MatLabG · Experiência demonstrativa
Valor absoluto: distância e tolerância
Decidir que números satisfazem uma condição, se uma peça passa apesar da incerteza e quão longe se chega em dois passos.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como decidir, sem tabela de casos, que números satisfazem uma condição com valor absoluto — e quando uma medida com incerteza garante que uma peça está dentro da tolerância?
Hipóteses
- a, x, y reais e δ > 0; |t| = t se t ≥ 0 e |t| = −t se t < 0 (Unidade 1, seção 1.3).
- A equivalência |x − a| < δ ⇔ a − δ < x < a + δ e a desigualdade triangular estão demonstradas no Laboratório Virtual G; aqui são usadas para decidir e justificar, não provadas.
- Tolerância com incerteza: o valor verdadeiro t está em algum ponto de [x − u, x + u], e a peça é boa se |t − a| ≤ δ.
Domínio e modelo
Reta numérica de −6 a 6; δ de 0,2 a 3; incerteza u de 0 a 1,5; coordenadas arredondadas a centésimos. Os conjuntos-solução podem ser ilimitados: a busca de contraexemplos vai além da janela.
Reta real com os pontos a, x e y; vizinhanças, conjuntos-solução de condições modulares e intervalos de incerteza.
- |x − a|
- distância entre x e a
- δ
- raio da vizinhança (tolerância)
- u
- incerteza da medida: o valor verdadeiro está em [x − u, x + u]
- |x − y| + |y − a| ≥ |x − a|
- desigualdade triangular com ponto intermediário y
Procedimento
- Na investigação guiada, escolha o tipo de conjunto e os extremos para |x − 2| < 3 antes de ver a reta. Depois peça um contraexemplo: o programa mostra um x que está num conjunto e não no outro, se houver.
- Em |x + 1| ≥ 2, leia |x + 1| como a distância de x a −1. O conjunto é um intervalo? Teste x = 10 e x = −10.
- Em |x − 1| < |x − 4|, leia cada lado como distância: que pontos estão mais perto de 1 que de 4? E o ponto 2,5?
- Casos-limite: |x − 3| ≤ 0, |x − 3| < 0 e |x − 2| > −1. Que conjuntos são? Por quê?
- Em |x| + |x − 4| = 4, use o caso de igualdade da desigualdade triangular. Confira no modo da desigualdade triangular com a = 0 e x = 4.
- Tolerância com incerteza: com a = 0, δ = 3 e u = 1, decida para x = 2,5, x = 1,5 e x = −4,5 se a peça é aceita com garantia, rejeitada com garantia ou se a medição não decide. Calcule antes a maior e a menor distância possível do valor verdadeiro a a.
- Se |y − a| < δ e |x − y| < δ, quão longe x pode estar de a? O supremo é atingido? Justifique com a desigualdade triangular.
Experiência
Movimento:
Teclado
Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.
Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Engenharia mecânica
Tolerâncias dimensionais
Uma cota como 20,00 ± 0,03 mm significa que a peça é aceita se a medida verdadeira t satisfaz |t − 20,00| ≤ 0,03. Como o instrumento também tem incerteza, a aceitação só é garantida quando a distância medida mais a incerteza não passa da tolerância. O sistema ISO de tolerâncias para dimensões lineares organiza esses afastamentos em classes normalizadas, usadas no projeto de ajustes entre eixos e furos.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um eixo foi especificado com diâmetro 20,00 ± 0,03 mm. O controle de qualidade mediu 20,02 mm com um instrumento de incerteza ±0,005 mm. A peça pode ser aceita com garantia? Qual a folga que sobra no pior caso?
Modelo: Aceitação: |t − a| ≤ δ para o valor verdadeiro t (tolerância com extremos incluídos). Como t está em [x − u, x + u], a desigualdade triangular dá |x − a| − u ≤ |t − a| ≤ |x − a| + u: aceita com garantia se |x − a| + u ≤ δ; rejeitada com garantia se |x − a| − u > δ; nos outros casos a medição não decide.
- Intervalo de aceitação: [19,97; 20,03] mm.
- |x − a| = |20,02 − 20| = 0,02 mm.
- Pior caso: |x − a| + u = 0,02 + 0,005 = 0,025 mm; melhor caso: máx(0; |x − a| − u) = 0,015 mm.
- 0,025 ≤ 0,03: todo valor verdadeiro possível está dentro da tolerância. Folga no pior caso: 0,03 − 0,025 = 0,005 mm.
Resultado: Peça aceita com garantia; no pior caso usa ≈ 83,33% da tolerância.
Leitura crítica: A decisão depende só da distância à cota, não do lado. Sem a incerteza (u = 0), volta-se ao teste |x − a| ≤ δ. Na experiência, a mesma conta aparece no modo “Tolerância com incerteza”: a desigualdade triangular decide quando a medição garante a aceitação e quando não garante.
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Física e metrologia
Erro de medição absoluto e relativo
O erro de medição é a diferença entre o valor medido e um valor de referência; seu módulo |x − r| é o erro absoluto e |x − r|/|r|, o relativo. O Vocabulário Internacional de Metrologia fixa esses termos, que decidem se um procedimento experimental atinge a exatidão desejada.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Um grupo mediu a aceleração da gravidade com um pêndulo e obteve 9,72 m/s². Tomando o valor convencional 9,80665 m/s² como referência, qual o erro absoluto e o relativo? O resultado atinge a meta de 1%?
Modelo: Erro absoluto E = |x − r|; erro relativo e = |x − r| / |r| (r ≠ 0); em porcentagem, 100 · e.
- E = |9,72 − 9,80665| = 0,08665 m/s².
