MatLabG · Experiência
Taxas relacionadas: derivar antes de substituir
A base da escada anda sempre a 1 m/s; o topo, não. E acertar o número por coincidência não conta.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Por que é preciso derivar a relação entre as grandezas antes de substituir os valores do instante, e quando a taxa de uma grandeza é proporcional à de outra?
Execução restrita
Escada que escorrega, reservatório cônico enchendo, balão inflando, sombra de quem se afasta do poste. Antes de ver o esquema e o gráfico, calcule a taxa pedida e diga como chegou a ela. A prancheta mostra o esquema no instante t e o gráfico da grandeza pedida em função do tempo, com a reta tangente e uma secante cuja inclinação se aproxima da taxa. O programa confere o valor pela razão incremental do modelo de posição, sem usar a sua fórmula; se o método for inválido, aplica-o noutro instante — na escada a 45°, "o topo desce tão depressa quanto a base anda" acerta o número e falha noutro instante.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Segurança do trabalho
Escada que escorrega
Se a base de uma escada de comprimento L se afasta da parede com velocidade constante, o topo desce com velocidade (x/y)·dx/dt, que cresce sem limite quando o topo se aproxima do chão. É por isso que uma escada que começa a escorregar acelera de forma perigosa no fim.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Uma escada de comprimento L está apoiada numa parede. A base se afasta da parede com velocidade v. Com que velocidade o topo desce quando a base está a x metros da parede?
Modelo: x² + y² = L² ⇒ 2x·dx/dt + 2y·dy/dt = 0 ⇒ dy/dt = −(x/y)·dx/dt, com y = √(L² − x²).
- Com L = 10 m, x = 6 m e dx/dt = 1 m/s: y² = L² − x² = 64, logo y = 8 m.
- dy/dt = −(x/y)·dx/dt = −0,75 m/s.
Resultado: O topo desce a 0,75 m/s.
Leitura crítica: A razão x/y cresce quando o topo se aproxima do chão: com a base em velocidade constante, o topo acelera. Substituir x antes de derivar daria dy/dt = 0, absurdo.
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Saneamento
Nível de um reservatório cônico
Com vazão constante Q, o nível de um reservatório cônico de vértice para baixo sobe com velocidade Q·H²/(πR²h²): rápido no começo, lento perto do topo, porque a superfície que recebe a água cresce com h².
Como usar: aplicação resolvida
Água entra com vazão Q num reservatório cônico de vértice para baixo, de raio do topo R e altura H. Com que velocidade o nível sobe quando a profundidade é h?
Modelo: Semelhança: r = R·h/H; V = πr²h/3 = πR²h³/(3H²) ⇒ dV/dt = (πR²h²/H²)·dh/dt ⇒ dh/dt = k/π, com k = Q·H²/(R²h²).
- Com R = 2 m, H = 4 m, Q = 2 m³/min e h = 3 m: raio da superfície r = R·h/H = 1,5 m.
- k = Q·H²/(R²h²) = 8/9 ≈ 0,8889; dh/dt = k/π ≈ 0,2829 m/min.
Resultado: O nível sobe a ≈ 0,283 m/min.
Leitura crítica: Tratar r como constante (no valor do instante) daria o triplo, 3Q/(πr²): o raio da superfície cresce junto com h, e isso entra na derivada.
Referências
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
- ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
- ORTON, A. Students' understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 14, n. 3, p. 235-250, 1983.
- THOMPSON, P. W. Images of rate and operational understanding of the fundamental theorem of calculus. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 26, n. 2-3, p. 229-274, 1994.