MatLabG · Experiência
Transformações de gráficos e modelos
Uma só forma, a·f(b(x − c)) + d, para marés, pH, fármacos, juros e decibéis.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Por que mudanças no argumento de f (b e c) agem na horizontal e "ao contrário", enquanto as de fora (a e d) agem na vertical, e o que isso permite fazer ao ajustar modelos a dados?
Execução restrita
Escolha uma função base — parábola, módulo, raiz, hipérbole, exponencial, logaritmo ou seno — e varie os quatro parâmetros de g(x) = a·f(b(x − c)) + d. Um ponto móvel mostra de onde vem cada valor de g na curva base; o reflexo em y = x revela quando existe a inversa. As mesmas transformações ajustam modelos de marés, de pH, de eliminação de fármacos, de juros compostos e de intensidade sonora.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Oceanografia
Marés como seno transformado
Em muitos portos, a altura da maré ao longo de um dia é bem aproximada por uma senoide: a amplitude é |a| e o nível médio é d; o período T (próximo de 12,4 h nas marés semidiurnas) não é b, mas 2π/|b| (b ≈ 2π/12,4 ≈ 0,507 por hora); c é um deslocamento de fase: com f = sen (a, b > 0), c é o instante em que a maré passa pelo nível médio subindo, e a preamar ocorre em c + T/4 (com f = cos, ocorreria em c). Modelos reais somam várias componentes periódicas.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Num porto, a preamar de hoje foi de 6,5 m às 2 h e a baixa-mar, de 0,5 m. Com período de 12,4 h, qual a altura da maré às 5 h? Um barco com calado que exige 4 m de água pode passar nesse horário?
Modelo: h(t) = D + A·cos(2π(t − t₀)/T): D = (máx + mín)/2 (translação vertical), A = (máx − mín)/2 (dilatação vertical), 2π/T (compressão horizontal), t₀ = horário da preamar (translação horizontal).
- D = (6,5 + 0,5)/2 ≈ 3,5 m; A = (6,5 − 0,5)/2 = 3 m.
- Argumento: θ = 2π · (t − t₀)/T, com t = 5, t₀ = 2 e T = 12,4: θ ≈ 1,5201 rad; cos(θ) ≈ 0,0506.
- h(t) = D + A · cos(θ) ≈ 3,65 m.
Resultado: Altura ≈ 3,65 m: o barco não deve passar (exige 4 m).
Leitura crítica: O modelo senoidal é uma aproximação: marés reais somam várias componentes (lunares e solares) e sofrem efeitos de vento e pressão. Tábuas oficiais de marés devem ser usadas para navegação.
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Química
pH: um logaritmo com sinal trocado
O pH é −log₁₀ da concentração de íons hidrogênio. A reflexão (a = −1) faz o pH diminuir quando a acidez aumenta, e a escala logarítmica transforma fatores de 10 em passos de uma unidade.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Uma amostra tem concentração de íons hidrogênio de 3,2 × 10⁻⁴ mol/L. Qual o pH? E depois de diluída 10 vezes?
Modelo: pH = −log₁₀[H⁺] (reflexão do logaritmo); numa solução ácida, diluir por um fator F divide [H⁺] por F, o que soma log₁₀ F ao pH; numa básica, divide [OH⁻], e o pH desce log₁₀ F (pH + pOH = 14 a 25 °C). Nos dois casos o pH não atravessa 7.
- [H⁺] = 3,2 × 10^(−4) mol/L.
- pH = −(log₁₀(m) + k), com m = 3,2 e k = −4: log₁₀(m) ≈ 0,5051 e pH ≈ 3,49.
- Solução ácida: diluir 10 vezes divide [H⁺] por 10, e o novo pH é pH + log₁₀(F) ≈ 4,49.
Resultado: pH ≈ 3,49; após a diluição, ≈ 4,49.
Leitura crítica: Cada fator 10 na concentração muda o pH em 1 unidade: a escala logarítmica comprime um intervalo enorme de concentrações. Em soluções muito diluídas, a autoionização da água não pode ser ignorada.
