MatLabG · Experiência
Regra da cadeia: taxas que se multiplicam
Três retas com a mesma lupa: g amplia, f amplia, a composta amplia o produto.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Por que a taxa de variação de uma composta é o produto das taxas — calculadas em pontos diferentes — e o que a regra exige quando a função interna é constante em pontos arbitrariamente próximos?
Execução restrita
A composta y = f(g(x)) leva x a u = g(x) e u a y = f(u). Três retas numéricas empilhadas, vistas com a mesma lupa (escala 1/|h|), mostram o segmento [x₀, x₀ + h] sempre do mesmo tamanho, a sua imagem em u com comprimento proporcional a Δu/Δx e a imagem desta em y com comprimento proporcional a Δy/Δx = (Δy/Δu)·(Δu/Δx). Quando h → 0, as duas ampliações tendem a g′(x₀) e a f′(g(x₀)). Sete situações, com radicais, exponencial, logaritmo e seno, confrontam derivar só a externa, calcular a externa no ponto errado, trocar a ordem da composição e somar taxas; a última examina g(x) = x²·sen(1/x) em x₀ = 0, em que Δu = 0 para h arbitrariamente pequeno — a prova informal falha, e a regra continua valendo.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Física
Dilatação térmica de um cubo
O lado de um cubo metálico varia com a temperatura como s(T) = s₀(1 + αΔT). O volume é V = s³. A taxa de variação do volume com a temperatura é dV/dT = (dV/ds)·(ds/dT) = 3s²·s₀α: a regra da cadeia explica por que o coeficiente de dilatação volumétrica é, em boa aproximação, 3α.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um cubo metálico de lado s₀ (a 0 °C de referência) é aquecido ΔT graus. O lado passa a s = s₀(1 + αΔT). Com que taxa o volume varia com a temperatura?
Modelo: V = s³ e s = s₀(1 + αΔT); regra da cadeia: dV/dT = (dV/ds)·(ds/dT) = 3s²·s₀α. Coeficiente volumétrico: β = (1/V)·dV/dT = 3α·s₀/s ≈ 3α.
- s = 0,1 · (1 + 1,2 × 10⁻⁵ · 100) ≈ 0,10012 m; V ≈ 1,003604 × 10⁻³ m³.
- dV/ds = 3s² ≈ 3,0072 × 10⁻² m²; ds/dT = s₀α ≈ 1,2 × 10⁻⁶ m/°C.
- dV/dT ≈ 3,6086 × 10⁻⁸ m³/°C; aumento real de V com +1 °C: ≈ 3,6087 × 10⁻⁸ m³.
- β = (1/V)·dV/dT ≈ 3,5957 × 10⁻⁵ por °C; 3α = 3,6 × 10⁻⁵ por °C.
Resultado: O volume cresce cerca de ≈ 3,609 × 10⁻⁸ m³ por grau; o coeficiente volumétrico é ≈ 3,596 × 10⁻⁵ por °C, quase 3α.
Leitura crítica: A taxa composta é o produto das taxas: quanto V muda por metro de lado, vezes quanto o lado muda por grau. β difere de 3α pelo fator s₀/s, muito próximo de 1 para dilatações pequenas. O modelo linear do lado vale em faixas moderadas de temperatura.
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Matemática financeira
Mudança de unidade de tempo
Na capitalização contínua, M(t) = C·e^(it), com t em anos. Medindo o tempo em meses, t = m/12, e dM/dm = (dM/dt)·(dt/dm) = i·C·e^(it)/12. Mudar a unidade de tempo é compor com uma função linear, e a taxa fica dividida por 12.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Um capital C é aplicado com capitalização contínua à taxa nominal i ao ano. Qual é a taxa de crescimento do montante por ano e por mês, no instante t?
Modelo: M(t) = C·e^(it), t em anos; dM/dt = i·C·e^(it). Com t = m/12 (m em meses): dM/dm = (dM/dt)·(dt/dm) = i·C·e^(it)/12.
- M(2) = C·e^(i·t), com C = R$ 10.000,00 e i = 12% ao ano: M ≈ R$ 12.712,49.
- dM/dt = i·M ≈ R$ 1.525,50 por ano.
- dt/dm = 1/12; dM/dm = (dM/dt)/12 ≈ R$ 127,12 por mês.
Resultado: No instante t = 2 ano(s), o montante cresce a ≈ R$ 1.525,50/ano, isto é, ≈ R$ 127,12/mês.
Leitura crítica: Mudar a unidade de tempo é compor com t = m/12: a taxa fica dividida por 12, mas o montante no mesmo instante é o mesmo. A taxa instantânea R$/mês não é o rendimento de um mês inteiro, que é um pouco maior porque o montante cresce durante o mês.
Referências
- HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2.
- ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
- GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
- LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. Rio de Janeiro: IMPA, 1989. v. 1. (Coleção Matemática Universitária).
- CLARK, J. M.; CORDERO, F.; COTTRILL, J.; CZARNOCHA, B.; DEVRIES, D. J.; JOHN, D. St.; TOLIAS, G.; VIDAKOVIC, D. Constructing a schema: the case of the chain rule? The Journal of Mathematical Behavior, Amsterdam, v. 16, n. 4, p. 345-364, 1997.