TVI: bisseção, hipóteses e contraexemplos

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Matemática financeira

  Taxa interna de retorno por bisseção

  O valor presente líquido de um investimento é função contínua da taxa de desconto; em projetos convencionais, é positivo para taxa nula e negativo para taxas altas. O TVI garante uma taxa em que o VPL se anula — a taxa interna de retorno — e a bisseção a calcula com erro controlado, como nos métodos de busca de raízes da análise numérica.

  Fontes: [1], [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um investimento de R$ 10.000,00 gera R$ 2.500,00 no fim de cada ano, durante 5 anos. Qual a taxa interna de retorno (taxa que anula o valor presente líquido)? Calcule-a por bisseção com erro menor que 0,01 ponto percentual.

  Modelo: VPL(i) = −I + F·[1 − (1 + i)^(−n)]/i para i > 0, e VPL(0) = −I + nF. VPL é contínuo em [0; 1]; se VPL(0) > 0 > VPL(1), o TVI garante i* com VPL(i*) = 0. Bisseção: k passos dão erro ≤ 1/2^(k+1).

  Dados — altere para recalcular

  Investimento inicial I (R$) Fluxo anual F (R$) Número de anos n Erro máximo (p.p.) Restaurar os dados

  1. VPL(0) = −10.000,00 + 5 · 2.500,00 = 2500 > 0; VPL(100%) ≈ −7578,13 < 0. VPL é contínuo em [0; 1]: o TVI garante a raiz.
  2. Passos necessários: metade da tolerância para a bisseção, 1/2^(k+1) ≤ ≈ 0,00005 ⇒ k = 14; a outra metade cobre o arredondamento a 2 casas.
  3. passo 0: [0%; 100%], m = 50%, VPL(m) ≈ −5658,44
  4. passo 1: [0%; 50%], m = 25%, VPL(m) ≈ −3276,8
  5. passo 2: [0%; 25%], m ≈ 12,5%, VPL(m) ≈ −1098,58
  6. passo 3: [0%; ≈ 12,5%], m ≈ 6,25%, VPL(m) ≈ 459,67
  7. Após 14 passos: intervalo [≈ 7,9285%; ≈ 7,9346%], de largura 1/2^14; aproximação (ponto médio) ≈ 7,9315% ao ano, a no máximo 1/2^15 da raiz (VPL ≈ −0,18).

  Resultado: Taxa interna de retorno ≈ 7,93% ao ano (erro ≤ 0,01 p.p., já contado o arredondamento).

  Leitura crítica: O TVI garante que a taxa existe; a bisseção a encontra com erro controlado, a cada passo reduzido à metade. Em fluxos com várias trocas de sinal, o VPL pode ter mais de uma raiz — e a TIR deixa de ser um bom critério de decisão.

• Tributação

  Imposto progressivo sem saltos

  No imposto de renda brasileiro, cada faixa tem uma alíquota aplicada sobre a base inteira, menos uma parcela a deduzir. Essa parcela é exatamente o número que torna o imposto uma função contínua da renda: sem ela, ganhar um real a mais na fronteira de uma faixa poderia aumentar o imposto de forma desproporcional.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma tabela ilustrativa de imposto progressivo tem as faixas: até R$ 2.000,00, isento; de 2.000 a 3.000, 7,5%; de 3.000 a 4.500, 15%; acima de 4.500, 22,5%. A alíquota incide sobre a base inteira, menos uma parcela a deduzir. Calcule as parcelas que tornam o imposto contínuo e o imposto sobre R$ 3.200,00.

  Modelo: T(x) = rₖ·x − dₖ na faixa k. Continuidade na fronteira Lₖ: rₖLₖ − dₖ = rₖ₋₁Lₖ − dₖ₋₁ ⇒ dₖ = dₖ₋₁ + (rₖ − rₖ₋₁)Lₖ, com d₀ = 0 (faixa isenta).

  Dados — altere para recalcular

  Base de cálculo x (R$) Limite da faixa isenta L₁ (R$) Limite L₂ (R$) Limite L₃ (R$) Alíquota r₁ (%) Alíquota r₂ (%) Alíquota r₃ (%) Restaurar os dados

  1. d₁ = 0 + 0,075 · 2000 = 150, isto é, R$ 150,00.
  2. d₂ = 150 + (0,15 − 0,075) · 3000 = 375, isto é, R$ 375,00.
  3. d₃ = 375 + (0,225 − 0,15) · 4500 = 712,5, isto é, R$ 712,50.
  4. x = 3200 está na faixa 2: r·x − d = 0,15 · 3200 − 375 = 105, isto é, T = R$ 105,00.
  5. Sem as parcelas, T saltaria nas fronteiras: R$ 150,00 em L₁, R$ 225,00 em L₂ e R$ 337,50 em L₃.

  Resultado: Imposto sobre R$ 3.200,00: R$ 105,00 (alíquota efetiva ≈ 3,28%); sem a parcela a deduzir seriam R$ 480,00.

  Leitura crítica: A parcela a deduzir faz cada alíquota incidir só sobre a parte da renda dentro da faixa: T é contínua e a alíquota efetiva cresce sem saltos. A tabela é ilustrativa; os valores vigentes são fixados pela legislação e mudam com o tempo.

• Agrimensura

  Dividir um terreno ao meio com uma reta

  A área de um terreno à esquerda de uma divisa vertical x = c varia continuamente com c, de 0 à área total. Pelo TVI, existe uma posição que divide o terreno em duas partes de mesma área; argumentos desse tipo, que garantem a existência sem fórmula, são clássicos das aplicações do teorema de Bolzano.

  Fonte: [4]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo com catetos de 60 m (frente) e 40 m (lateral). Onde traçar uma divisa perpendicular à frente para dividi-lo em duas partes de mesma área?

  Modelo: Com a frente no eixo x de 0 a b e a lateral em x = 0 com altura h, a área à esquerda de x = c é A(c) = h·c − h·c²/(2b), contínua e crescente de 0 a bh/2. O TVI garante c com A(c) = bh/4; resolvendo, c = b(1 − 1/√2).

  Dados — altere para recalcular

  Frente b (m) Lateral h (m) Restaurar os dados

  1. Área total: 60 · 40 / 2 = 1200 m²; alvo: metade, 600 m².
  2. A(0) = 0 < 600 < 1200 = A(b); A é contínua: o TVI garante c em (0, b).
  3. bisseção 0: c = 30 m, A(c) = 900 m² (maior que 600)
  4. bisseção 1: c = 15 m, A(c) = 525 m² (menor que 600)
  5. bisseção 2: c ≈ 22,5 m, A(c) ≈ 731,25 m² (maior que 600)
  6. bisseção 3: c ≈ 18,75 m, A(c) ≈ 632,81 m² (maior que 600)
  7. Exato: h c − h c²/(2b) = bh/4 ⇔ c² − 2bc + b²/2 = 0 ⇔ c = b(1 − 1/√2) ≈ 17,574 m (a outra raiz, b(1 + 1/√2), está fora do terreno).

  Resultado: A divisa fica a ≈ 17,57 m do vértice do ângulo reto, medidos ao longo da frente (≈ 29,3% da frente).

  Leitura crítica: A divisa não fica no meio da frente: a parte perto do ângulo reto é mais alta. O TVI garante a existência para qualquer terreno — até sem fórmula para a área — e a bisseção localiza a divisa com medições de área.