Cálculo · por unidade de origem

Cálculo I

Fundamentos do cálculo diferencial e integral de uma variável, com ênfase em compreensão conceitual, rigor matemático, resolução de problemas e aplicações.

Cálculo I, II e III

Cálculo Diferencial e Integral I · Fundamentos matemáticos

Cálculo I · Aberta

Valor absoluto: distância e tolerância

|x − a| é a distância entre x e a. Com essa leitura, decida antes de olhar: que conjunto uma condição com módulo descreve (inclusive os casos-limite |x − 3| ≤ 0 e |x − 2| > −1)? Uma peça medida com incerteza pode ser aceita com garantia? Se |y − a| < δ e |x − y| < δ, quão longe x pode estar de a? O programa procura o x que refuta a sua conjectura — nas extremidades, inclusive —, e a justificativa vem da leitura como distância e da desigualdade triangular. A mesma desigualdade decide tolerâncias de fabricação, erros de medição, distâncias em mapas e comparações no computador.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Funções

Cálculo I · Execução restrita

Transformações de gráficos e modelos

Escolha uma função base — parábola, módulo, raiz, hipérbole, exponencial, logaritmo ou seno — e varie os quatro parâmetros de g(x) = a·f(b(x − c)) + d. Um ponto móvel mostra de onde vem cada valor de g na curva base; o reflexo em y = x revela quando existe a inversa. As mesmas transformações ajustam modelos de marés, de pH, de eliminação de fármacos, de juros compostos e de intensidade sonora.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Limites

Cálculo I · Execução restrita

Limites: conjecture, teste, refute

Dez funções escolhidas para desafiar os modelos espontâneos de limite: o buraco que não importa, o valor deslocado, o salto, o 0/0, a oscilação que se amortece e a que persiste, o infinito. Em cada uma, você registra a conjectura com as representações veladas; depois vê gráfico, tabela, expressão e faixas ε–δ ao mesmo tempo, pede ao programa um contraexemplo e dialoga com um tutor socrático. A figura do limite fundamental sen x / x pode ser desmontada em três peças. A trajetória do raciocínio fica registrada, e a próxima situação é escolhida pelos erros detectados.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Continuidade

Cálculo I · Execução restrita

TVI: bisseção, hipóteses e contraexemplos

Antes de ver o gráfico, decida: há raiz no intervalo? O Teorema do Valor Intermediário a garante? Depois, a bisseção corta o intervalo ao meio passo a passo, e os intervalos encaixados I₀ ⊃ I₁ ⊃ … podem ser separados em camadas. Com f contínua, eles se fecham sobre uma raiz; com f descontínua, podem se fechar sobre um salto. O programa procura raízes escondidas e saltos, o tutor pergunta, a trajetória fica registrada e a próxima situação depende dos erros detectados.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Derivada

Cálculo I · Execução restrita

Das secantes à tangente: quando a derivada existe

Nove funções para separar o que a derivada é do que ela parece ser: a parábola e a hipérbole, em que as secantes giram até a tangente; |x|, com derivadas laterais diferentes; x·|x|, dada por duas fórmulas e derivável; ∛x, com tangente vertical e sem bico; ∛(x²), com tangente vertical e cúspide; x·sen(1/x), contínua e sem derivada; x²·sen(1/x), com derivada nula apesar das secantes oscilantes; e a parte inteira, descontínua. Antes de ver o gráfico, você registra se f′(a) existe, quanto vale e qual fato sustenta a resposta; depois aproxima Q = (a + h, f(a + h)) de A pela esquerda e pela direita, com |h| de 1 a 10⁻⁶, e compara os quocientes dos dois lados. O programa procura um h que contrarie a conjectura.

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Cálculo I · Execução restrita

Do gráfico de f ao gráfico de f′

Seis funções para ler a derivada como uma nova função: a parábola com vértice em (2, 1), a cúbica x³ − 3x, a translação x² + 3, o módulo |x² − 1|, a função crescente x³ e |x| no intervalo [−1, 1]. Antes de ver os gráficos, você responde a perguntas que separam altura de inclinação — quanto vale f′ no vértice? quantos zeros tem f′? a translação muda a derivada? onde f′ não existe? uma função crescente pode ter derivada nula? uma taxa média nula obriga a derivada a se anular? Depois move x₀ e vê o gráfico de f′ nascer, ponto a ponto, das inclinações das tangentes, num segundo painel com a mesma escala horizontal.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Regras de derivação

Cálculo I · Execução restrita

Regra da cadeia: taxas que se multiplicam

A composta y = f(g(x)) leva x a u = g(x) e u a y = f(u). Três retas numéricas empilhadas, vistas com a mesma lupa (escala 1/|h|), mostram o segmento [x₀, x₀ + h] sempre do mesmo tamanho, a sua imagem em u com comprimento proporcional a Δu/Δx e a imagem desta em y com comprimento proporcional a Δy/Δx = (Δy/Δu)·(Δu/Δx). Quando h → 0, as duas ampliações tendem a g′(x₀) e a f′(g(x₀)). Sete situações, com radicais, exponencial, logaritmo e seno, confrontam derivar só a externa, calcular a externa no ponto errado, trocar a ordem da composição e somar taxas; a última examina g(x) = x²·sen(1/x) em x₀ = 0, em que Δu = 0 para h arbitrariamente pequeno — a prova informal falha, e a regra continua valendo.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Técnicas complementares de derivação

