: há aproximações racionais cada vez melhores de 2\sqrt{2}, mas nenhum racional no ponto de chegada. O conjunto dos números reais é construído exatamente para não ter lacunas. Esta seção organiza o que se admite sobre R\R (axiomas) e o que se demonstra a partir disso.

DefiniçãoConjuntos numéricos

N={1,2,3,… }\N = \{1, 2, 3, \dots\} (naturais), Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} (inteiros), Q={pq:p,q∈Z, q≠0}\Q = \left\{ \tfrac{p}{q} : p, q \in \Z,\ q \neq 0 \right\} (racionais). Um número real que não é racional é irracional; o conjunto dos irracionais é R∖Q\R \setminus \Q. Vale N⊂Z⊂Q⊂R\N \subset \Z \subset \Q \subset \R.

PropriedadeAxiomas de corpo

Em R\R estão definidas a adição e a multiplicação, com: (A1) associatividade, (A2) comutatividade, (A3) existência de 00 com x+0=xx + 0 = x, (A4) existência do oposto −x-x com x+(−x)=0x + (-x) = 0; (M1) associatividade, (M2) comutatividade, (M3) existência de 1≠01 \neq 0 com x⋅1=xx \cdot 1 = x, (M4) para x≠0x \neq 0, existência do inverso x−1x^{-1} com xx−1=1x x^{-1} = 1; (D) distributividade x(y+z)=xy+xzx(y + z) = xy + xz. Todas as regras usuais do cálculo algébrico (por exemplo, x⋅0=0x \cdot 0 = 0 e (−1)x=−x(-1)x = -x) são consequências desses axiomas.

PropriedadeAxiomas de ordem

Existe um subconjunto P⊂RP \subset \R (os positivos) tal que: (O1) a soma e o produto de positivos são positivos; (O2) para cada xx real vale exatamente uma das alternativas x∈Px \in P, x=0x = 0 ou −x∈P-x \in P (tricotomia). Define-se x<yx < y quando y−x∈Py - x \in P; x≤yx \le y quando x<yx < y ou x=yx = y.

TeoremaPrimeiras consequências da ordem

Para a,b,ca, b, c reais: (i) se a<ba < b, então a+c<b+ca + c < b + c; (ii) se a<ba < b e c>0c > 0, então ac<bcac < bc; (iii) se a<ba < b e c<0c < 0, então ac>bcac > bc; (iv) x2≥0x^2 \ge 0 para todo xx, com igualdade só em x=0x = 0; em particular, 1>01 > 0.
Demonstração
(i) (b+c)−(a+c)=b−a∈P(b + c) - (a + c) = b - a \in P. (ii) bc−ac=(b−a)cbc - ac = (b - a)c é produto de positivos, logo positivo (O1). (iii) ac−bc=(b−a)(−c)ac - bc = (b - a)(-c), produto de positivos, pois −c∈P-c \in P. (iv) Se x∈Px \in P, x2=x⋅x∈Px^2 = x \cdot x \in P; se −x∈P-x \in P, x2=(−x)(−x)∈Px^2 = (-x)(-x) \in P; se x=0x = 0, x2=0x^2 = 0. Como 1=121 = 1^2 e 1≠01 \neq 0, vem 1>01 > 0. ■\blacksquare

DefiniçãoLimitantes, supremo e ínfimo

Seja A⊂RA \subset \R não vazio. Um número MM é limitante superior de AA se x≤Mx \le M para todo x∈Ax \in A; nesse caso AA é limitado superiormente. O supremo de AA, sup⁡A\sup A, é o menor limitante superior: s=sup⁡As = \sup A se (a) ss é limitante superior e (b) para todo ε>0\varepsilon > 0 existe x∈Ax \in A com x>s−εx > s - \varepsilon. Se sup⁡A∈A\sup A \in A, ele é o máximo de AA. Definem-se analogamente limitante inferior, ínfimo (inf⁡A\inf A) e mínimo.

PropriedadeAxioma da completude (do supremo)

Todo subconjunto não vazio de R\R limitado superiormente possui supremo em R\R. Os axiomas de corpo, de ordem e da completude caracterizam R\R: Q\Q satisfaz os dois primeiros grupos, mas não o terceiro (veja o contraexemplo abaixo).

TeoremaPropriedade arquimediana

O conjunto N\N não é limitado superiormente em R\R. Consequentemente, para todo ε>0\varepsilon > 0 existe n∈Nn \in \N com 1n<ε\tfrac{1}{n} < \varepsilon.
Demonstração
Se N\N fosse limitado superiormente, teria supremo ss (completude). Como s−1<ss - 1 < s, s−1s - 1 não é limitante superior: existe n∈Nn \in \N com n>s−1n > s - 1. Então n+1>sn + 1 > s e n+1∈Nn + 1 \in \N, contradizendo que ss é limitante superior. Para a segunda parte, como 1ε\tfrac{1}{\varepsilon} não é limitante superior de N\N, existe n>1εn > \tfrac{1}{\varepsilon}, isto é, 1n<ε\tfrac{1}{n} < \varepsilon. ■\blacksquare

Teorema2\sqrt{2} é irracional

Não existe número racional rr com r2=2r^2 = 2.
Demonstração
Suponha, por absurdo, que r=pqr = \tfrac{p}{q} com p,qp, q inteiros positivos sem fator comum e r2=2r^2 = 2. Então p2=2q2p^2 = 2q^2, logo p2p^2 é par e, portanto, pp é par (o quadrado de um ímpar 2k+12k + 1 é 4k2+4k+14k^2 + 4k + 1, ímpar). Escrevendo p=2kp = 2k, vem 4k2=2q24k^2 = 2q^2, isto é, q2=2k2q^2 = 2k^2, e qq também é par. Assim pp e qq têm o fator comum 22, contradição. ■\blacksquare

TeoremaExiste um real positivo cujo quadrado é 22

Existe s∈Rs \in \R, s>0s > 0, com s2=2s^2 = 2. Esse número é denotado 2\sqrt{2}.
Demonstração
Seja A={x>0:x2<2}A = \{x > 0 : x^2 < 2\}. AA é não vazio (1∈A1 \in A) e limitado por 22 (se x≥2x \ge 2, então x2≥4x^2 \ge 4). Seja s=sup⁡As = \sup A; temos 1≤s≤21 \le s \le 2. Não pode ser s2<2s^2 < 2: para 0<h<10 < h < 1, (s+h)2=s2+h(2s+h)<s2+5h(s + h)^2 = s^2 + h(2s + h) < s^2 + 5h; escolhendo h<2−s25h < \tfrac{2 - s^2}{5} e h<1h < 1, obtemos (s+h)2<2(s + h)^2 < 2, isto é, s+h∈As + h \in A com s+h>ss + h > s, absurdo. Não pode ser s2>2s^2 > 2: para 0<h<s0 < h < s, (s−h)2>s2−2sh≥s2−4h(s - h)^2 > s^2 - 2sh \ge s^2 - 4h; escolhendo h<s2−24h < \tfrac{s^2 - 2}{4}, vem (s−h)2>2(s - h)^2 > 2, logo todo x∈Ax \in A satisfaz x<s−hx < s - h (se x≥s−h>0x \ge s - h > 0, então x2≥(s−h)2>2x^2 \ge (s - h)^2 > 2), e s−hs - h seria limitante superior menor que ss, absurdo. Pela tricotomia, s2=2s^2 = 2. ■\blacksquare

ContraexemploQ\Q não é completo

O conjunto B={x∈Q:x>0, x2<2}B = \{x \in \Q : x > 0,\ x^2 < 2\} é não vazio e limitado em Q\Q, mas não tem supremo em Q\Q: a demonstração acima mostra que o supremo teria quadrado 22, e nenhum racional tem essa propriedade. A "lacuna" de Q\Q em 2\sqrt{2} é exatamente o que a completude preenche.

TeoremaDensidade dos racionais e dos irracionais

Entre dois números reais a<ba < b existem um racional e um irracional.
Demonstração
Racional. Pela propriedade arquimediana, existe n∈Nn \in \N com n(b−a)>1n(b - a) > 1. Seja mm o menor inteiro com m>nam > na (existe, pois os inteiros maiores que nana formam um conjunto não vazio com mínimo). Então m−1≤nam - 1 \le na, e m≤na+1<na+n(b−a)=nbm \le na + 1 < na + n(b - a) = nb. Logo na<m<nbna < m < nb e a<mn<ba < \tfrac{m}{n} < b. Irracional. Aplicando o que acabamos de provar a a−2<b−2a - \sqrt{2} < b - \sqrt{2}, existe racional rr com a−2<r<b−2a - \sqrt{2} < r < b - \sqrt{2}; então a<r+2<ba < r + \sqrt{2} < b, e r+2r + \sqrt{2} é irracional (se fosse racional qq, teríamos 2=q−r∈Q\sqrt{2} = q - r \in \Q). ■\blacksquare

Exemplo resolvidoSupremo que não é máximo

Determine sup⁡A\sup A e inf⁡A\inf A para A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \tfrac{1}{n} : n \in \N \right\}. Eles pertencem a AA?
  1. Os elementos são 0,12,23,34,…0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{4}, \dots, crescentes. O menor é 00 (para n=1n = 1): inf⁡A=min⁡A=0\inf A = \min A = 0.
  2. 11 é limitante superior, pois 1−1n<11 - \tfrac{1}{n} < 1 para todo nn.
  3. Nenhum 1−ε1 - \varepsilon (com ε>0\varepsilon > 0) é limitante superior: pela propriedade arquimediana há nn com 1n<ε\tfrac{1}{n} < \varepsilon, logo 1−1n>1−ε1 - \tfrac{1}{n} > 1 - \varepsilon. Assim sup⁡A=1\sup A = 1.
  4. 1∉A1 \notin A (seria preciso 1n=0\tfrac{1}{n} = 0): o supremo existe, mas AA não tem máximo.

Exemplo resolvidoDízimas periódicas e o caso 0,999…0{,}999\ldots

Escreva 0,27‾=0,272727…0{,}\overline{27} = 0{,}272727\ldots como fração e decida se 0,9‾=10{,}\overline{9} = 1.
  1. Se x=0,27‾x = 0{,}\overline{27}, então 100x=27,27‾100x = 27{,}\overline{27} e 100x−x=27100x - x = 27: x=2799=311x = \tfrac{27}{99} = \tfrac{3}{11}.
  2. Uma dízima infinita designa o supremo de suas aproximações finitas. Para 0,9‾0{,}\overline{9}: A={0,9; 0,99; 0,999; … }={1−10−n:n∈N}A = \{0{,}9;\ 0{,}99;\ 0{,}999;\ \dots\} = \{1 - 10^{-n} : n \in \N\}.
  3. 11 é limitante superior de AA, e nenhum 1−ε1 - \varepsilon o é, pois 10−n≤1n<ε10^{-n} \le \tfrac{1}{n} < \varepsilon para nn grande (arquimediana). Logo sup⁡A=1\sup A = 1.
  4. Portanto 0,9‾=10{,}\overline{9} = 1 exatamente: são duas representações decimais do mesmo número, não "um número infinitamente próximo de 11".

Atenção conceitualAproximação não é igualdade

A calculadora exibe 2≈1,414213562\sqrt{2} \approx 1{,}414213562, um número racional. O valor exato é irracional: nenhuma expansão decimal finita ou periódica o representa. No Cálculo distinguimos sempre o valor exato do aproximado e, quando aproximamos, informamos o erro: ∣2−1,414213562∣<10−9|\sqrt{2} - 1{,}414213562| < 10^{-9}.

1.2 Intervalos

DefiniçãoIntervalos

Para a<ba < b reais: [a,b]={x∈R:a≤x≤b}[a, b] = \{x \in \R : a \le x \le b\} (fechado), (a,b)={x:a<x<b}(a, b) = \{x : a < x < b\} (aberto), [a,b)[a, b) e (a,b](a, b] (semiabertos). Intervalos ilimitados: [a,+∞)={x:x≥a}[a, +\infty) = \{x : x \ge a\}, (a,+∞)(a, +\infty), (−∞,b](-\infty, b], (−∞,b)(-\infty, b) e (−∞,+∞)=R(-\infty, +\infty) = \R. Os símbolos ±∞\pm\infty não são números reais: indicam que o intervalo não tem limitante naquele sentido; por isso nunca aparecem com colchete fechado.
NotaçãoDesigualdadesExtremosNa reta
[a,b][a, b]a≤x≤ba \le x \le bambos incluídosbolinhas cheias em aa e bb
(a,b)(a, b)a<x<ba < x < bambos excluídosbolinhas vazias em aa e bb
[a,b)[a, b)a≤x<ba \le x < bsó aacheia em aa, vazia em bb
[a,+∞)[a, +\infty)x≥ax \ge aaa incluídosemirreta a partir de aa
(−∞,b)(-\infty, b)x<bx < bbb excluídosemirreta até bb

TeoremaSupremo e ínfimo de intervalos

Para a<ba < b, os quatro intervalos limitados de extremos aa e bb têm ínfimo aa e supremo bb. O intervalo tem máximo se, e somente se, bb lhe pertence; tem mínimo se, e somente se, aa lhe pertence.
Demonstração
Considere (a,b)(a, b); os demais casos são análogos. bb é limitante superior. Dado ε>0\varepsilon > 0 com ε<b−a\varepsilon < b - a, o ponto b−ε2b - \tfrac{\varepsilon}{2} está em (a,b)(a, b) e é maior que b−εb - \varepsilon; logo nenhum número menor que bb é limitante superior e sup⁡ (a,b)=b\sup\,(a, b) = b. Como b∉(a,b)b \notin (a, b), não há máximo: qualquer x∈(a,b)x \in (a, b) é superado por x+b2∈(a,b)\tfrac{x + b}{2} \in (a, b). O argumento para o ínfimo é simétrico. ■\blacksquare

Exemplo resolvidoOperações com intervalos

Sejam A=[−1,3)A = [-1, 3) e B=(1,5]B = (1, 5]. Determine A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, A∖BA \setminus B e o complementar R∖A\R \setminus A.
  1. A∩BA \cap B: −1≤x<3-1 \le x < 3 e 1<x≤51 < x \le 5, isto é, 1<x<31 < x < 3: A∩B=(1,3)A \cap B = (1, 3).
  2. A∪BA \cup B: os intervalos se sobrepõem, logo A∪B=[−1,5]A \cup B = [-1, 5].
  3. A∖BA \setminus B: em AA e fora de BB, ou seja, −1≤x≤1-1 \le x \le 1 (o 11 não está em BB): A∖B=[−1,1]A \setminus B = [-1, 1].
  4. R∖A=(−∞,−1)∪[3,+∞)\R \setminus A = (-\infty, -1) \cup [3, +\infty): o extremo excluído de AA passa a ser incluído no complementar, e vice-versa.

