MatLabG · Experiência
É primitiva? Derive o candidato
Um ponto em que F′ e f coincidem não decide nada; derivar F decide.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
O que é preciso verificar para afirmar que F é primitiva de f num intervalo, e por que coincidências pontuais não bastam?
Execução restrita
Sete pares de função e candidato a primitiva. Antes de ver o gráfico, decida se o candidato serve e por quê. A prancheta mostra f e a derivada do candidato, lado a lado, com a faixa da diferença F′ − f. Os erros clássicos aparecem como curvas que não coincidem: a primitiva do produto como produto das primitivas, o fator da regra da cadeia esquecido, o sinal de sen e cos trocado, ln x no lugar de ln|x|. E candidatos certos que parecem errados: −cos²x/2 para sen x cos x, −1/(2x²) para 1/x³. Em x·eˣ, F′ e f coincidem em x = 0 — e só ali.
A execução integral é aberta a quem tem acesso concedido pela Administração do Portal. Entre com sua conta ou veja como participar na página Acesso.
Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
-
Física
Posição de um oscilador a partir da velocidade
Se a velocidade de um oscilador é v(t) = V·cos(ωt), uma posição compatível é x(t) = (V/ω)·sen(ωt): derivar confere. Esquecer o fator 1/ω da regra da cadeia daria uma amplitude errada por um fator ω.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
A velocidade de um oscilador é v(t) = V·cos(ωt) (m/s). Confira, derivando, um candidato a posição e calcule o deslocamento entre t₁ e t₂.
Modelo: Candidato x(t) = (V/ω)·sen(ωt): x′(t) = (V/ω)·ω·cos(ωt) = V·cos(ωt). O candidato V·sen(ωt) tem derivada V·ω·cos(ωt), que só serve se ω = 1. Deslocamento: x(t₂) − x(t₁).
- Com V = 2 m/s e ω = 3 rad/s: x′(t) = (V/ω)·ω·cos(ωt) = V·cos(ωt) = v(t), em todo t.
- Candidato sem o fator 1/ω: derivada V·ω·cos(ωt); em t = 0 difere de v(0) por V·|ω − 1| = 4 m/s.
- Com t₁ = 0 s e t₂ = 1 s: x(t₁) = 0 m e x(t₂) ≈ 0,0941 m.
Resultado: Deslocamento entre t₁ e t₂: x(t₂) − x(t₁) ≈ 0,0941 m.
Leitura crítica: Derivar o candidato é a verificação decisiva. A constante de integração não afeta o deslocamento, que é uma diferença de posições.
-
Química
Decaimento de primeira ordem
Numa reação de primeira ordem, a concentração varia à taxa −k·C₀·e^(−kt). O candidato C(t) = C₀·e^(−kt) se confere derivando, e a condição C(0) = C₀ escolhe a constante.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Numa reação de primeira ordem, a concentração de um reagente varia à taxa dC/dt = −k·C₀·e^(−kt). Confira o candidato C(t) = C₀·e^(−kt) e calcule quanto reagiu até o instante t.
Modelo: C′(t) = C₀·(−k)·e^(−kt): confere, e C(0) = C₀. Reagido até t: C₀ − C(t). Meia-vida: ln(2)/k.
- Com C₀ = 500 mmol/L, k = 0,2 por minuto e t = 5 min: C′(t) = −k·C₀·e^(−kt), igual à taxa dada.
- C(t) = C₀·e^(−kt) ≈ 183,94 mmol/L, com kt = 1; C(t) > 0 sempre.
- Meia-vida: ln(2)/k ≈ 3,466 min.
Resultado: Reagiram C₀ − C(t) = C₀·(1 − e^(−kt)) ≈ 316,06 mmol/L até o instante t (≈ 63,21% do inicial; sempre menos que 100%, porque C(t) > 0).
Leitura crítica: A condição C(0) = C₀ escolhe a constante: C₀e^(−kt) + K também tem a derivada certa, mas só com K = 0 começa em C₀.
Referências
- HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
- ATKINS, P.; JONES, L. Princípios de química: questionando a vida moderna e o meio ambiente. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
- ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
- ORTON, A. Students' understanding of integration. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 14, n. 1, p. 1-18, 1983.