Cálculo I · Execução restrita

Derivação implícita: a tangente sem resolver a equação

A curva F(x, y) = 0 é desenhada pelo sinal de F numa malha, sem fórmula para y. Num ponto P da curva, um ponto Q também da curva é obtido pelo método de Newton, sem usar a fórmula de dy/dx; a secante PQ gira até a tangente quando Q se aproxima de P, e você compara a sua inclinação com dy/dx = −Fₓ/F_y. Seis situações: a circunferência em (3, 4), o fólio de Descartes em (3, 3) e a elipse inclinada em (1, 2), com os erros típicos de esquecer a regra da cadeia ou a do produto; a tangente vertical da circunferência em (5, 0); o nó do fólio na origem, com duas tangentes; e um ponto fora da curva, onde a fórmula ainda dá um número que não significa nada.

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Cálculo I · Execução restrita

Derivada segunda: a parábola dos três pontos

Pelos pontos de abscissas a − h, a e a + h do gráfico de f passa um único polinômio de grau no máximo 2 — uma parábola, ou uma reta quando os três pontos estão alinhados; o dobro do coeficiente do seu termo quadrático é a diferença segunda D₂(h) = [f(a + h) − 2f(a) + f(a − h)]/h². Quando f″(a) existe, D₂(h) tende a f″(a) e a parábola se estabiliza. Seis situações: f″(1) para x⁴; a aceleração de um móvel momentaneamente parado; a derivada de ordem 103 do seno, pelo ciclo de período 4; x·|x|, em que D₂ é identicamente nula e f″(0) não existe; |x|, sem derivada primeira em 0; e x⁴ em 0, em que f″(0) = 0 num ponto de mínimo. Com |h| até 10⁻⁸, a prancheta mostra também o cancelamento de ponto flutuante, sinalizado como tal.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Aplicações da derivada

Cálculo I · Execução restrita

Inflexão: a concavidade precisa mudar

Antes de ver o gráfico, decida se há ponto de inflexão no x indicado, diga o que acontece com f″ ali e justifique. Depois, a prancheta mostra o gráfico, a reta tangente num ponto móvel e de que lado da tangente o gráfico fica, à esquerda e à direita — a própria definição de concavidade —, com a faixa do sinal de f″. O programa calcula f″ cada vez mais perto dos dois lados e aponta o contraexemplo. x⁴ tem f″(0) = 0 sem inflexão; ∛x e x|x| têm inflexão sem f″(0); 1/x muda de concavidade num ponto que não está no gráfico.

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Cálculo I · Execução restrita

Taxas relacionadas: derivar antes de substituir

Escada que escorrega, reservatório cônico enchendo, balão inflando, sombra de quem se afasta do poste. Antes de ver o esquema e o gráfico, calcule a taxa pedida e diga como chegou a ela. A prancheta mostra o esquema no instante t e o gráfico da grandeza pedida em função do tempo, com a reta tangente e uma secante cuja inclinação se aproxima da taxa. O programa confere o valor pela razão incremental do modelo de posição, sem usar a sua fórmula; se o método for inválido, aplica-o noutro instante — na escada a 45°, "o topo desce tão depressa quanto a base anda" acerta o número e falha noutro instante.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Antiderivadas

Cálculo I · Execução restrita

É primitiva? Derive o candidato

Sete pares de função e candidato a primitiva. Antes de ver o gráfico, decida se o candidato serve e por quê. A prancheta mostra f e a derivada do candidato, lado a lado, com a faixa da diferença F′ − f. Os erros clássicos aparecem como curvas que não coincidem: a primitiva do produto como produto das primitivas, o fator da regra da cadeia esquecido, o sinal de sen e cos trocado, ln x no lugar de ln|x|. E candidatos certos que parecem errados: −cos²x/2 para sen x cos x, −1/(2x²) para 1/x³. Em x·eˣ, F′ e f coincidem em x = 0 — e só ali.

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Cálculo Diferencial e Integral I · Integral definida

Cálculo I · Execução restrita

Somas de Riemann: esquerda, direita, ponto médio e trapézio

Oito funções e intervalos, quatro maneiras de aproximar a área com sinal: retângulos à esquerda, à direita, no ponto médio e trapézios. Antes de ver a prancheta, ordene as aproximações, decida se Lₙ ≤ I ≤ Rₙ vale para todo n, desconfie de uma soma que deu exata, preveja quanto o erro cai quando n dobra e escolha n por uma cota. A prancheta mostra os retângulos ou trapézios, as somas, o valor exato e as cotas de erro com suas hipóteses. Em x(2 − x) em [0, 2], Lₙ = Rₙ < I para todo n; em sen x em [0, 2π], L₄ = 0 = I por simetria.

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