Exemplo resolvidoFamílias infinitas de intervalos

Determine ⋂n∈N(−1n,1n)\displaystyle\bigcap_{n \in \N} \left(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\right) e ⋃n∈N[1n,1]\displaystyle\bigcup_{n \in \N} \left[\tfrac{1}{n}, 1\right].
  1. 00 pertence a todos os intervalos (−1n,1n)\left(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n}\right). Se x≠0x \neq 0, pela propriedade arquimediana há nn com 1n<∣x∣\tfrac{1}{n} < |x|, e xx fica fora desse intervalo. Logo a interseção é {0}\{0\}.
  2. Todo x∈(0,1]x \in (0, 1] está em algum [1n,1]\left[\tfrac{1}{n}, 1\right] (basta 1n≤x\tfrac{1}{n} \le x); 00 e os negativos não estão em nenhum. A união é (0,1](0, 1].
  3. Leitura: uma interseção infinita de intervalos abertos pode não ser aberta, e uma união infinita de fechados pode não ser fechada.

TeoremaIntervalos encaixados (Cantor)

Se [a1,b1]⊃[a2,b2]⊃[a3,b3]⊃⋯[a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset [a_3, b_3] \supset \cdots é uma sequência de intervalos fechados e limitados encaixados, então existe um número real que pertence a todos eles.
Demonstração
O encaixe dá a1≤a2≤⋯≤bna_1 \le a_2 \le \cdots \le b_n para cada nn; em particular, todo am≤bna_m \le b_n quaisquer que sejam mm e nn (compare ambos com amax⁡(m,n)a_{\max(m,n)} e bmax⁡(m,n)b_{\max(m,n)}). O conjunto {am}\{a_m\} é não vazio e limitado por b1b_1; seja α=sup⁡mam\alpha = \sup_m a_m (completude). Então an≤αa_n \le \alpha para todo nn, e, como cada bnb_n é limitante superior de {am}\{a_m\}, α≤bn\alpha \le b_n. Logo α∈[an,bn]\alpha \in [a_n, b_n] para todo nn. ■\blacksquare

ContraexemploFechados e limitados são indispensáveis

Com intervalos abertos, o teorema falha: (0,1n)\left(0, \tfrac{1}{n}\right) são encaixados e não têm ponto comum. Com intervalos ilimitados, também: [n,+∞)[n, +\infty) são encaixados e sua interseção é vazia. O método da bisseção, que usaremos no Teorema do Valor Intermediário, depende deste teorema.

Atenção conceitualAberto ou fechado faz diferença

(0,1](0, 1] tem máximo (11), mas não tem mínimo: seu ínfimo 00 não lhe pertence. Perguntas do tipo "qual o menor valor?" só têm resposta garantida em conjuntos fechados e limitados; essa distinção voltará nos teoremas de existência de máximos e mínimos.

1.3 Valor absoluto

DefiniçãoValor absoluto e distância

∣x∣={x,x≥0,−x,x<0.|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases} A distância entre xx e aa na reta é d(x,a)=∣x−a∣d(x, a) = |x - a|. Para δ>0\delta > 0, a vizinhança de centro aa e raio δ\delta é Vδ(a)={x:∣x−a∣<δ}V_\delta(a) = \{x : |x - a| < \delta\}.

TeoremaPropriedades fundamentais

Para x,y,ax, y, a reais e c≥0c \ge 0: (i) ∣x∣≥0|x| \ge 0, e ∣x∣=0⇔x=0|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0; (ii) ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| e ∣xy∣=∣x∣ ∣y∣|xy| = |x|\,|y|; (iii) x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|; (iv) −∣x∣≤x≤∣x∣-|x| \le x \le |x|; (v) ∣x∣≤c⇔−c≤x≤c|x| \le c \Leftrightarrow -c \le x \le c; (vi) ∣x−a∣<δ⇔a−δ<x<a+δ|x - a| < \delta \Leftrightarrow a - \delta < x < a + \delta, isto é, Vδ(a)=(a−δ,a+δ)V_\delta(a) = (a - \delta, a + \delta).
Demonstração
(i) e (iv) seguem da definição, por casos. (iii) ∣x∣≥0|x| \ge 0 e ∣x∣2=x2|x|^2 = x^2; como x2\sqrt{x^2} é o único número não negativo cujo quadrado é x2x^2, vale x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|. (ii) ∣xy∣=x2y2=x2y2=∣x∣ ∣y∣|xy| = \sqrt{x^2y^2} = \sqrt{x^2}\sqrt{y^2} = |x|\,|y|; com y=−1y = -1, ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x|. (v) Se x≥0x \ge 0: ∣x∣≤c⇔x≤c|x| \le c \Leftrightarrow x \le c, e −c≤x-c \le x vale automaticamente. Se x<0x < 0: ∣x∣≤c⇔−x≤c⇔x≥−c|x| \le c \Leftrightarrow -x \le c \Leftrightarrow x \ge -c, e x≤cx \le c vale automaticamente. (vi) Igual a (v), com desigualdade estrita e x−ax - a no lugar de xx. ■\blacksquare

TeoremaDesigualdade triangular

Para quaisquer x,yx, y reais, ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x + y| \le |x| + |y|, com igualdade se, e somente se, xy≥0xy \ge 0. Consequências: ∣x−z∣≤∣x−y∣+∣y−z∣|x - z| \le |x - y| + |y - z| e ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣\big||x| - |y|\big| \le |x - y|.
Demonstração
Por (iv), −∣x∣≤x≤∣x∣-|x| \le x \le |x| e −∣y∣≤y≤∣y∣-|y| \le y \le |y|. Somando: −(∣x∣+∣y∣)≤x+y≤∣x∣+∣y∣-(|x| + |y|) \le x + y \le |x| + |y|, e por (v) ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x + y| \le |x| + |y|. Igualdade: elevando ao quadrado (ambos os lados são não negativos), ∣x+y∣=∣x∣+∣y∣⇔x2+2xy+y2=x2+2∣x∣∣y∣+y2⇔xy=∣xy∣⇔xy≥0|x + y| = |x| + |y| \Leftrightarrow x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2 \Leftrightarrow xy = |xy| \Leftrightarrow xy \ge 0. A primeira consequência vem de x−z=(x−y)+(y−z)x - z = (x - y) + (y - z). A segunda está provada no último exemplo resolvido desta seção. ■\blacksquare

Exemplo resolvidoInequação modular como distância

Resolva ∣2x−5∣<3|2x - 5| < 3.
  1. Por (v) estrita: −3<2x−5<3-3 < 2x - 5 < 3.
  2. Somando 55: 2<2x<82 < 2x < 8; dividindo por 2>02 > 0: 1<x<41 < x < 4.
  3. Leitura geométrica: ∣2x−5∣=2 ∣x−2,5∣<3⇔∣x−2,5∣<1,5|2x - 5| = 2\,|x - 2{,}5| < 3 \Leftrightarrow |x - 2{,}5| < 1{,}5: os pontos a menos de 1,51{,}5 de 2,52{,}5. Solução: (1,4)=V1,5(2,5)(1, 4) = V_{1{,}5}(2{,}5).

Exemplo resolvidoEquação com dois módulos: método das regiões

Resolva ∣x−1∣+∣x+2∣=5|x - 1| + |x + 2| = 5 e interprete geometricamente.
  1. Os módulos mudam de expressão em x=−2x = -2 e x=1x = 1; estudamos três regiões.
  2. x<−2x < -2: (1−x)+(−x−2)=5⇒−2x−1=5⇒x=−3(1 - x) + (-x - 2) = 5 \Rightarrow -2x - 1 = 5 \Rightarrow x = -3, que está na região: solução.
  3. −2≤x≤1-2 \le x \le 1: (1−x)+(x+2)=3≠5(1 - x) + (x + 2) = 3 \ne 5: nenhuma solução.
  4. x>1x > 1: (x−1)+(x+2)=5⇒2x+1=5⇒x=2(x - 1) + (x + 2) = 5 \Rightarrow 2x + 1 = 5 \Rightarrow x = 2: solução.
  5. Geometria: a soma das distâncias de xx a 11 e a −2-2 vale 33 (a distância entre eles) para xx entre os dois e cresce fora; vale 55 a uma unidade além de cada extremo. S={−3,2}S = \{-3, 2\}.

Exemplo resolvidoDesigualdade triangular reversa

Mostre que ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣\big||x| - |y|\big| \le |x - y| para quaisquer x,yx, y reais.
  1. ∣x∣=∣(x−y)+y∣≤∣x−y∣+∣y∣|x| = |(x - y) + y| \le |x - y| + |y|, logo ∣x∣−∣y∣≤∣x−y∣|x| - |y| \le |x - y|.
  2. Trocando os papéis de xx e yy: ∣y∣−∣x∣≤∣y−x∣=∣x−y∣|y| - |x| \le |y - x| = |x - y|.
  3. Juntas: −∣x−y∣≤∣x∣−∣y∣≤∣x−y∣-|x - y| \le |x| - |y| \le |x - y|, e por (v) ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣\big||x| - |y|\big| \le |x - y|. ■\blacksquare

Contraexemplox2=x\sqrt{x^2} = x é falso

Para x=−3x = -3: (−3)2=9=3≠−3\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \ne -3. A identidade correta é x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|. O erro aparece ao "cancelar" raiz e quadrado ao resolver equações e é fonte frequente de soluções perdidas ou inventadas.

ObservaçãoA linguagem das tolerâncias

A frase "xx está a menos de δ\delta de aa", isto é, ∣x−a∣<δ|x - a| < \delta, é a linguagem exata que as definições de limite e de continuidade usarão. A experiência desta unidade no MatLabG usa a mesma linguagem para tolerâncias de fabricação, erros de medida, distâncias em mapas e comparações no computador.

1.4 Desigualdades

TeoremaMonotonicidade de potências, raízes e inversos

Se 0≤a<b0 \le a < b, então a2<b2a^2 < b^2 e a<b\sqrt{a} < \sqrt{b}. Se 0<a<b0 < a < b, então 1a>1b\tfrac{1}{a} > \tfrac{1}{b}. Se aa e bb não são ambos não negativos, a<ba < b não implica a2<b2a^2 < b^2.
Demonstração
b2−a2=(b−a)(b+a)b^2 - a^2 = (b - a)(b + a), com b−a>0b - a > 0 e b+a>0b + a > 0: produto positivo. Para as raízes, se fosse a≥b\sqrt{a} \ge \sqrt{b}, a primeira parte (aplicada a b≤a\sqrt{b} \le \sqrt{a}) daria b≤ab \le a, absurdo. Para os inversos, 1a−1b=b−aab>0\tfrac{1}{a} - \tfrac{1}{b} = \tfrac{b - a}{ab} > 0. Contraexemplo da última afirmação: −3<1-3 < 1, mas 9>19 > 1. ■\blacksquare

PropriedadeEstudo de sinal

Para resolver P(x)Q(x)>0\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0 (ou ≥\ge, <<, ≤\le), com PP e QQ produtos de fatores de primeiro ou segundo grau: (1) passe todos os termos para um lado e reduza a uma só fração; (2) encontre os zeros do numerador e do denominador; (3) em cada intervalo determinado por esses pontos, o sinal de cada fator é constante; (4) combine os sinais; (5) inclua zeros do numerador quando a desigualdade não for estrita e exclua sempre os zeros do denominador. Multiplicar a inequação por uma expressão de sinal desconhecido não é permitido.

Exemplo resolvidoInequação racional por estudo de sinal

Resolva 2x+1x−3≤1\dfrac{2x + 1}{x - 3} \le 1.
  1. Passando para um lado: 2x+1x−3−1=2x+1−(x−3)x−3=x+4x−3≤0\dfrac{2x + 1}{x - 3} - 1 = \dfrac{2x + 1 - (x - 3)}{x - 3} = \dfrac{x + 4}{x - 3} \le 0.
  2. Zeros: numerador em x=−4x = -4; denominador em x=3x = 3 (excluído).
  3. Sinais: em (−∞,−4)(-\infty, -4), −−>0\tfrac{-}{-} > 0; em (−4,3)(-4, 3), +−<0\tfrac{+}{-} < 0; em (3,+∞)(3, +\infty), ++>0\tfrac{+}{+} > 0.
  4. Solução: [−4,3)[-4, 3) — o −4-4 entra (a fração vale 00), o 33 não.