- e = 0,08665 / 9,80665 ≈ 0,00884.
- Em porcentagem: ≈ 0,884% ≤ 1%.
Resultado: Meta atingida: erro relativo de ≈ 0,884%.
Leitura crítica: O erro relativo permite comparar medições de grandezas diferentes. O valor de referência convencional não é a gravidade local (que varia com a latitude e a altitude): parte do erro pode vir da referência escolhida, e não do experimento.
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Cartografia
Distância em coordenadas UTM
Na projeção UTM, cada ponto de uma zona tem coordenadas planas E (leste) e N (norte), em metros. A distância em quadrícula entre dois pontos é a fórmula da distância do plano cartesiano; o fator de escala da projeção converte essa distância em distância no terreno.
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Dois marcos na mesma zona UTM têm coordenadas E₁ = 583.000 m, N₁ = 9.722.000 m e E₂ = 590.500 m, N₂ = 9.716.300 m. Qual a distância entre eles na quadrícula e no terreno, com fator de escala 0,9996?
Modelo: Distância em quadrícula d = √(ΔE² + ΔN²); distância aproximada no terreno D ≈ d / k, com k o fator de escala da projeção no local.
- ΔE = 590.500 − 583.000 = 7.500 m; ΔN = 9.716.300 − 9.722.000 = −5.700 m.
- d = √(7.500² + (−5.700)²) ≈ 9420,2 m; em quilômetros, d ≈ 9,42 km.
- D = d / k = d / 0,9996 ≈ 9424 m.
Resultado: Distância em quadrícula ≈ 9,42 km; no terreno, ≈ 9,424 km (diferença de ≈ 3,8 m).
Leitura crítica: A fórmula da distância vale no plano da projeção. O fator de escala varia dentro da zona e a correção por k é aproximada; para trechos longos ou em zonas diferentes, usa-se a geodésia (elipsoide), não o plano.
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Computação
Comparar números no computador
Em ponto flutuante, 0,1 + 0,2 não é exatamente 0,3: os números são arredondados para a base 2. Por isso programas científicos não testam igualdade; testam se |a − b| é menor que uma tolerância, absoluta ou relativa.
Fonte: [4]
Como usar: aplicação resolvida
Um programa soma 0,1 + 0,2 e compara com 0,3. O teste de igualdade falha. Com que tolerância a comparação |s − z| < ε passa a dar a resposta esperada?
Modelo: Aritmética de ponto flutuante (IEEE 754, dupla precisão): s = fl(x + y). Comparação por tolerância absoluta |s − z| < ε, com ε igual a 10 elevado a −p.
- No computador, s = 0,1 + 0,2 é armazenado como um número binário que, com 17 algarismos significativos, vale ≈ 0,30000000000000004.
- Teste de igualdade s = z: falso.
- |s − z| ≈ 5,55 × 10⁻¹⁷; ε = 1 × 10⁻¹²; |s − z| < ε: verdadeiro.
Resultado: Com ε = 1 × 10⁻¹², os valores são considerados iguais, embora o teste de igualdade falhe.
Leitura crítica: Tolerância absoluta serve para números de ordem de grandeza conhecida; para números muito grandes ou muito pequenos, usa-se tolerância relativa, |s − z| ≤ ε · máx(|s|, |z|). Tolerância grande demais declara iguais números que não são.
Limites do modelo
- A tela mostra coordenadas arredondadas a centésimos e a reta vai de −6 a 6; os reais entre as marcas e fora da janela continuam existindo (densidade, Unidade 1), e a busca de contraexemplos os considera.
- O contraexemplo exibido refuta uma conjectura; a ausência de contraexemplo, nos conjuntos desta experiência (uniões de intervalos), vem de testar cada extremidade e um ponto em cada trecho entre elas. Isso decide a igualdade dos conjuntos, mas não substitui a justificativa pela leitura como distância.
- Explorar casos não demonstra a desigualdade triangular: a prova está na seção 1.3 da unidade.
- O modelo de incerteza é o mais simples (intervalo [x − u, x + u]); em metrologia, a incerteza tem também tratamento estatístico.
Síntese
- |x − a| é distância: não depende do lado em que x está; |x + c| é a distância a −c.
- |x − a| < δ ⇔ a − δ < x < a + δ (aberto); com ≤, fechado; com ≥, a união de duas semirretas fechadas.
- Casos-limite: |x − a| ≤ 0 só em x = a; |x − a| < 0 nunca; |x − a| > −1 sempre.
- |x − a| ≤ |x − y| + |y − a|, com igualdade exatamente quando y está entre a e x; daí |x| + |x − 4| = 4 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4.
- Com incerteza u: aceita com garantia se |x − a| + u ≤ δ; rejeitada com garantia se |x − a| − u > δ; caso contrário, a medição não decide.
- De |y − a| < δ e |x − y| < δ segue |x − a| < 2δ, supremo não atingido — o argumento das demonstrações de limites (Unidade 3).
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Referências
- INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. ISO 286-1: geometrical product specifications (GPS): ISO code system for tolerances on linear sizes: part 1: basis of tolerances, deviations and fits. Geneva: ISO, 2010.
- INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA. Vocabulário Internacional de Metrologia: conceitos fundamentais e gerais e termos associados (VIM 2012). Duque de Caxias: INMETRO, 2012.
- IBGE. Noções básicas de cartografia. Rio de Janeiro: IBGE, 1999. (Manuais técnicos em geociências, n. 8).
- GOLDBERG, D. What every computer scientist should know about floating-point arithmetic. ACM Computing Surveys, New York, v. 23, n. 1, p. 5-48, 1991.
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
- LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: IMPA, 1989. v. 1. (Coleção Matemática Universitária).