Inflexão: a concavidade precisa mudar

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Biologia

  Curva logística: o instante de crescimento mais rápido

  No modelo logístico P(t) = K/(1 + A·e^(−rt)), a população cresce cada vez mais depressa até o ponto de inflexão, em P = K/2, e cada vez mais devagar depois. A inflexão é o instante de crescimento máximo, rK/4 por unidade de tempo.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma população segue o modelo logístico P(t) = K/(1 + A·e^(−rt)). Em que instante ela cresce mais depressa, e quanto vale essa taxa?

  Modelo: P′ = rP(1 − P/K); P″ = r·P′·(1 − 2P/K), que muda de sinal quando P = K/2. Isso ocorre em t* = ln(A)/r, com taxa máxima P′(t*) = rK/4.

  Dados — altere para recalcular

  Capacidade de suporte K (indivíduos) Constante A = K/P(0) − 1 Taxa intrínseca r (por ano) Restaurar os dados

  1. Com K = 1000, A = 99 e r = 0,5: P(0) = K/(1 + A) = 10.
  2. Inflexão quando P = K/2 = 500: 1 + A·e^(−rt) = 2 ⇒ t* = ln(A)/r ≈ 9,19 anos.
  3. Taxa máxima: P′(t*) = rK/4 = 125 indivíduos por ano.

  Resultado: A população cresce mais depressa em t* ≈ 9,19 anos, à taxa rK/4.

  Leitura crítica: Antes da inflexão, a curva é côncava para cima (o crescimento acelera); depois, côncava para baixo. O ponto de inflexão separa as duas fases, mesmo que nada pareça "acontecer" no gráfico ali.

• Economia

  Custo marginal mínimo

  Num custo total cúbico C(q) = aq³ − bq² + cq + d, o custo marginal C′(q) diminui até a inflexão de C e aumenta depois: a inflexão q = b/(3a) é o nível de produção de custo marginal mínimo, onde os ganhos de escala começam a se esgotar.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma fábrica tem custo total C(q) = a·q³ − b·q² + c·q + d (reais, q em unidades). Em que nível de produção o custo marginal é mínimo?

  Modelo: C′(q) = 3aq² − 2bq + c (custo marginal); C″(q) = 6aq − 2b muda de sinal em q* = b/(3a): inflexão de C e mínimo de C′, com C′(q*) = c − b²/(3a).

  Dados — altere para recalcular

  Coeficiente a Coeficiente b Coeficiente c Custo fixo d (R$) Restaurar os dados

  1. Com a = 0,01, b = 1,2, c = 60 e d = 500: C″(q) = 6aq − 2b = 0 ⇒ q* = b/(3a) = 40 unidades.
  2. C″ < 0 para 0 ≤ q < q* (custo côncavo para baixo) e C″ > 0 depois: q* é ponto de inflexão de C.
  3. Custo marginal mínimo: C′(q*) = c − b²/(3a) = 12 R$ por unidade; C(q*) = 1620.
  4. C′(q) = 3a(q − q*)² + C′(q*).

  Resultado: O custo marginal é mínimo em q*, com C′(q*) > 0: C é crescente em todo q ≥ 0.

  Leitura crítica: A inflexão do custo total é o ponto em que produzir mais uma unidade deixa de ficar mais barato e passa a ficar mais caro (ganhos de escala esgotados).