Exemplo resolvidoInequação com raiz: domínio e quadrados

Resolva x+3<x+1\sqrt{x + 3} < x + 1.
  1. Domínio: x≥−3x \ge -3. Como x+3≥0\sqrt{x + 3} \ge 0, é necessário x+1>0x + 1 > 0, isto é, x>−1x > -1.
  2. Com os dois lados não negativos, elevar ao quadrado preserva a desigualdade (teorema acima): x+3<x2+2x+1x + 3 < x^2 + 2x + 1, ou x2+x−2>0x^2 + x - 2 > 0, isto é, (x+2)(x−1)>0(x + 2)(x - 1) > 0: x<−2x < -2 ou x>1x > 1.
  3. Interseção com x>−1x > -1: x>1x > 1. Conferência: x=2x = 2 dá 5≈2,24<3\sqrt{5} \approx 2{,}24 < 3; x=0x = 0 dá 3≈1,73≮1\sqrt{3} \approx 1{,}73 \not< 1. Solução: (1,+∞)(1, +\infty).

TeoremaDesigualdade entre as médias (MA–MG)

Para a,b≥0a, b \ge 0, ab≤a+b2\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}, com igualdade se, e somente se, a=ba = b.
Demonstração
(a−b)2≥0(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 por ser quadrado. Desenvolvendo, a−2ab+b≥0a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0, isto é, ab≤a+b2\sqrt{ab} \le \tfrac{a + b}{2}. A igualdade ocorre se, e somente se, a=b\sqrt{a} = \sqrt{b}, ou seja, a=ba = b. ■\blacksquare

TeoremaDesigualdade de Bernoulli

Para x≥−1x \ge -1 e n∈Nn \in \N, (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \ge 1 + nx.
Demonstração
Por indução em nn. Para n=1n = 1 vale a igualdade. Suponha (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \ge 1 + nx. Como 1+x≥01 + x \ge 0, multiplicar por 1+x1 + x preserva a desigualdade: (1+x)n+1≥(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2≥1+(n+1)x(1 + x)^{n+1} \ge (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \ge 1 + (n + 1)x, pois nx2≥0nx^2 \ge 0. ■\blacksquare

TeoremaDesigualdade de Cauchy–Schwarz no plano

Para reais a1,a2,b1,b2a_1, a_2, b_1, b_2: (a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22)(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2), com igualdade se, e somente se, a1b2=a2b1a_1b_2 = a_2b_1.
Demonstração
Expandindo, verifica-se a identidade de Lagrange: (a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−a2b1)2(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2 = (a_1b_2 - a_2b_1)^2. O lado direito é um quadrado, logo ≥0\ge 0, e se anula exatamente quando a1b2=a2b1a_1b_2 = a_2b_1. ■\blacksquare

Exemplo resolvidoMenor valor sem derivadas

Mostre que x+4x≥4x + \dfrac{4}{x} \ge 4 para todo x>0x > 0 e determine quando vale a igualdade.
  1. Aplicando MA–MG a a=xa = x e b=4xb = \tfrac{4}{x}, ambos positivos: x+4x2≥x⋅4x=2\dfrac{x + \frac{4}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \tfrac{4}{x}} = 2.
  2. Logo x+4x≥4x + \tfrac{4}{x} \ge 4, com igualdade se, e somente se, x=4xx = \tfrac{4}{x}, isto é, x=2x = 2 (pois x>0x > 0).
  3. Para x<0x < 0 a afirmação é falsa: x=−1x = -1 dá −5-5. A hipótese x>0x > 0 é usada na aplicação de MA–MG.

ContraexemploMultiplicar sem conhecer o sinal

"De 1x<1\tfrac{1}{x} < 1 segue 1<x1 < x" é falso: para x=−1x = -1, 1x=−1<1\tfrac{1}{x} = -1 < 1, mas x<1x < 1. Pelo estudo de sinal, 1x−1=1−xx<0\tfrac{1}{x} - 1 = \tfrac{1 - x}{x} < 0 dá x<0x < 0 ou x>1x > 1.

1.5 Plano cartesiano

DefiniçãoCoordenadas

Fixadas duas retas numéricas perpendiculares com a mesma unidade (eixos xx e yy), cada ponto PP do plano corresponde a um único par ordenado (x,y)∈R2(x, y) \in \R^2 e vice-versa. Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes. Essa correspondência permite traduzir propriedades geométricas em equações e desigualdades.

TeoremaDistância entre dois pontos

A distância entre P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) e P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) é d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2.d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
Demonstração
O ponto Q=(x2,y1)Q = (x_2, y_1) forma com P1P_1 e P2P_2 um triângulo retângulo em QQ, de catetos ∣x2−x1∣|x_2 - x_1| e ∣y2−y1∣|y_2 - y_1| (se um cateto é nulo, os pontos estão numa reta horizontal ou vertical e a fórmula se reduz a ∣x2−x1∣|x_2 - x_1| ou ∣y2−y1∣|y_2 - y_1|). Pelo Teorema de Pitágoras (Geometria Plana, Capítulo 8), d2=∣x2−x1∣2+∣y2−y1∣2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2. ■\blacksquare

TeoremaPonto médio

O ponto M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\tfrac{x_1 + x_2}{2}, \tfrac{y_1 + y_2}{2}\right) satisfaz d(P1,M)=d(M,P2)=12 d(P1,P2)d(P_1, M) = d(M, P_2) = \tfrac{1}{2}\,d(P_1, P_2) e está no segmento P1P2P_1P_2.
Demonstração
M−P1=(x2−x12,y2−y12)=P2−MM - P_1 = \left(\tfrac{x_2 - x_1}{2}, \tfrac{y_2 - y_1}{2}\right) = P_2 - M; pela fórmula da distância, d(P1,M)=d(M,P2)=12(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, M) = d(M, P_2) = \tfrac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. Como d(P1,M)+d(M,P2)=d(P1,P2)d(P_1, M) + d(M, P_2) = d(P_1, P_2), vale a igualdade na desigualdade triangular, e MM está no segmento. ■\blacksquare

TeoremaA inclinação de uma reta está bem definida

Numa reta não vertical, o quociente m=y2−y1x2−x1m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} é o mesmo para quaisquer dois pontos distintos (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) da reta. Esse número é a inclinação (ou coeficiente angular) da reta.
Demonstração
Dados dois pares de pontos da reta, os triângulos retângulos com hipotenusas sobre a reta e catetos paralelos aos eixos têm ângulos correspondentes congruentes (retas paralelas cortadas pela mesma transversal). Pela semelhança de triângulos (Geometria Plana), as razões entre cateto vertical e cateto horizontal são iguais; os sinais também coincidem, pois a reta sobe (ou desce) nos dois casos. ■\blacksquare

PropriedadeEquações da reta

Reta por (x0,y0)(x_0, y_0) com inclinação mm: y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) (forma ponto-inclinação). Forma reduzida: y=mx+by = mx + b, com bb o intercepto no eixo yy. Reta vertical: x=cx = c (sem inclinação). Toda reta tem equação geral Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 com AA e BB não ambos nulos; se B≠0B \neq 0, sua inclinação é −AB-\tfrac{A}{B}.

TeoremaParalelas e perpendiculares

Retas não verticais de inclinações m1m_1 e m2m_2 são paralelas se, e somente se, m1=m2m_1 = m_2, e perpendiculares se, e somente se, m1m2=−1m_1 m_2 = -1.
Demonstração
Paralelismo e perpendicularidade não mudam por translação; basta considerar as retas y=m1xy = m_1x e y=m2xy = m_2x pela origem OO. Elas coincidem (caso paralelo) se, e somente se, m1=m2m_1 = m_2. Para a perpendicularidade, tome P=(1,m1)P = (1, m_1) e Q=(1,m2)Q = (1, m_2). Pelo Teorema de Pitágoras e sua recíproca, OP⊥OQ⇔d(P,Q)2=d(O,P)2+d(O,Q)2⇔(m1−m2)2=(1+m12)+(1+m22)⇔−2m1m2=2⇔m1m2=−1OP \perp OQ \Leftrightarrow d(P, Q)^2 = d(O, P)^2 + d(O, Q)^2 \Leftrightarrow (m_1 - m_2)^2 = (1 + m_1^2) + (1 + m_2^2) \Leftrightarrow -2m_1m_2 = 2 \Leftrightarrow m_1m_2 = -1. ■\blacksquare

TeoremaDistância de um ponto a uma reta

A distância do ponto P0=(x0,y0)P_0 = (x_0, y_0) à reta r:Ax+By+C=0r: Ax + By + C = 0 é d(P0,r)=∣Ax0+By0+C∣A2+B2.d(P_0, r) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Demonstração
Para P=(x,y)∈rP = (x, y) \in r, vale Ax+By=−CAx + By = -C, logo Ax0+By0+C=A(x0−x)+B(y0−y)Ax_0 + By_0 + C = A(x_0 - x) + B(y_0 - y). Por Cauchy–Schwarz, ∣Ax0+By0+C∣≤A2+B2 (x0−x)2+(y0−y)2=A2+B2  d(P0,P)|Ax_0 + By_0 + C| \le \sqrt{A^2 + B^2}\,\sqrt{(x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2} = \sqrt{A^2 + B^2}\; d(P_0, P). Assim d(P0,P)≥∣Ax0+By0+C∣A2+B2d(P_0, P) \ge \tfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} para todo P∈rP \in r. A igualdade é atingida pelo ponto P∗=(x0−λA, y0−λB)P^* = (x_0 - \lambda A,\ y_0 - \lambda B) com λ=Ax0+By0+CA2+B2\lambda = \tfrac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2}: verifica-se que P∗∈rP^* \in r e que (x0−x∗,y0−y∗)=λ(A,B)(x_0 - x^*, y_0 - y^*) = \lambda(A, B), caso de igualdade de Cauchy–Schwarz. ■\blacksquare

DefiniçãoCircunferência

A circunferência de centro C=(h,k)C = (h, k) e raio r>0r > 0 é o conjunto dos pontos a distância rr de CC: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2. Uma equação x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma circunferência se, e somente se, D2+E24−F>0\tfrac{D^2 + E^2}{4} - F > 0 (completando quadrados).

Exemplo resolvidoCompletar quadrados e reta tangente

Identifique a curva x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 e determine a reta tangente a ela no ponto (7,1)(7, 1).
  1. Completando quadrados: (x2−6x+9)+(y2+4y+4)=12+9+4(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4, isto é, (x−3)2+(y+2)2=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25: circunferência de centro (3,−2)(3, -2) e raio 55.
  2. (7,1)(7, 1) está nela: 16+9=2516 + 9 = 25.
  3. A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Inclinação do raio: 1−(−2)7−3=34\tfrac{1 - (-2)}{7 - 3} = \tfrac{3}{4}; da tangente: −43-\tfrac{4}{3}.
  4. Tangente: y−1=−43(x−7)y - 1 = -\tfrac{4}{3}(x - 7), ou 4x+3y−31=04x + 3y - 31 = 0. Conferência: d((3,−2),r)=∣12−6−31∣5=5d\big((3, -2), r\big) = \tfrac{|12 - 6 - 31|}{5} = 5, o raio.

Exemplo resolvidoReta e circunferência: posição relativa

Determine os pontos comuns à reta y=x+1y = x + 1 e à circunferência x2+y2=5x^2 + y^2 = 5.
  1. Substituindo: x2+(x+1)2=5⇒2x2+2x−4=0⇒x2+x−2=0⇒(x+2)(x−1)=0x^2 + (x + 1)^2 = 5 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x - 1) = 0.
  2. x=1⇒y=2x = 1 \Rightarrow y = 2; x=−2⇒y=−1x = -2 \Rightarrow y = -1. A reta é secante: pontos (1,2)(1, 2) e (−2,−1)(-2, -1).
  3. Conferência pela distância do centro à reta x−y+1=0x - y + 1 = 0: 12≈0,71<5\tfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71 < \sqrt{5}, confirmando dois pontos comuns.

Nota históricaCoordenadas: Fermat e Descartes

A ideia de estudar curvas por equações apareceu, de modos independentes, em Fermat e em Descartes, cujo La Géométrie foi publicado em 1637. O plano cartesiano como o usamos (dois eixos perpendiculares com a mesma unidade, coordenadas negativas) é uma padronização posterior. O ensaio desta unidade discute essa história.

Explorar no MatLabG

Valor absoluto: distância e tolerância →
|x − a| é a distância entre x e a. Com essa leitura, decida antes de olhar: que conjunto uma condição com módulo descreve (inclusive os casos-limite |x − 3| ≤ 0 e |x − 2| > −1)? Uma peça medida com incerteza pode ser aceita com garantia? Se |y − a| < δ e |x − y| < δ, quão longe x pode estar de a? O programa procura o x que refuta a sua conjectura — nas extremidades, inclusive —, e a justificativa vem da leitura como distância e da desigualdade triangular. A mesma desigualdade decide tolerâncias de fabricação, erros de medição, distâncias em mapas e comparações no computador.

No MatLabG, o conteúdo desta unidade encontra outras áreas e a experimentação, com aplicações resolvidas. Depois, volte aqui para formalizar nas atividades.

Síntese

  • R\R é um corpo ordenado completo: a completude (todo conjunto não vazio limitado superiormente tem supremo) é o que falta a Q\Q.
  • Da completude vêm a propriedade arquimediana, a existência de 2\sqrt{2}, a densidade de racionais e irracionais e os intervalos encaixados.
  • Intervalos fechados e limitados têm máximo e mínimo; abertos, não necessariamente — as hipóteses dos teoremas importam.
  • ∣x−a∣|x - a| é distância; ∣x−a∣<δ⇔a−δ<x<a+δ|x - a| < \delta \Leftrightarrow a - \delta < x < a + \delta; ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x + y| \le |x| + |y|.
  • Inequações se resolvem por operações que preservam (ou invertem, com justificativa) a ordem e por estudo de sinal.
  • No plano, a distância vem de Pitágoras; perpendicularidade é m1m2=−1m_1 m_2 = -1; a distância de ponto a reta vem de Cauchy–Schwarz.

