MatLabG · Experiência
Derivação implícita: a tangente sem resolver a equação
Circunferência, fólio de Descartes e elipse inclinada: inclinações, tangentes verticais e um nó.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
O que a derivação implícita garante sobre a tangente a uma curva F(x, y) = 0, e em que pontos ela não dá uma inclinação — mesmo havendo tangente?
Execução restrita
A curva F(x, y) = 0 é desenhada pelo sinal de F numa malha, sem fórmula para y. Num ponto P da curva, um ponto Q também da curva é obtido pelo método de Newton, sem usar a fórmula de dy/dx; a secante PQ gira até a tangente quando Q se aproxima de P, e você compara a sua inclinação com dy/dx = −Fₓ/F_y. Seis situações: a circunferência em (3, 4), o fólio de Descartes em (3, 3) e a elipse inclinada em (1, 2), com os erros típicos de esquecer a regra da cadeia ou a do produto; a tangente vertical da circunferência em (5, 0); o nó do fólio na origem, com duas tangentes; e um ponto fora da curva, onde a fórmula ainda dá um número que não significa nada.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Economia
Taxa marginal de substituição
Uma curva de indiferença U(x, y) = k reúne as cestas de dois bens que dão a mesma satisfação. A sua inclinação, dy/dx = −Uₓ/U_y, diz quantas unidades de y o consumidor aceita trocar por uma unidade a mais de x. Com U = x^a·y^b, a derivação implícita dá dy/dx = −(a·y)/(b·x), sem resolver a equação para y.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um consumidor tem utilidade U(x, y) = x^a·y^b sobre dois bens. Na cesta (x, y), quantas unidades de y ele aceita trocar por uma unidade a mais de x, mantendo a satisfação?
Modelo: Curva de indiferença x^a·y^b = k; derivação implícita: a·x^(a−1)·y^b + b·x^a·y^(b−1)·y′ = 0, logo dy/dx = −(a·y)/(b·x) (taxa marginal de substituição).
- dy/dx = −(a·y)/(b·x) = −(0,5 · 9)/(0,5 · 4) = −2,25.
- Conferência explícita: y = (k/x^a)^(1/b) na mesma curva; diferença centrada em x: ≈ −2,25.
Resultado: Na cesta com x = 4 e y = 9, o consumidor troca cerca de 2,25 unidade(s) de y por uma unidade a mais de x.
Leitura crítica: A derivação implícita deu a taxa sem resolver a equação para y; a conferência explícita só foi possível porque esta curva tem forma simples. A taxa vale para trocas pequenas: para uma unidade inteira, a curvatura da curva de indiferença pesa.
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Química
Compressão isotérmica de um gás
Para um gás ideal a temperatura constante, P·V = nRT é uma curva no plano V × P. Derivando implicitamente, V·dP/dV + P = 0, logo dP/dV = −P/V: a pressão varia mais depressa quando o volume é pequeno. A compressibilidade isotérmica, κ = −(1/V)·dV/dP, vale 1/P.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Um gás ideal é comprimido a temperatura constante. Com que taxa a pressão varia com o volume, e quanto vale a compressibilidade isotérmica?
Modelo: PV = nRT (R ≈ 0,082057 L·atm/(mol·K), valor adotado); derivando implicitamente em relação a V: V·dP/dV + P = 0, logo dP/dV = −P/V; κ = −(1/V)·dV/dP = 1/P.
- P = nRT/V, com n = 1 mol, T = 300 K e V = 10 L: P ≈ 2,4617 atm.
- dP/dV = −P/V ≈ −2,4617 × 10⁻¹ atm/L.
- κ = 1/P ≈ 4,0622 × 10⁻¹ 1/atm.
Resultado: Perto de V = 10 L, reduzir o volume em 1 mL aumenta a pressão em cerca de ≈ 2,462 × 10⁻⁴ atm.
Leitura crítica: A derivação implícita trata P como função de V na curva PV = constante. A taxa |dP/dV| = P/V cresce quando o volume diminui. Gases reais se afastam do modelo ideal em pressões altas e temperaturas baixas.
Referências
- VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 9. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
- ATKINS, P.; JONES, L. Princípios de química: questionando a vida moderna e o meio ambiente. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
- GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
- BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise numérica. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.