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Farmacologia
Eliminação de fármacos e meia-vida
Em muitos fármacos, a concentração plasmática decai exponencialmente após a absorção: a cada meia-vida, cai à metade. A curva é uma exponencial dilatada verticalmente pela dose inicial e comprimida horizontalmente: na base 2, C₀·2^(−t/T½), o fator é 1/T½; com f(u) = eᵘ, como na prancheta, é C₀·e^(−λt) com λ = ln 2/T½ (b = −ln 2/T½).
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Um fármaco atinge 80 mg/L no plasma e tem meia-vida de 6 h. Em quanto tempo a concentração cai abaixo de 5 mg/L? Qual a concentração após 24 h?
Modelo: C(t) = C₀ · 2^(−t/T½) (exponencial dilatada por C₀ e comprimida por 1/T½). Tempo até o limiar: t = T½ · log₂(C₀/C_lim).
- C₀/C_lim = 80 ÷ 5 = 16.
- t = T · log₂(C₀/C_lim), com T = 6: t = 24 h.
- C(t) = C₀ · 2^(−t/T), com t = 24: C = 5 mg/L.
Resultado: Abaixo de 5 mg/L após ≈ 24 h; em 24 h, C ≈ 5 mg/L.
Leitura crítica: O modelo supõe eliminação de primeira ordem (taxa proporcional à concentração), comum mas não universal. Com doses repetidas, as curvas se sobrepõem e surge um nível de equilíbrio.
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Matemática financeira
Juros compostos e prazos
O montante M = C(1 + i)ⁿ é uma exponencial de base 1 + i dilatada pelo capital; o prazo para atingir um valor desejado é dado pelo logaritmo, sua inversa.
Fonte: [4]
Como usar: aplicação resolvida
Aplicam-se R$ 5.000,00 a 1% ao mês, com juros compostos. Qual o montante em 24 meses? Em quantos meses se atinge R$ 8.000,00?
Modelo: M(n) = C(1 + i)ⁿ; o prazo para atingir M* é o logaritmo: n = ln(M*/C)/ln(1 + i), arredondado para cima (juros mensais).
- Fator mensal 1 + i ≈ 1,01.
- M(m) = C · (1 + i)^m, com C = 5000 e m = 24: M ≈ 6348,67 reais.
- n = ln(M*/C) / ln(1 + i), com M* = 8000: n ≈ 47,23.
Resultado: Montante em 24 meses: R$ ≈ 6348,67. O alvo é atingido no 48.º mês.
Leitura crítica: O prazo cresce apenas logaritmicamente com o alvo: dobrar o alvo acrescenta sempre o mesmo número de meses (o tempo de duplicação). Taxas reais variam e há tributos, que o modelo ignora.
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Acústica
Decibéis: somar intensidades, não níveis
O nível sonoro é L = 10·log₁₀(I/I₀), com I₀ = 10⁻¹² W/m². Duas fontes somam intensidades, e não decibéis: o nível resultante se obtém voltando da escala logarítmica para a linear e retornando.
Fonte: [5]
Como usar: aplicação resolvida
Duas máquinas produzem, isoladamente, 85 dB e 80 dB num ponto da oficina. Qual o nível sonoro com as duas ligadas? A soma chega a 165 dB?
Modelo: L = 10·log₁₀(I/I₀); intensidades se somam: I = I₁ + I₂, com Iₖ = I₀·10^(Lₖ/10). Logo L = 10·log₁₀(10^(L₁/10) + 10^(L₂/10)).
- I₁/I₀ = 10^(L₁/10) ≈ 3,16 × 10⁸; I₂/I₀ = 10^(L₂/10) = 1 × 10⁸.
- Soma: I/I₀ ≈ 4,16 × 10⁸.
- L = 10 · log₁₀(I/I₀) ≈ 86,19 dB.
Resultado: Nível combinado ≈ 86,2 dB — e não 165 dB.
Leitura crítica: Duas fontes iguais somam apenas cerca de 3 dB (10·log₁₀ 2). A escala logarítmica acompanha a percepção humana de intensidade; o modelo supõe fontes incoerentes e ignora reflexões no ambiente.
Referências
- PUGH, D. T. Tides, surges and mean sea-level. Chichester: John Wiley & Sons, 1987.
- ATKINS, P.; JONES, L. Princípios de química: questionando a vida moderna e o meio ambiente. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
- RANG, H. P. et al. Rang & Dale farmacologia. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2016.
- ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
- HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2.
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.