Exercícios

60 exercícios autorais, organizados por tópico e em três níveis (Fundamental, Intermediário, Aprofundamento): 19 resolvidos, que mostram o raciocínio completo, e 41 propostos, para você resolver antes de conferir a resolução completa. Os tipos de questão foram escolhidos a partir de obras de referência (lista ao final); dados, redação e resoluções são próprios.

1.1 Números reais

Exercício 1.1.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Conceitual
Classifique como racional ou irracional, justificando: (a) 0,1250{,}125; (b) 227\tfrac{22}{7}; (c) 49\sqrt{49}; (d) 32−13\sqrt{2} - 1; (e) (2)3(\sqrt{2})^3; (f) 0,1010010001…0{,}1010010001\ldots (a quantidade de zeros entre os uns aumenta uma unidade de cada vez).

Resolução

  1. (a) 0,125=1251000=180{,}125 = \tfrac{125}{1000} = \tfrac{1}{8}: racional. (b) Quociente de inteiros: racional (é só uma aproximação de π\pi). (c) 49=7\sqrt{49} = 7: racional.
  2. (d) Se 32−1=q∈Q3\sqrt{2} - 1 = q \in \Q, então 2=q+13∈Q\sqrt{2} = \tfrac{q + 1}{3} \in \Q, contradição. Irracional.
  3. (e) (2)3=22(\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}; se fosse racional qq, 2=q2\sqrt{2} = \tfrac{q}{2} seria racional. Irracional.
  4. (f) Uma dízima representa um racional se, e somente se, é finita ou periódica. Aqui os blocos de zeros crescem sem fim, logo não há período: irracional.

Resposta: Racionais: (a), (b), (c). Irracionais: (d), (e), (f).

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.1.2

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo
Escreva 1,245‾=1,24545…1{,}2\overline{45} = 1{,}24545\ldots como fração irredutível.

Resolução

  1. Seja x=1,24545…x = 1{,}24545\ldots O período (4545) começa após uma casa decimal.
  2. 10x=12,4545…10x = 12{,}4545\ldots e 1000x=1245,4545…1000x = 1245{,}4545\ldots têm a mesma parte decimal.
  3. Subtraindo: 990x=1233990x = 1233, logo x=1233990=137110x = \tfrac{1233}{990} = \tfrac{137}{110} (dividindo por 99).
  4. Conferência: 137÷110=1,24545…137 \div 110 = 1{,}24545\ldots

Resposta: 137110\tfrac{137}{110}.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.1.3

Resolvido Nível 2 · Intermediário Demonstração
Sejam r∈Qr \in \Q, r≠0r \neq 0, e xx irracional. Prove que r+xr + x e rxrx são irracionais.

Resolução

  1. Se r+x=q∈Qr + x = q \in \Q, então x=q−r∈Qx = q - r \in \Q (Q\Q é fechado para a subtração): contradição.
  2. Se rx=q∈Qrx = q \in \Q, como r≠0r \neq 0, x=qr∈Qx = \tfrac{q}{r} \in \Q (Q\Q é fechado para a divisão por não nulos): contradição.
  3. A hipótese r≠0r \neq 0 é necessária: 0⋅2=0∈Q0 \cdot \sqrt{2} = 0 \in \Q.

Resposta: Ambos são irracionais (demonstração por contradição).

Exercício 1.1.4

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Seja A={1n−1m:n,m∈N}A = \left\{ \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{m} : n, m \in \N \right\}. Determine sup⁡A\sup A e inf⁡A\inf A e decida se são máximo e mínimo.

Resolução

  1. Para n,m∈Nn, m \in \N: 0<1n≤10 < \tfrac{1}{n} \le 1 e 0<1m≤10 < \tfrac{1}{m} \le 1, logo −1<1n−1m<1-1 < \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{m} < 1. Assim 11 é limitante superior e −1-1 é limitante inferior.
  2. Dado ε>0\varepsilon > 0, pela propriedade arquimediana existe mm com 1m<ε\tfrac{1}{m} < \varepsilon. Com n=1n = 1: 1−1m>1−ε1 - \tfrac{1}{m} > 1 - \varepsilon. Nenhum número menor que 11 é limitante superior: sup⁡A=1\sup A = 1.
  3. Por simetria (troque nn e mm), 1n−1<−1+ε\tfrac{1}{n} - 1 < -1 + \varepsilon para nn grande: inf⁡A=−1\inf A = -1.
  4. 1∉A1 \notin A e −1∉A-1 \notin A, pois exigiriam 1m=0\tfrac{1}{m} = 0 ou 1n=0\tfrac{1}{n} = 0. Não há máximo nem mínimo.

Resposta: sup⁡A=1\sup A = 1 e inf⁡A=−1\inf A = -1, nenhum dos dois atingido.

Tipo de questão observado em: Richardson (2008), cap. 1.

Exercício 1.1.5

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo
Qual é maior: π\pi ou 355113\tfrac{355}{113}? E π\pi ou 227\tfrac{22}{7}? Use 3,1415926<π<3,14159273{,}1415926 < \pi < 3{,}1415927.
Conferir a resolução completa
  1. 355113=3,14159292…>3,1415927>π\tfrac{355}{113} = 3{,}14159292\ldots > 3{,}1415927 > \pi.
  2. 227=3,142857…>π\tfrac{22}{7} = 3{,}142857\ldots > \pi.
  3. Erros: 355113−π<3,1415930−3,1415926=4×10−7\tfrac{355}{113} - \pi < 3{,}1415930 - 3{,}1415926 = 4 \times 10^{-7} e 227−π<0,0013\tfrac{22}{7} - \pi < 0{,}0013. A fração 355113\tfrac{355}{113}, conhecida na China desde o século V, é muito melhor.

Resposta: As duas frações são maiores que π\pi; 355113\tfrac{355}{113} erra por menos de 4×10−74 \times 10^{-7}.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.1.6

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo
Escreva como fração irredutível: (a) 0,318‾0{,}\overline{318}; (b) 2,16‾2{,}1\overline{6}.
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  1. (a) x=0,318318…x = 0{,}318318\ldots: 1000x−x=3181000x - x = 318, x=318999=106333x = \tfrac{318}{999} = \tfrac{106}{333}.
  2. (b) x=2,1666…x = 2{,}1666\ldots: 100x−10x=216,66…−21,66…=195100x - 10x = 216{,}66\ldots - 21{,}66\ldots = 195, x=19590=136x = \tfrac{195}{90} = \tfrac{13}{6}.

Resposta: (a) 106333\tfrac{106}{333}; (b) 136\tfrac{13}{6}.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.1.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Demonstração
Prove que 6\sqrt{6} é irracional.
Conferir a resolução completa
  1. Suponha 6=pq\sqrt{6} = \tfrac{p}{q} com p,qp, q positivos sem fator comum. Então p2=6q2p^2 = 6q^2 é par, logo pp é par: p=2kp = 2k.
  2. Então 4k2=6q24k^2 = 6q^2, isto é, 2k2=3q22k^2 = 3q^2. Logo 3q23q^2 é par; como 33 é ímpar, q2q^2 é par e qq é par.
  3. pp e qq pares contradiz a hipótese de fração irredutível.

Resposta: 6∉Q\sqrt{6} \notin \Q.

Exercício 1.1.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Demonstração
Prove que 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} é irracional.
Conferir a resolução completa
  1. Suponha 2+3=r∈Q\sqrt{2} + \sqrt{3} = r \in \Q; note que r>0r > 0.
  2. Então 3=r−2\sqrt{3} = r - \sqrt{2} e, elevando ao quadrado, 3=r2−2r2+23 = r^2 - 2r\sqrt{2} + 2.
  3. Logo 2=r2−12r∈Q\sqrt{2} = \dfrac{r^2 - 1}{2r} \in \Q, contradição com a irracionalidade de 2\sqrt{2}.

Resposta: 2+3∉Q\sqrt{2} + \sqrt{3} \notin \Q.

Exercício 1.1.9

Proposto Nível 2 · Intermediário Conceitual
Verdadeiro ou falso? Justifique com demonstração ou contraexemplo. (a) O produto de dois irracionais é irracional. (b) Entre dois irracionais distintos há um racional. (c) Se x2∈Qx^2 \in \Q, então x∈Qx \in \Q. (d) Todo subconjunto não vazio de R\R limitado inferiormente tem ínfimo.
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  1. (a) Falso: 2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2.
  2. (b) Verdadeiro: é a densidade de Q\Q em R\R, que vale entre quaisquer reais distintos.
  3. (c) Falso: x=2x = \sqrt{2}.
  4. (d) Verdadeiro: se AA é limitado inferiormente, −A={−x:x∈A}-A = \{-x : x \in A\} é limitado superiormente e tem supremo ss; então −s=inf⁡A-s = \inf A (veja o exercício 1.1.11).

Resposta: (a) F; (b) V; (c) F; (d) V.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.1.10

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Determine, em R\R, o supremo e o ínfimo de C={x∈Q:x2<3}C = \{x \in \Q : x^2 < 3\}. Eles pertencem a CC?
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  1. x2<3⇔−3<x<3x^2 < 3 \Leftrightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}; logo C=Q∩(−3,3)C = \Q \cap (-\sqrt{3}, \sqrt{3}).
  2. 3\sqrt{3} é limitante superior; pela densidade, entre 3−ε\sqrt{3} - \varepsilon e 3\sqrt{3} há racionais de CC. Logo sup⁡C=3\sup C = \sqrt{3}; analogamente, inf⁡C=−3\inf C = -\sqrt{3}.
  3. ±3\pm\sqrt{3} são irracionais, logo não estão em CC.

Resposta: sup⁡C=3\sup C = \sqrt{3} e inf⁡C=−3\inf C = -\sqrt{3}; nenhum pertence a CC.

Tipo de questão observado em: Richardson (2008), cap. 1.

Exercício 1.1.11

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Seja A⊂RA \subset \R não vazio e limitado superiormente, e −A={−x:x∈A}-A = \{-x : x \in A\}. Prove que −A-A é limitado inferiormente e que inf⁡(−A)=−sup⁡A\inf(-A) = -\sup A.
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  1. Seja s=sup⁡As = \sup A. Para x∈Ax \in A, x≤sx \le s, logo −x≥−s-x \ge -s: −s-s é limitante inferior de −A-A.
  2. Dado ε>0\varepsilon > 0, existe x∈Ax \in A com x>s−εx > s - \varepsilon, isto é, −x<−s+ε-x < -s + \varepsilon. Nenhum número maior que −s-s é limitante inferior de −A-A.
  3. Logo inf⁡(−A)=−s=−sup⁡A\inf(-A) = -s = -\sup A.

Resposta: inf⁡(−A)=−sup⁡A\inf(-A) = -\sup A.

Tipo de questão observado em: Richardson (2008), cap. 1.

Exercício 1.1.12

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Prove que, para cada x∈Rx \in \R, existe um único inteiro nn com n≤x<n+1n \le x < n + 1 (a parte inteira de xx, denotada ⌊x⌋\lfloor x \rfloor).
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  1. Existência: pela propriedade arquimediana, há inteiros maiores que xx; o conjunto S={k∈Z:k>x}S = \{k \in \Z : k > x\} é não vazio e limitado inferiormente por xx (e por algum inteiro, aplicando a arquimediana a −x-x). Todo conjunto de inteiros não vazio e limitado inferiormente tem mínimo; seja m=min⁡Sm = \min S.
  2. Então m>xm > x e m−1∉Sm - 1 \notin S, isto é, m−1≤xm - 1 \le x. Com n=m−1n = m - 1: n≤x<n+1n \le x < n + 1.
  3. Unicidade: se n≤x<n+1n \le x < n + 1 e n′≤x<n′+1n' \le x < n' + 1, então n<n′+1n < n' + 1 e n′<n+1n' < n + 1, isto é, ∣n−n′∣<1|n - n'| < 1; como são inteiros, n=n′n = n'.

Resposta: Existe e é único: n=⌊x⌋n = \lfloor x \rfloor.

Exercício 1.1.13

Proposto Nível 2 · Intermediário Aplicação
A fração 9970\tfrac{99}{70} aproxima 2\sqrt{2}. Sem calculadora, mostre que o erro é menor que 10−410^{-4}.
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  1. (9970)2=98014900\left(\tfrac{99}{70}\right)^2 = \tfrac{9801}{4900}, e 98014900−2=14900\tfrac{9801}{4900} - 2 = \tfrac{1}{4900}. Logo 9970>2\tfrac{99}{70} > \sqrt{2}.
  2. 9970−2=(9970)2−29970+2=1/49009970+2\tfrac{99}{70} - \sqrt{2} = \dfrac{\left(\frac{99}{70}\right)^2 - 2}{\frac{99}{70} + \sqrt{2}} = \dfrac{1/4900}{\frac{99}{70} + \sqrt{2}}.
  3. O denominador é maior que 1,4+1,4=2,81{,}4 + 1{,}4 = 2{,}8, logo o erro é menor que 14900⋅2,8=113 720<10−4\tfrac{1}{4900 \cdot 2{,}8} = \tfrac{1}{13\,720} < 10^{-4}.

