Somas de Riemann: esquerda, direita, ponto médio e trapézio

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  Distância a partir das leituras do velocímetro

  Com leituras da velocidade a intervalos regulares, as somas à esquerda e à direita estimam a distância percorrida. Se a velocidade for monótona no intervalo todo — hipótese que as leituras sozinhas não garantem —, as duas somas cercam a distância verdadeira.

  Fontes: [1], [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um carro tem a velocidade lida a cada Δt segundos: v₀, v₁, v₂, v₃, v₄ (m/s). Estime a distância percorrida pelas somas à esquerda, à direita e pelo trapézio.

  Modelo: L = Δt(v₀ + v₁ + v₂ + v₃); R = Δt(v₁ + v₂ + v₃ + v₄); T = (L + R)/2. Se v for monótona no intervalo todo (hipótese), a distância fica entre L e R.

  Dados — altere para recalcular

  v₀ (m/s) v₁ (m/s) v₂ (m/s) v₃ (m/s) v₄ (m/s) Intervalo entre leituras Δt (s) Restaurar os dados

  1. Leituras 0; 8; 14; 18; 20 m/s, com Δt = 2 s.
  2. L = Δt·(v₀ + v₁ + v₂ + v₃) = 80 m; R = Δt·(v₁ + v₂ + v₃ + v₄) = 120 m.
  3. T = (L + R)/2 = 100 m.

  Resultado: Estimativas da distância: L, R e T (trapézio), acima. Só as leituras não garantem que a distância verdadeira esteja entre L e R.

  Leitura crítica: As leituras são não decrescentes, mas isso não prova que v seja monótona entre elas. SE v for monótona em todo o intervalo (hipótese externa às leituras), então a distância fica entre L e R. Exemplo: v(t) = 10·sen⁴(πt/2) m/s vale 0, 10, 0, 10, 0 em t = 0, 1, 2, 3, 4 s (L = R = T = 20 m), mas percorre 15 m.

• Computação científica

  Quantos subintervalos para uma precisão dada

  Conhecida uma cota K de |f″|, as fórmulas de erro do ponto médio e do trapézio dizem quantos subintervalos bastam para garantir um erro máximo. A cota é suficiente, não necessária: muitas vezes o erro real é bem menor.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um programa precisa calcular ∫ f dx (de a até b) com erro garantido de no máximo 10^(−k). Sabendo que |f″| ≤ K no intervalo, quantos subintervalos bastam pelo ponto médio e pelo trapézio?

  Modelo: |I − Mₙ| ≤ K(b − a)³/(24n²) e |I − Tₙ| ≤ K(b − a)³/(12n²). Basta n² ≥ K(b − a)³/(24·tol) e n² ≥ K(b − a)³/(12·tol), com n inteiro (arredondado para cima).

  Dados — altere para recalcular

  Cota K de |f″| Comprimento b − a Expoente k da tolerância 10^(−k) Restaurar os dados

  1. Com K = 2,72, b − a = 1 e tolerância 10⁻⁴.
  2. Ponto médio: K(b − a)³/(24·tol) = 3400/3 ≈ 1133,33; o menor inteiro n com n² ≥ esse valor é 34.
  3. Trapézio: K(b − a)³/(12·tol) = 6800/3 ≈ 2266,67; o menor inteiro n com n² ≥ esse valor é 48.

  Resultado: Bastam 34 subintervalos pelo ponto médio e 48 pelo trapézio.

  Leitura crítica: As cotas são garantias: o erro real costuma ser menor, e um n menor pode bastar — mas só a cota garante sem conhecer o valor exato. O trapézio precisa de cerca de √2 vezes mais subintervalos.