Derivada segunda: a parábola dos três pontos

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  Aceleração no movimento harmônico simples

  Uma massa presa a uma mola oscila com posição x(t) = A·cos(ωt). A velocidade é x′(t) = −Aω·sen(ωt) e a aceleração, x″(t) = −Aω²·cos(ωt) = −ω²·x(t): a aceleração é proporcional ao deslocamento e de sentido contrário — a segunda lei de Newton com a lei de Hooke.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma massa presa a uma mola oscila com posição x(t) = A·cos(ωt). Quanto valem a velocidade e a aceleração no instante t, e que relação há entre a aceleração e a posição?

  Modelo: x′(t) = −Aω·sen(ωt); x″(t) = −Aω²·cos(ωt) = −ω²·x(t).

  Dados — altere para recalcular

  Amplitude A (m) Frequência angular ω (rad/s) Instante t (s) Restaurar os dados

  1. x(0,3) = 0,05 · cos(4 · 0,3) ≈ 0,01812 m.
  2. v = x′(t) ≈ −0,18641 m/s.
  3. a = x″(t) ≈ −0,28989 m/s²; −ω²·x ≈ −0,28989 m/s².

  Resultado: Em t = 0,3 s, a aceleração é ≈ −0,2899 m/s², igual a −ω²·x: aponta para a posição de equilíbrio (e se anula nela).

  Leitura crítica: A aceleração é máxima em módulo nos extremos (x = ±A), onde a velocidade é nula, e nula no equilíbrio, onde a velocidade é máxima: velocidade nula não implica aceleração nula. O modelo despreza o atrito.

• Computação científica

  Diferença segunda: truncamento contra arredondamento

  Simulações de vigas, ondas e calor aproximam f″ por D₂(h). O erro de truncamento é da ordem de h²·|f⁽⁴⁾|/12; o de arredondamento, de 4ε·|f|/h². O h ótimo equilibra os dois e é da ordem de ε^(1/4) ≈ 10⁻⁴ para funções de tamanho moderado — bem maior do que o h ótimo de uma derivada primeira.

  Fontes: [2], [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma simulação aproxima f″(x₀) por D₂(h) = [f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h)]/h², com f(x) = eˣ. Qual é o erro para um h dado, e qual é o h ótimo?

  Modelo: Truncamento ≈ h²·|f⁽⁴⁾(x₀)|/12 = h²e^(x₀)/12; arredondamento ≈ 4ε·|f(x₀)|/h²; h ótimo ≈ (48ε)^(1/4) quando |f| = |f⁽⁴⁾|.

  Dados — altere para recalcular

  Ponto x₀ Expoente p, com h = 10⁻ᵖ Restaurar os dados

  1. f″(x₀) = e^0 = 1; h = 10⁻⁴.
  2. D₂(h) ≈ 1,00000001; erro observado: ≈ 5,02 × 10⁻⁹.
  3. Estimativas: truncamento ≈ 8,33 × 10⁻¹⁰; arredondamento ≈ 8,88 × 10⁻⁸.
  4. h ótimo ≈ (48ε)^(1/4) ≈ 3,2 × 10⁻⁴.

  Resultado: Com h = 10⁻⁴, o erro é ≈ 5,02 × 10⁻⁹: domina o arredondamento.

  Leitura crítica: A diferença segunda divide por h², por isso a estimativa do erro de arredondamento (a envoltória 4ε|f|/h²) cresce muito mais depressa que na derivada primeira, e o h ótimo (da ordem de 10⁻⁴) é bem maior. É uma tendência: o erro observado oscila com os arredondamentos de cada conta e pode ser menor que a estimativa.