Resposta: 0<9970−2<113 720≈7,3×10−50 < \tfrac{99}{70} - \sqrt{2} < \tfrac{1}{13\,720} \approx 7{,}3 \times 10^{-5}.

1.2 Intervalos

Exercício 1.2.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Conceitual
Escreva em notação de intervalo e diga se o conjunto é limitado: (a) {x:−3<x≤5}\{x : -3 < x \le 5\}; (b) "tt é não negativo"; (c) "a taxa rr é maior que 3%3\% e no máximo 7%7\%"; (d) {x:x<−1 ou x≥2}\{x : x < -1 \text{ ou } x \ge 2\}.

Resolução

  1. (a) (−3,5](-3, 5]: limitado.
  2. (b) t≥0t \ge 0: [0,+∞)[0, +\infty), ilimitado.
  3. (c) 0,03<r≤0,070{,}03 < r \le 0{,}07: (0,03; 0,07](0{,}03;\ 0{,}07], limitado.
  4. (d) (−∞,−1)∪[2,+∞)(-\infty, -1) \cup [2, +\infty): não é um intervalo (falta o trecho [−1,2)[-1, 2)) e é ilimitado.

Resposta: (a) (−3,5](-3, 5]; (b) [0,+∞)[0, +\infty); (c) (0,03; 0,07](0{,}03;\ 0{,}07]; (d) (−∞,−1)∪[2,+∞)(-\infty, -1) \cup [2, +\infty).

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.2.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Sejam A=(−∞,2]A = (-\infty, 2], B=(−1,4)B = (-1, 4) e C=[3,+∞)C = [3, +\infty). Determine A∩BA \cap B, B∖CB \setminus C, (A∩B)∪C(A \cap B) \cup C e R∖(A∪C)\R \setminus (A \cup C).

Resolução

  1. A∩BA \cap B: x≤2x \le 2 e −1<x<4-1 < x < 4: (−1,2](-1, 2].
  2. B∖CB \setminus C: em BB e x<3x < 3: (−1,3)(-1, 3).
  3. (A∩B)∪C=(−1,2]∪[3,+∞)(A \cap B) \cup C = (-1, 2] \cup [3, +\infty).
  4. A∪C=(−∞,2]∪[3,+∞)A \cup C = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty); o complementar é o que falta: (2,3)(2, 3).

Resposta: (−1,2](-1, 2]; (−1,3)(-1, 3); (−1,2]∪[3,+∞)(-1, 2] \cup [3, +\infty); (2,3)(2, 3).

Tipo de questão observado em: Larson (2013), Apêndice A.1.

Exercício 1.2.3

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Mostre que ⋂n∈N(1−1n, 2+1n]=[1,2]\displaystyle\bigcap_{n \in \N} \left(1 - \tfrac{1}{n},\ 2 + \tfrac{1}{n}\right] = [1, 2].

Resolução

  1. [1,2][1, 2] está contido em cada intervalo: se 1≤x≤21 \le x \le 2, então 1−1n<1≤x≤2<2+1n1 - \tfrac{1}{n} < 1 \le x \le 2 < 2 + \tfrac{1}{n}.
  2. Se x<1x < 1: pela propriedade arquimediana, existe nn com 1n<1−x\tfrac{1}{n} < 1 - x, isto é, x<1−1nx < 1 - \tfrac{1}{n}; então x∉(1−1n,2+1n]x \notin \left(1 - \tfrac{1}{n}, 2 + \tfrac{1}{n}\right].
  3. Se x>2x > 2: existe nn com 1n<x−2\tfrac{1}{n} < x - 2, isto é, x>2+1nx > 2 + \tfrac{1}{n}, e xx não está nesse intervalo.
  4. Logo a interseção é exatamente [1,2][1, 2]: interseções infinitas de intervalos não fechados podem ser fechadas.

Resposta: A interseção é [1,2][1, 2].

Exercício 1.2.4

Proposto Nível 1 · Fundamental Conceitual
Escreva em notação de intervalo: (a) x≤5x \le 5; (b) 0≤x<80 \le x < 8; (c) x>−2x > -2; (d) "yy é pelo menos 44".
Conferir a resolução completa
  1. (a) (−∞,5](-\infty, 5]. (b) [0,8)[0, 8). (c) (−2,+∞)(-2, +\infty). (d) y≥4y \ge 4: [4,+∞)[4, +\infty).

Resposta: (−∞,5](-\infty, 5]; [0,8)[0, 8); (−2,+∞)(-2, +\infty); [4,+∞)[4, +\infty).

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.2.5

Proposto Nível 1 · Fundamental Conceitual
Determine supremo, ínfimo, máximo e mínimo (quando existirem) de: (a) [−2,5)[-2, 5); (b) (−∞,3](-\infty, 3]; (c) (0,1)∪{2}(0, 1) \cup \{2\}.
Conferir a resolução completa
  1. (a) inf⁡=min⁡=−2\inf = \min = -2; sup⁡=5\sup = 5, sem máximo.
  2. (b) sup⁡=max⁡=3\sup = \max = 3; não é limitado inferiormente: sem ínfimo nem mínimo.
  3. (c) sup⁡=max⁡=2\sup = \max = 2; inf⁡=0\inf = 0, sem mínimo.

Resposta: (a) min⁡=−2\min = -2, sup⁡=5\sup = 5; (b) max⁡=3\max = 3; (c) max⁡=2\max = 2, inf⁡=0\inf = 0.

Exercício 1.2.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Sejam A=[−3,1)A = [-3, 1) e B=(0,+∞)B = (0, +\infty). Determine A∪BA \cup B, A∩BA \cap B, A∖BA \setminus B, B∖AB \setminus A e R∖(A∪B)\R \setminus (A \cup B).
Conferir a resolução completa
  1. A∪B=[−3,+∞)A \cup B = [-3, +\infty); A∩B=(0,1)A \cap B = (0, 1).
  2. A∖B=[−3,0]A \setminus B = [-3, 0] (o 00 não está em BB); B∖A=[1,+∞)B \setminus A = [1, +\infty).
  3. R∖(A∪B)=(−∞,−3)\R \setminus (A \cup B) = (-\infty, -3).

Resposta: [−3,+∞)[-3, +\infty); (0,1)(0, 1); [−3,0][-3, 0]; [1,+∞)[1, +\infty); (−∞,−3)(-\infty, -3).

Tipo de questão observado em: Larson (2013), Apêndice A.1.

Exercício 1.2.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Um intervalo [a,b][a, b] tem centro c=a+b2c = \tfrac{a + b}{2} e semiamplitude ρ=b−a2\rho = \tfrac{b - a}{2}. Calcule-os para [7,21][7, 21] e [−6,85; 9,35][-6{,}85;\ 9{,}35], e escreva cada intervalo como [c−ρ, c+ρ][c - \rho,\ c + \rho].
Conferir a resolução completa
  1. [7,21][7, 21]: c=14c = 14, ρ=7\rho = 7: [14−7, 14+7][14 - 7,\ 14 + 7].
  2. [−6,85; 9,35][-6{,}85;\ 9{,}35]: c=2,52=1,25c = \tfrac{2{,}5}{2} = 1{,}25; ρ=16,22=8,1\rho = \tfrac{16{,}2}{2} = 8{,}1: [1,25−8,1; 1,25+8,1][1{,}25 - 8{,}1;\ 1{,}25 + 8{,}1].

Resposta: c=14c = 14, ρ=7\rho = 7; c=1,25c = 1{,}25, ρ=8,1\rho = 8{,}1.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.2.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Determine ⋃n∈N[1n, 2−1n]\displaystyle\bigcup_{n \in \N} \left[\tfrac{1}{n},\ 2 - \tfrac{1}{n}\right].
Conferir a resolução completa
  1. Para n=1n = 1 o intervalo é {1}\{1\}; os intervalos crescem com nn.
  2. Todo x∈(0,2)x \in (0, 2) está em algum deles: basta 1n≤min⁡(x,2−x)\tfrac{1}{n} \le \min(x, 2 - x), o que a propriedade arquimediana garante.
  3. 00 e 22 não estão em nenhum (1n>0\tfrac{1}{n} > 0), nem pontos fora de [0,2][0, 2].

Resposta: (0,2)(0, 2): união infinita de fechados que é aberta.

Exercício 1.2.9

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Investigação
Método da bisseção para 2\sqrt{2}: comece com I0=[1,2]I_0 = [1, 2] (note 12<2<221^2 < 2 < 2^2). Em cada passo, divida o intervalo ao meio e fique com a metade em cujos extremos x2−2x^2 - 2 muda de sinal. Faça quatro passos e explique, pelo teorema dos intervalos encaixados, por que o processo determina 2\sqrt{2}.
Conferir a resolução completa
  1. 1,52=2,25>21{,}5^2 = 2{,}25 > 2: I1=[1; 1,5]I_1 = [1;\ 1{,}5]. 1,252=1,5625<21{,}25^2 = 1{,}5625 < 2: I2=[1,25; 1,5]I_2 = [1{,}25;\ 1{,}5].
  2. 1,3752=1,890625<21{,}375^2 = 1{,}890625 < 2: I3=[1,375; 1,5]I_3 = [1{,}375;\ 1{,}5]. 1,43752=2,06640625>21{,}4375^2 = 2{,}06640625 > 2: I4=[1,375; 1,4375]I_4 = [1{,}375;\ 1{,}4375].
  3. Os intervalos são fechados, limitados e encaixados: há um ponto α\alpha comum a todos. Em cada Ik=[ak,bk]I_k = [a_k, b_k] vale ak2<2<bk2a_k^2 < 2 < b_k^2, e o comprimento é 2−k2^{-k}.
  4. Como ak≤α,2≤bka_k \le \alpha, \sqrt{2} \le b_k, temos ∣α−2∣≤2−k|\alpha - \sqrt{2}| \le 2^{-k} para todo kk; pela arquimediana, α=2\alpha = \sqrt{2}. Após quatro passos, o erro é no máximo 116\tfrac{1}{16}.

Resposta: I4=[1,375; 1,4375]I_4 = [1{,}375;\ 1{,}4375] contém 2\sqrt{2}; o ponto comum a todos os IkI_k é 2\sqrt{2}.

Exercício 1.2.10

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Um conjunto I⊂RI \subset \R é um intervalo exatamente quando, para x,y∈Ix, y \in I e x<z<yx < z < y, vale z∈Iz \in I (convexidade). Prove que a interseção de dois intervalos é vazia ou é um intervalo.
Conferir a resolução completa
  1. Sejam II e JJ intervalos, e suponha I∩J≠∅I \cap J \neq \varnothing. Tome x,y∈I∩Jx, y \in I \cap J e x<z<yx < z < y.
  2. Como x,y∈Ix, y \in I e II é convexo, z∈Iz \in I; do mesmo modo, z∈Jz \in J. Logo z∈I∩Jz \in I \cap J.
  3. I∩JI \cap J é convexo, portanto é um intervalo (possivelmente reduzido a um ponto).

Resposta: A interseção é vazia ou um intervalo.

1.3 Valor absoluto

Exercício 1.3.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo
Para a=−126a = -126 e b=−75b = -75, calcule a distância orientada de aa até bb (b−ab - a), a de bb até aa e a distância entre eles. Repita para a=9,34a = 9{,}34 e b=−5,65b = -5{,}65.

Resolução

  1. b−a=−75+126=51b - a = -75 + 126 = 51; a−b=−51a - b = -51; distância ∣b−a∣=51|b - a| = 51.
  2. b−a=−5,65−9,34=−14,99b - a = -5{,}65 - 9{,}34 = -14{,}99; a−b=14,99a - b = 14{,}99; distância 14,9914{,}99.
  3. A distância orientada tem sinal (indica o sentido); a distância é sempre ≥0\ge 0.

Resposta: 5151, −51-51, 5151; −14,99-14{,}99, 14,9914{,}99, 14,9914{,}99.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.3.2

Resolvido Nível 1 · Fundamental Conceitual
Descreva com valor absoluto e com intervalos: (a) os números a no máximo 1010 unidades de 1212; (b) os números a pelo menos 1010 unidades de 1212; (c) o intervalo [20,24][20, 24].

Resolução

  1. (a) ∣x−12∣≤10⇔2≤x≤22|x - 12| \le 10 \Leftrightarrow 2 \le x \le 22: [2,22][2, 22].
  2. (b) ∣x−12∣≥10⇔x≤2|x - 12| \ge 10 \Leftrightarrow x \le 2 ou x≥22x \ge 22: (−∞,2]∪[22,+∞)(-\infty, 2] \cup [22, +\infty).
  3. (c) Centro 2222, semiamplitude 22: ∣x−22∣≤2|x - 22| \le 2.

Resposta: (a) [2,22][2, 22]; (b) (−∞,2]∪[22,+∞)(-\infty, 2] \cup [22, +\infty); (c) ∣x−22∣≤2|x - 22| \le 2.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.3.3

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva ∣3x−1∣=∣x+5∣|3x - 1| = |x + 5|.

Resolução

  1. ∣u∣=∣v∣⇔u=v|u| = |v| \Leftrightarrow u = v ou u=−vu = -v.
  2. 3x−1=x+5⇒x=33x - 1 = x + 5 \Rightarrow x = 3.
  3. 3x−1=−(x+5)⇒4x=−4⇒x=−13x - 1 = -(x + 5) \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow x = -1.
  4. Conferência: x=3x = 3: ∣8∣=∣8∣|8| = |8|; x=−1x = -1: ∣−4∣=∣4∣|-4| = |4|.

Resposta: S={−1,3}S = \{-1, 3\}.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 2.

Exercício 1.3.4

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva ∣x−2∣<2 ∣x+1∣|x - 2| < 2\,|x + 1|.

Resolução

  1. Os dois lados são não negativos; para eles, u<v⇔u2<v2u < v \Leftrightarrow u^2 < v^2 (monotonicidade dos quadrados).
  2. (x−2)2<4(x+1)2⇔x2−4x+4<4x2+8x+4⇔3x2+12x>0⇔3x(x+4)>0(x - 2)^2 < 4(x + 1)^2 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 < 4x^2 + 8x + 4 \Leftrightarrow 3x^2 + 12x > 0 \Leftrightarrow 3x(x + 4) > 0.
  3. Estudo de sinal: x<−4x < -4 ou x>0x > 0.
  4. Conferência: x=−5x = -5: 7<87 < 8 ✓; x=−2x = -2: 4<24 < 2 ✗; x=1x = 1: 1<41 < 4 ✓.

Resposta: (−∞,−4)∪(0,+∞)(-\infty, -4) \cup (0, +\infty).

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 2.

Exercício 1.3.5

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo
Resolva: (a) ∣x+2∣<5|x + 2| < 5; (b) ∣3x+1∣≥4|3x + 1| \ge 4; (c) ∣1−2x3∣<1\left|1 - \tfrac{2x}{3}\right| < 1; (d) ∣9−2x∣<1|9 - 2x| < 1.
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  1. (a) −5<x+2<5⇔−7<x<3-5 < x + 2 < 5 \Leftrightarrow -7 < x < 3.
  2. (b) 3x+1≤−43x + 1 \le -4 ou 3x+1≥43x + 1 \ge 4: x≤−53x \le -\tfrac{5}{3} ou x≥1x \ge 1.
  3. (c) −1<1−2x3<1⇔−2<−2x3<0⇔0<x<3-1 < 1 - \tfrac{2x}{3} < 1 \Leftrightarrow -2 < -\tfrac{2x}{3} < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3 (ao multiplicar por −32-\tfrac{3}{2}, os sentidos se invertem).
  4. (d) −1<9−2x<1⇔−10<−2x<−8⇔4<x<5-1 < 9 - 2x < 1 \Leftrightarrow -10 < -2x < -8 \Leftrightarrow 4 < x < 5.

Resposta: (a) (−7,3)(-7, 3); (b) (−∞,−53]∪[1,+∞)\left(-\infty, -\tfrac{5}{3}\right] \cup [1, +\infty); (c) (0,3)(0, 3); (d) (4,5)(4, 5).

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1; Mendelson (1988), cap. 2.

Exercício 1.3.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva ∣2x−1∣=x+4|2x - 1| = x + 4.
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  1. É necessário x+4≥0x + 4 \ge 0, isto é, x≥−4x \ge -4 (um módulo não é negativo).
  2. 2x−1=x+4⇒x=52x - 1 = x + 4 \Rightarrow x = 5; 2x−1=−(x+4)⇒x=−12x - 1 = -(x + 4) \Rightarrow x = -1. Ambos satisfazem x≥−4x \ge -4.
  3. Conferência: x=5x = 5: 9=99 = 9; x=−1x = -1: 3=33 = 3.

Resposta: S={−1,5}S = \{-1, 5\}.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 2.

Exercício 1.3.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva ∣x+1∣+∣x−3∣≤6|x + 1| + |x - 3| \le 6 e interprete como soma de distâncias.
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  1. x<−1x < -1: −(x+1)−(x−3)=−2x+2≤6⇒x≥−2-(x + 1) - (x - 3) = -2x + 2 \le 6 \Rightarrow x \ge -2: [−2,−1)[-2, -1).
  2. −1≤x≤3-1 \le x \le 3: (x+1)−(x−3)=4≤6(x + 1) - (x - 3) = 4 \le 6: todo o intervalo [−1,3][-1, 3].
  3. x>3x > 3: 2x−2≤6⇒x≤42x - 2 \le 6 \Rightarrow x \le 4: (3,4](3, 4].
  4. A soma das distâncias a −1-1 e a 33 vale 44 entre eles e cresce 22 unidades por unidade de afastamento: chega a 66 uma unidade além de cada extremo.

Resposta: [−2,4][-2, 4].

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 2.

Exercício 1.3.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Demonstração
Mostre que, se ∣x−2∣<1|x - 2| < 1, então ∣x2−4∣<5|x^2 - 4| < 5.
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  1. ∣x2−4∣=∣x−2∣ ∣x+2∣|x^2 - 4| = |x - 2|\,|x + 2|.
  2. ∣x−2∣<1⇒1<x<3⇒3<x+2<5|x - 2| < 1 \Rightarrow 1 < x < 3 \Rightarrow 3 < x + 2 < 5, logo ∣x+2∣<5|x + 2| < 5.
  3. Assim ∣x2−4∣<1⋅5=5|x^2 - 4| < 1 \cdot 5 = 5.

Resposta: Demonstrado: ∣x2−4∣<5|x^2 - 4| < 5.

Exercício 1.3.9

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Investigação
Encontre δ>0\delta > 0 tal que ∣x−3∣<δ|x - 3| < \delta implique ∣x2−9∣<0,01|x^2 - 9| < 0{,}01. (Este é o tipo de raciocínio que a definição de limite exigirá.)
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  1. ∣x2−9∣=∣x−3∣ ∣x+3∣|x^2 - 9| = |x - 3|\,|x + 3|. Primeiro limite δ≤1\delta \le 1: então 2<x<42 < x < 4 e ∣x+3∣<7|x + 3| < 7.
  2. Assim ∣x2−9∣<7 ∣x−3∣<7δ|x^2 - 9| < 7\,|x - 3| < 7\delta. Basta 7δ≤0,017\delta \le 0{,}01, isto é, δ≤1700\delta \le \tfrac{1}{700}.
  3. Com δ=min⁡(1,1700)=1700\delta = \min\left(1, \tfrac{1}{700}\right) = \tfrac{1}{700} a implicação vale. Qualquer δ\delta menor também serve; o problema pede um, não o maior.

Resposta: δ=1700\delta = \tfrac{1}{700} (ou qualquer valor positivo menor).

Exercício 1.3.10

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Prove que ∣x1+x2+⋯+xn∣≤∣x1∣+∣x2∣+⋯+∣xn∣|x_1 + x_2 + \cdots + x_n| \le |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| para todo n∈Nn \in \N.
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  1. Indução em nn. Para n=1n = 1, vale a igualdade.
  2. Suponha válido para nn. Então ∣x1+⋯+xn+xn+1∣≤∣x1+⋯+xn∣+∣xn+1∣|x_1 + \cdots + x_n + x_{n+1}| \le |x_1 + \cdots + x_n| + |x_{n+1}| pela desigualdade triangular.
  3. Pela hipótese de indução, isso é ≤∣x1∣+⋯+∣xn∣+∣xn+1∣\le |x_1| + \cdots + |x_n| + |x_{n+1}|.

Resposta: Demonstrado por indução.

Exercício 1.3.11

Proposto Nível 2 · Intermediário Aplicação
Um congelador deve manter a temperatura TT (em °C) com ∣T+18∣≤3|T + 18| \le 3. Escreva a faixa como intervalo e converta para graus Fahrenheit (F=95T+32F = \tfrac{9}{5}T + 32), na forma ∣F−c∣≤ρ|F - c| \le \rho.
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  1. −3≤T+18≤3⇔−21≤T≤−15-3 \le T + 18 \le 3 \Leftrightarrow -21 \le T \le -15.
  2. A conversão é crescente: T=−21↦F=−5,8T = -21 \mapsto F = -5{,}8 e T=−15↦F=5T = -15 \mapsto F = 5.
  3. Centro c=−5,8+52=−0,4c = \tfrac{-5{,}8 + 5}{2} = -0{,}4; semiamplitude ρ=5+5,82=5,4\rho = \tfrac{5 + 5{,}8}{2} = 5{,}4.

Resposta: [−21,−15][-21, -15] °C; ∣F+0,4∣≤5,4|F + 0{,}4| \le 5{,}4 °F.

Tipo de questão observado em: Larson (2013), Apêndice A.2.

1.4 Desigualdades

Exercício 1.4.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo
Resolva (a) 7−2x≤4x+17 - 2x \le 4x + 1; (b) −5≤3x+1<7-5 \le 3x + 1 < 7.

Resolução

  1. (a) Somando 2x−12x - 1 aos dois lados: 6≤6x6 \le 6x; dividindo por 6>06 > 0: x≥1x \ge 1.
  2. (b) Subtraindo 11 de todos os membros: −6≤3x<6-6 \le 3x < 6; dividindo por 33: −2≤x<2-2 \le x < 2.

Resposta: (a) [1,+∞)[1, +\infty); (b) [−2,2)[-2, 2).

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 1.

Exercício 1.4.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva (x−1)(x+2)(x−4)>0(x - 1)(x + 2)(x - 4) > 0.

Resolução

  1. Zeros: −2-2, 11, 44. Em cada intervalo, o sinal de cada fator é constante.
  2. x<−2x < -2: (−)(−)(−)<0(-)(-)(-) < 0. −2<x<1-2 < x < 1: (−)(+)(−)>0(-)(+)(-) > 0. 1<x<41 < x < 4: (+)(+)(−)<0(+)(+)(-) < 0. x>4x > 4: (+)(+)(+)>0(+)(+)(+) > 0.

Resposta: (−2,1)∪(4,+∞)(-2, 1) \cup (4, +\infty).

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 1.

Exercício 1.4.3

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva 3x−1≥2x+1\dfrac{3}{x - 1} \ge \dfrac{2}{x + 1}.

Resolução

  1. 3x−1−2x+1=3(x+1)−2(x−1)(x−1)(x+1)=x+5(x−1)(x+1)≥0\dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{3(x + 1) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0.
  2. Zeros: −5-5 (numerador, incluído); −1-1 e 11 (denominador, excluídos).
  3. x<−5x < -5: −+<0\tfrac{-}{+} < 0. −5<x<−1-5 < x < -1: ++>0\tfrac{+}{+} > 0. −1<x<1-1 < x < 1: +−<0\tfrac{+}{-} < 0. x>1x > 1: ++>0\tfrac{+}{+} > 0.

Resposta: [−5,−1)∪(1,+∞)[-5, -1) \cup (1, +\infty).

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 1.

Exercício 1.4.4

Resolvido Nível 2 · Intermediário Aplicação
Uma oficina vende cada peça por R$ 42,00; o custo de produzir xx peças é C=27x+1200C = 27x + 1200 reais. A partir de quantas peças há lucro?

Resolução

  1. Receita R=42xR = 42x. Lucro positivo: R>C⇔42x>27x+1200⇔15x>1200⇔x>80R > C \Leftrightarrow 42x > 27x + 1200 \Leftrightarrow 15x > 1200 \Leftrightarrow x > 80.
  2. xx é inteiro: x≥81x \ge 81. Com 8080 peças o lucro é zero (ponto de equilíbrio).

Resposta: A partir de 8181 peças.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1; Larson (2013), Apêndice A.1.

Exercício 1.4.5

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo
Resolva: (a) 3x2+2<7x3x^2 + 2 < 7x; (b) x2≤4x+5x^2 \le 4x + 5.
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  1. (a) 3x2−7x+2<03x^2 - 7x + 2 < 0; raízes 7±56\tfrac{7 \pm 5}{6}: 13\tfrac{1}{3} e 22. Coeficiente de x2x^2 positivo: negativo entre as raízes.
  2. (b) x2−4x−5=(x−5)(x+1)≤0x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) \le 0: entre as raízes, com elas.

Resposta: (a) (13,2)\left(\tfrac{1}{3}, 2\right); (b) [−1,5][-1, 5].

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 1; Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.4.6

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva x3≥4xx^3 \ge 4x.
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  1. x3−4x=x(x−2)(x+2)≥0x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) \ge 0. Zeros: −2,0,2-2, 0, 2.
  2. x<−2x < -2: (−)(−)(−)<0(-)(-)(-) < 0; −2<x<0-2 < x < 0: (−)(−)(+)>0(-)(-)(+) > 0; 0<x<20 < x < 2: (+)(−)(+)<0(+)(-)(+) < 0; x>2x > 2: positivo.
  3. Atenção: dividir x3≥4xx^3 \ge 4x por xx perderia as soluções negativas.

Resposta: [−2,0]∪[2,+∞)[-2, 0] \cup [2, +\infty).

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.1.

Exercício 1.4.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva x+32−x≤1\dfrac{x + 3}{2 - x} \le 1.
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  1. x+32−x−1=x+3−2+x2−x=2x+12−x≤0\dfrac{x + 3}{2 - x} - 1 = \dfrac{x + 3 - 2 + x}{2 - x} = \dfrac{2x + 1}{2 - x} \le 0.
  2. Zeros: −12-\tfrac{1}{2} (incluído) e 22 (excluído).
  3. x<−12x < -\tfrac{1}{2}: −+<0\tfrac{-}{+} < 0 ✓; −12<x<2-\tfrac{1}{2} < x < 2: ++>0\tfrac{+}{+} > 0; x>2x > 2: +−<0\tfrac{+}{-} < 0 ✓.

Resposta: (−∞,−12]∪(2,+∞)\left(-\infty, -\tfrac{1}{2}\right] \cup (2, +\infty).

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 1.

Exercício 1.4.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Resolva 2x+1≥x−1\sqrt{2x + 1} \ge x - 1.
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  1. Domínio: x≥−12x \ge -\tfrac{1}{2}.
  2. Se x−1<0x - 1 < 0 (isto é, x<1x < 1), a desigualdade vale automaticamente: [−12,1)\left[-\tfrac{1}{2}, 1\right).
  3. Se x≥1x \ge 1, os dois lados são ≥0\ge 0 e podemos elevar ao quadrado: 2x+1≥x2−2x+1⇔x2−4x≤0⇔0≤x≤42x + 1 \ge x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 4x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 4: [1,4][1, 4].
  4. União dos casos. Conferência: x=4x = 4 dá 3≥33 \ge 3; x=5x = 5 dá 11≈3,3<4\sqrt{11} \approx 3{,}3 < 4.

Resposta: [−12,4]\left[-\tfrac{1}{2}, 4\right].

Exercício 1.4.9

Proposto Nível 2 · Intermediário Demonstração
Prove que ab+ba≥2\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2 para a,b>0a, b > 0, com igualdade se, e somente se, a=ba = b.
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  1. MA–MG com ab\tfrac{a}{b} e ba\tfrac{b}{a} (positivos): 12(ab+ba)≥ab⋅ba=1\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a}\right) \ge \sqrt{\tfrac{a}{b} \cdot \tfrac{b}{a}} = 1.
  2. Igualdade se, e somente se, ab=ba\tfrac{a}{b} = \tfrac{b}{a}, isto é, a2=b2a^2 = b^2, isto é, a=ba = b (ambos positivos).

Resposta: Demonstrado; igualdade para a=ba = b.

Exercício 1.4.10

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Prove que a2+b2+c2≥ab+bc+caa^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca para quaisquer reais a,b,ca, b, c. Quando vale a igualdade?
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  1. 2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)=(a−b)2+(b−c)2+(c−a)22(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 (expanda para conferir).
  2. A soma de quadrados é ≥0\ge 0; dividindo por 22, segue a desigualdade.
  3. Igualdade se, e somente se, os três quadrados se anulam: a=b=ca = b = c.

Resposta: Vale sempre; igualdade exatamente quando a=b=ca = b = c.

Exercício 1.4.11

Proposto Nível 2 · Intermediário Aplicação
Entre os retângulos de área 3636 m², qual tem o menor perímetro?
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  1. Lados a,b>0a, b > 0 com ab=36ab = 36. Perímetro P=2(a+b)P = 2(a + b).
  2. MA–MG: a+b≥2ab=12a + b \ge 2\sqrt{ab} = 12, logo P≥24P \ge 24.
  3. Igualdade se, e somente se, a=b=6a = b = 6.

Resposta: O quadrado de lado 66 m, com perímetro 2424 m.

Exercício 1.4.12

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Investigação
(a) Use a desigualdade de Bernoulli para encontrar um nn que garanta 1,01n>10001{,}01^n > 1000. (b) Com uma calculadora, encontre o menor nn com essa propriedade e compare. O que a diferença ensina sobre estimativas?
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  1. (a) Bernoulli com x=0,01x = 0{,}01: 1,01n≥1+0,01n1{,}01^n \ge 1 + 0{,}01n. Basta 1+0,01n>10001 + 0{,}01n > 1000, isto é, n>99 900n > 99\,900: n=99 901n = 99\,901 garante.
  2. (b) Por tentativas: 1,01694≈997,81{,}01^{694} \approx 997{,}8 e 1,01695≈1007,81{,}01^{695} \approx 1007{,}8. O menor é n=695n = 695.
  3. A estimativa de Bernoulli é válida, mas grosseira: troca uma pergunta difícil (o menor nn) por uma fácil (um nn suficiente). Essa troca, com o custo de uma cota folgada, é típica das demonstrações do Cálculo.

Resposta: (a) n=99 901n = 99\,901 basta; (b) o menor é 695695.

Exercício 1.4.13

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Aplicação
Usando Cauchy–Schwarz, mostre que 3x+4y≤103x + 4y \le 10 para todo ponto (x,y)(x, y) da circunferência x2+y2=4x^2 + y^2 = 4, e encontre o ponto em que vale a igualdade.
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  1. (3x+4y)2≤(32+42)(x2+y2)=25⋅4=100(3x + 4y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25 \cdot 4 = 100, logo 3x+4y≤103x + 4y \le 10.
  2. Igualdade quando (x,y)(x, y) é proporcional a (3,4)(3, 4) com 3x+4y>03x + 4y > 0: (x,y)=λ(3,4)(x, y) = \lambda(3, 4), λ>0\lambda > 0, e x2+y2=25λ2=4x^2 + y^2 = 25\lambda^2 = 4, λ=25\lambda = \tfrac{2}{5}.
  3. Ponto (65,85)\left(\tfrac{6}{5}, \tfrac{8}{5}\right); conferência: 185+325=10\tfrac{18}{5} + \tfrac{32}{5} = 10.

Resposta: Máximo 1010, atingido em (65,85)\left(\tfrac{6}{5}, \tfrac{8}{5}\right).

1.5 Plano cartesiano

Exercício 1.5.1

Resolvido Nível 1 · Fundamental Cálculo
Mostre que A=(1,1)A = (1, 1), B=(5,4)B = (5, 4) e C=(2,8)C = (2, 8) são vértices de um triângulo retângulo isósceles e calcule sua área.

Resolução

  1. AB=42+32=5AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5; BC=(−3)2+42=5BC = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5; AC=12+72=50AC = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{50}.
  2. AB2+BC2=25+25=50=AC2AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2: pela recíproca de Pitágoras, o ângulo em BB é reto; AB=BCAB = BC: isósceles.
  3. Área =12⋅AB⋅BC=252= \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \tfrac{25}{2}.

Resposta: Retângulo em BB, isósceles; área 12,512{,}5.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.2.

Exercício 1.5.2

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Os pontos (−2,−1)(-2, -1), (1,1)(1, 1) e (7,5)(7, 5) são colineares? Justifique de dois modos.

Resolução

  1. Inclinações: de (−2,−1)(-2, -1) a (1,1)(1, 1): 23\tfrac{2}{3}; de (1,1)(1, 1) a (7,5)(7, 5): 46=23\tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}. Iguais, com ponto comum: colineares.
  2. Distâncias: 13\sqrt{13}, 52=213\sqrt{52} = 2\sqrt{13} e, entre os extremos, 81+36=117=313\sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}. Como 13+213=313\sqrt{13} + 2\sqrt{13} = 3\sqrt{13}, vale a igualdade na desigualdade triangular: o ponto do meio está no segmento.

Resposta: Sim, são colineares.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.2.

Exercício 1.5.3

Resolvido Nível 2 · Intermediário Cálculo
Determine a reta que passa pela interseção de 2x−y=12x - y = 1 e x+y=5x + y = 5 e é perpendicular a 3x+y=03x + y = 0.

Resolução

  1. Somando as equações: 3x=63x = 6, x=2x = 2, y=3y = 3. Ponto (2,3)(2, 3).
  2. 3x+y=03x + y = 0 tem inclinação −3-3; a perpendicular tem inclinação 13\tfrac{1}{3} (m1m2=−1m_1 m_2 = -1).
  3. y−3=13(x−2)y - 3 = \tfrac{1}{3}(x - 2), ou x−3y+7=0x - 3y + 7 = 0. Conferência: 2−9+7=02 - 9 + 7 = 0.

Resposta: x−3y+7=0x - 3y + 7 = 0.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 3.

Exercício 1.5.4

Resolvido Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Mostre que a distância entre as retas paralelas Ax+By+C1=0Ax + By + C_1 = 0 e Ax+By+C2=0Ax + By + C_2 = 0 é ∣C1−C2∣A2+B2\dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} e aplique a 3x−4y+5=03x - 4y + 5 = 0 e 3x−4y−10=03x - 4y - 10 = 0.

Resolução

  1. Retas paralelas estão a distância constante; basta medir a distância de um ponto P0=(x0,y0)P_0 = (x_0, y_0) da primeira à segunda.
  2. Como Ax0+By0=−C1Ax_0 + By_0 = -C_1, a fórmula da distância a uma reta dá ∣Ax0+By0+C2∣A2+B2=∣C2−C1∣A2+B2\dfrac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \dfrac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
  3. Aplicação: ∣5−(−10)∣9+16=155=3\dfrac{|5 - (-10)|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{15}{5} = 3. Conferência com (1,2)(1, 2) na primeira: ∣3−8−10∣5=3\tfrac{|3 - 8 - 10|}{5} = 3.

Resposta: Distância 33.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 3.

Exercício 1.5.5

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo
Calcule a distância e o ponto médio entre (−3,5)(-3, 5) e (5,−1)(5, -1).
Conferir a resolução completa
  1. d=82+(−6)2=10d = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = 10.
  2. M=(−3+52,5−12)=(1,2)M = \left(\tfrac{-3 + 5}{2}, \tfrac{5 - 1}{2}\right) = (1, 2).

Resposta: d=10d = 10; M=(1,2)M = (1, 2).

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.2.

Exercício 1.5.6

Proposto Nível 1 · Fundamental Cálculo
Para a reta 2x+5y−10=02x + 5y - 10 = 0, determine a inclinação e os interceptos com os eixos. Depois, escreva a reta paralela a y=3x−2y = 3x - 2 que passa por (4,−1)(4, -1).
Conferir a resolução completa
  1. y=−25x+2y = -\tfrac{2}{5}x + 2: inclinação −25-\tfrac{2}{5}, intercepto y=2y = 2; com y=0y = 0, x=5x = 5.
  2. Paralela: inclinação 33; y+1=3(x−4)y + 1 = 3(x - 4), isto é, y=3x−13y = 3x - 13.

Resposta: m=−25m = -\tfrac{2}{5}, interceptos (0,2)(0, 2) e (5,0)(5, 0); y=3x−13y = 3x - 13.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 3.

Exercício 1.5.7

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Determine xx para que (x,3)(x, 3) esteja a distância 55 de (1,−1)(1, -1).
Conferir a resolução completa
  1. (x−1)2+42=25⇒(x−1)2=9⇒x−1=±3(x - 1)^2 + 4^2 = 25 \Rightarrow (x - 1)^2 = 9 \Rightarrow x - 1 = \pm 3.

Resposta: x=4x = 4 ou x=−2x = -2.

Tipo de questão observado em: Larson e Edwards (2019), Apêndice C.2.

Exercício 1.5.8

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Determine a circunferência que passa por (0,0)(0, 0), (4,0)(4, 0) e (0,6)(0, 6).
Conferir a resolução completa
  1. O centro equidista dos três pontos: está na mediatriz de (0,0)(0,0)–(4,0)(4,0), x=2x = 2, e na de (0,0)(0,0)–(0,6)(0,6), y=3y = 3.
  2. Centro (2,3)(2, 3); raio 4+9=13\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.
  3. Conferência: (4,0)(4, 0): 4+9=134 + 9 = 13; (0,6)(0, 6): 4+9=134 + 9 = 13.

Resposta: (x−2)2+(y−3)2=13(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 4.

Exercício 1.5.9

Proposto Nível 2 · Intermediário Conceitual
A equação x2+y2+4x−2y+10=0x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0 representa uma circunferência?
Conferir a resolução completa
  1. Completando quadrados: (x+2)2+(y−1)2=−10+4+1=−5(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = -10 + 4 + 1 = -5.
  2. Uma soma de quadrados não é negativa: nenhum ponto satisfaz a equação.

Resposta: Não: o conjunto solução é vazio.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 4.

Exercício 1.5.10

Proposto Nível 2 · Intermediário Cálculo
Calcule a distância do ponto (2,−3)(2, -3) à reta 5x+12y−4=05x + 12y - 4 = 0.
Conferir a resolução completa
  1. ∣5⋅2+12⋅(−3)−4∣25+144=∣10−36−4∣13=3013\dfrac{|5 \cdot 2 + 12 \cdot (-3) - 4|}{\sqrt{25 + 144}} = \dfrac{|10 - 36 - 4|}{13} = \dfrac{30}{13}.

Resposta: 3013\tfrac{30}{13}.

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 3.

Exercício 1.5.11

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Demonstração
Prove, com coordenadas, que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo equidista dos três vértices.
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  1. Escolha eixos com o ângulo reto na origem: vértices O=(0,0)O = (0, 0), P=(a,0)P = (a, 0), Q=(0,b)Q = (0, b).
  2. Ponto médio da hipotenusa: M=(a2,b2)M = \left(\tfrac{a}{2}, \tfrac{b}{2}\right).
  3. d(M,O)=d(M,P)=d(M,Q)=12a2+b2d(M, O) = d(M, P) = d(M, Q) = \tfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2} (cálculo direto).
  4. A escolha dos eixos não perde generalidade: distâncias não dependem do sistema de coordenadas.

Resposta: MM equidista dos vértices: é o centro da circunferência circunscrita.

Exercício 1.5.12

Proposto Nível 3 · Aprofundamento Cálculo
Determine as retas que passam por (0,5)(0, 5) e são tangentes à circunferência x2+y2=5x^2 + y^2 = 5, e os pontos de tangência.
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  1. A reta vertical x=0x = 0 corta a circunferência em dois pontos; as demais são y=mx+5y = mx + 5, ou mx−y+5=0mx - y + 5 = 0.
  2. Tangência: distância do centro igual ao raio: 5m2+1=5⇒m2+1=5⇒m=±2\dfrac{5}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5} \Rightarrow m^2 + 1 = 5 \Rightarrow m = \pm 2.
  3. Para m=2m = 2: x2+(2x+5)2=5⇒5x2+20x+20=0⇒(x+2)2=0x^2 + (2x + 5)^2 = 5 \Rightarrow 5x^2 + 20x + 20 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0: ponto (−2,1)(-2, 1). Para m=−2m = -2: ponto (2,1)(2, 1).

Resposta: y=2x+5y = 2x + 5 (tangente em (−2,1)(-2, 1)) e y=−2x+5y = -2x + 5 (tangente em (2,1)(2, 1)).

Tipo de questão observado em: Mendelson (1988), cap. 4.

Exercício 1.5.13

Proposto Nível 2 · Intermediário Aplicação
Calcule a área do triângulo de vértices A=(0,0)A = (0, 0), B=(4,1)B = (4, 1) e C=(1,3)C = (1, 3) usando a distância de ponto a reta, e confira pela fórmula 12 ∣xByC−xCyB∣\tfrac{1}{2}\,|x_B y_C - x_C y_B| (válida com um vértice na origem).
Conferir a resolução completa
  1. Base AB=17AB = \sqrt{17}; reta ABAB: y=x4y = \tfrac{x}{4}, ou x−4y=0x - 4y = 0.
  2. Altura: d(C,AB)=∣1−12∣17=1117d(C, AB) = \tfrac{|1 - 12|}{\sqrt{17}} = \tfrac{11}{\sqrt{17}}.
  3. Área =12⋅17⋅1117=112= \tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{17} \cdot \tfrac{11}{\sqrt{17}} = \tfrac{11}{2}. Conferência: 12∣4⋅3−1⋅1∣=112\tfrac{1}{2}|4 \cdot 3 - 1 \cdot 1| = \tfrac{11}{2}.

Resposta: Área 5,55{,}5.

História, Filosofia e Educação Matemática

História da Matemática

Da grandeza incomensurável ao corpo ordenado completo

A história dos números reais não é a de uma descoberta súbita, mas a de um longo desacordo entre o que se sabia medir e o que se sabia contar. Os Elementos de Euclides tratam, no Livro X, de grandezas incomensuráveis — pares de segmentos, como o lado e a diagonal do quadrado, que não admitem unidade comum. O Livro V, cuja teoria das proporções é tradicionalmente atribuída a Eudoxo, contorna a dificuldade sem inventar números novos: compara razões entre grandezas por meio de todos os múltiplos inteiros possíveis. Essa comparação, que separa as razões "menores" das "maiores", antecipa em mais de dois milênios a ideia de corte que Dedekind formularia em 1872.

Atenção conceitualLendas e fontes

Circulam relatos de uma "crise" pitagórica e de um discípulo punido por revelar a incomensurabilidade. Roque (2012) mostra que essas narrativas são tardias e pouco documentadas, e que projetam sobre os gregos preocupações modernas com o número. Ao contar a história na sala de aula, é mais fiel dizer que a matemática grega tratou incomensuráveis como grandezas geométricas, não como números.

No fim do século XVI, Simon Stevin publicou De Thiende (1585), um pequeno tratado que propunha as frações decimais para o comércio, a agrimensura e a astronomia. A notação decimal aproximou medida e cálculo e, com ela, os irracionais passaram a ser manejados por aproximações cada vez mais finas, como fazemos com 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1{,}414. A mesma prática, porém, alimentou uma confusão que ainda encontramos entre estudantes: identificar o número com sua escrita decimal truncada.

Em 1637, Descartes publicou La Géométrie, em que problemas geométricos são traduzidos em equações e resolvidos algebricamente; Fermat desenvolvia, na mesma época e de modo independente, ideias semelhantes. Nenhum dos dois usou exatamente o "plano cartesiano" desta unidade — dois eixos perpendiculares, a mesma unidade, coordenadas negativas —, que é resultado de padronizações posteriores. O essencial, porém, já estava lá: curvas passam a ser descritas por relações entre quantidades, e a geometria ganha o poder de cálculo da álgebra.

O Cálculo de Newton e Leibniz, no século XVII, operou por mais de um século sem uma definição precisa de número real. No início do século XIX, Cauchy, em seu Cours d'analyse (1821), passou a exprimir limites e continuidade por meio de quantidades que podem ser tornadas menores que qualquer quantidade dada — linguagem que desembocaria nas desigualdades do tipo ∣x−a∣<δ|x - a| < \delta. Faltava, contudo, garantir que as aproximações tivessem sempre um ponto de chegada. Dedekind relata, no prefácio de Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872), que, ao ensinar Cálculo em Zurique em 1858, sentiu a ausência de um fundamento aritmético para a continuidade; sua resposta foram os cortes. No mesmo ano, Cantor publicou uma construção baseada em sequências. As duas construções são equivalentes e produzem o que hoje chamamos de corpo ordenado completo: exatamente a lista de axiomas adotada na seção 1.1.

Nota históricaO que a história ensina a esta unidade

A ordem histórica foi quase inversa à ordem lógica: primeiro se calculou com derivadas e integrais, depois se fundamentaram os números. Por isso esta unidade apresenta a completude como axioma e mostra, com 2\sqrt{2} e com os intervalos encaixados, o trabalho que ela faz. Ela é a resposta a um problema real do Cálculo, não um formalismo acrescentado por gosto.

Filosofia da Matemática

O contínuo, a existência matemática e o papel do contraexemplo

Para Aristóteles, no Livro VI da Física, o contínuo não é composto de indivisíveis: um segmento divide-se sempre em segmentos, nunca em pontos. A reta real moderna inverte essa imagem — é um conjunto de pontos, cada um correspondendo a um número. Dedekind tinha consciência do salto. Em 1872, observou que não se pode demonstrar que o espaço seja contínuo; atribuir à reta a completude dos reais é uma decisão, um axioma que torna a geometria e a aritmética compatíveis. A pergunta "a reta é, de fato, feita de pontos?" deixa de ser empírica e passa a ser uma escolha de modelo.

Que tipo de existência têm os números reais? Para uma leitura platonista, 2\sqrt{2} existe independentemente de nós, e a matemática o descobre. Dedekind, em Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), chamou os números de "criações livres do espírito humano". Entre as duas posições há uma terceira, operacional, que esta unidade adota: R\R é o que satisfaz certos axiomas, e o teorema da existência de 2\sqrt{2} mostra que o axioma da completude garante um número com quadrado 22 — nada mais é afirmado. A mudança de perspectiva é sutil, mas decisiva: a pergunta "o que é um número real?" é substituída por "o que se pode provar sobre ele?".

Bento de Jesus Caraça (1951) apresenta a ampliação dos campos numéricos como resposta a exigências da medida e da operação: cada novo campo resolve uma impossibilidade do anterior (a subtração nos naturais, a divisão nos inteiros, a medida de incomensuráveis nos racionais), preservando o que já valia. Essa leitura oferece um fio condutor para a sequência N⊂Z⊂Q⊂R\N \subset \Z \subset \Q \subset \R que não depende da memorização de definições, e ajuda a entender por que as propriedades de corpo e de ordem são mantidas em cada ampliação.

Lakatos (1976) mostrou, com a história da fórmula de Euler para poliedros, que teoremas e definições se refinam no confronto com contraexemplos. Os blocos "Contraexemplo" desta unidade seguem esse espírito: o teorema dos intervalos encaixados falha para intervalos abertos ou ilimitados, e é o contraexemplo que revela por que as hipóteses "fechado" e "limitado" estão no enunciado. Ler um teorema é perguntar o que acontece quando se retira cada hipótese.

ObservaçãoVisualizar não é demonstrar

A reta numérica e o plano cartesiano são representações poderosas, mas nenhum desenho mostra que 2\sqrt{2} é irracional ou que entre dois reais há um racional: a tela tem resolução finita, e todo ponto desenhado tem coordenadas racionais. Por isso as experiências do MatLabG ilustram, e as demonstrações do Laboratório Virtual G garantem.

Educação Matemática

Imagens de conceito, obstáculos e a transição para o Cálculo

Tall e Vinner (1981) distinguiram a definição do conceito — o enunciado aceito pela comunidade matemática — da imagem do conceito — o conjunto de figuras, exemplos, procedimentos e propriedades que cada pessoa associa a ele. No início do Cálculo, a imagem de "número real" costuma ser a de um decimal finito da calculadora, e a imagem de "valor absoluto", a de uma regra para "tirar o sinal". Essas imagens não são simplesmente erradas: funcionaram por anos. O problema surge quando entram em conflito com a definição, como no caso de 0,9‾=10{,}\overline{9} = 1 ou de x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|.

A noção de obstáculo epistemológico, formulada por Bachelard para a história das ciências e trazida para a didática da matemática por Brousseau (1983), ajuda a entender por que certos erros resistem ao ensino: trata-se de conhecimentos que foram eficazes num domínio e se tornam resistentes fora dele. Exemplos desta unidade: "todo número tem um sucessor imediato" (verdadeiro nos inteiros, falso nos reais, pela densidade); "multiplicar os dois lados preserva a desigualdade" (verdadeiro para fatores positivos); "o quadrado de um número é maior que o número" (falso em (0,1)(0, 1)). Sierpinska (1985) mostrou obstáculos da mesma natureza em torno da noção de limite; parte deles tem raiz aqui.

No Brasil, Rezende (2003) argumentou que as dificuldades no ensino de Cálculo têm natureza epistemológica antes de metodológica, e que a educação básica tende a evitar as ideias que o Cálculo pressupõe. Entre as tensões que ele identifica estão as que opõem o discreto ao contínuo e o finito ao infinito. Esta unidade enfrenta ambas deliberadamente: a densidade e a completude tratam do contínuo; o supremo e as dízimas infinitas, do infinito.

PropriedadeDecisões didáticas desta unidade

(1) O valor absoluto é apresentado como distância, porque a leitura geométrica sustenta o raciocínio com vizinhanças que os limites exigirão. (2) Toda inequação é resolvida com estudo de sinal explícito, para substituir a regra "passa multiplicando" por uma justificativa. (3) Contraexemplos acompanham os teoremas, para que as hipóteses tenham sentido. (4) Os exercícios são graduados em três níveis e separados em resolvidos (modelo de raciocínio) e propostos (com resolução completa para conferência, depois da tentativa). (5) Demonstrações são tratadas como explicações — por que algo é verdadeiro —, e não como ritual.

Glossário da unidade

Corpo ordenado completo
Conjunto com adição, multiplicação e ordem compatíveis, em que todo subconjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo. É o caso de R\R e não de Q\Q.
Supremo e ínfimo
Menor limitante superior e maior limitante inferior de um conjunto; podem não pertencer a ele.
Propriedade arquimediana
N\N não é limitado em R\R; para todo ε>0\varepsilon > 0 há nn com 1n<ε\tfrac{1}{n} < \varepsilon.
Densidade
Entre dois reais distintos há sempre um racional e um irracional.
Intervalos encaixados
Sequência de intervalos fechados e limitados, cada um contido no anterior; têm ponto comum.
Valor absoluto
∣x∣|x|: distância de xx a 00; ∣x−a∣|x - a|: distância entre xx e aa.
Vizinhança
Vδ(a)=(a−δ,a+δ)V_\delta(a) = (a - \delta, a + \delta), os pontos a menos de δ\delta de aa.
Estudo de sinal
Determinação do sinal de um produto ou quociente a partir do sinal de cada fator em cada intervalo.
Inclinação
Razão ΔyΔx\tfrac{\Delta y}{\Delta x} entre dois pontos de uma reta não vertical; independe dos pontos escolhidos.

Referências

  • APOSTOL, T. M. Calculus. 2. ed. New York: John Wiley & Sons, 1967. v. 1.
  • ARISTOTLE. Physics. Tradução de R. P. Hardie e R. K. Gaye. In: BARNES, J. (ed.). The complete works of Aristotle. Princeton: Princeton University Press, 1984. v. 1.
  • ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2006.
  • BACHELARD, G. A formação do espírito científico: contribuição para uma psicanálise do conhecimento. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996.
  • BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
  • BROUSSEAU, G. Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 4, n. 2, p. 165-198, 1983.
  • CANTOR, G. Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen, Leipzig, v. 5, p. 123-132, 1872.
  • CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Tipografia Matemática, 1951.
  • CAUCHY, A.-L. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique: 1re partie, analyse algébrique. Paris: Debure, 1821.
  • DEDEKIND, R. Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig: Vieweg, 1872.
  • DEDEKIND, R. Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig: Vieweg, 1888.
  • DESCARTES, R. La géométrie. In: DESCARTES, R. Discours de la méthode. Leyde: Ian Maire, 1637. p. 297-413.
  • EUCLIDES. Os elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora UNESP, 2009.
  • GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
  • LAKATOS, I. Proofs and refutations: the logic of mathematical discovery. Cambridge: Cambridge University Press, 1976.
  • LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: IMPA, 1989. v. 1. (Coleção Matemática Universitária).
  • REZENDE, W. M. O ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica. 2003. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003.
  • ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012.
  • SIERPINSKA, A. Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 6, n. 1, p. 5-67, 1985.
  • SPIVAK, M. Calculus. 4. ed. Houston: Publish or Perish, 2008.
  • STEVIN, S. De thiende. Leiden: Christoffel Plantijn, 1585.
  • STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
  • TALL, D.; VINNER, S. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 12, n. 2, p. 151-169, 1981.

Obras observadas para a escolha dos tipos de exercício

Consultadas para cobrir os tipos clássicos de questão e graduar a dificuldade. Nenhum enunciado ou resolução foi transcrito.

  • LARSON, R. Calculus: an applied approach. 9. ed. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013.
  • LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Calculus: early transcendental functions. 7. ed. Boston: Cengage Learning, 2019.
  • MENDELSON, E. 3000 solved problems in calculus. New York: McGraw-Hill, 1988. (Schaum's Solved Problems Series).
  • RICHARDSON, L. F. Advanced calculus: an introduction to linear analysis. Hoboken: John Wiley & Sons, 2008.

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