Do gráfico de f ao gráfico de f′

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  Do gráfico da posição ao gráfico da velocidade

  Num movimento retilíneo, a velocidade é a derivada da posição. Onde o gráfico s(t) sobe, v(t) > 0; onde ele tem tangente horizontal, o móvel está momentaneamente parado; onde ele desce, o móvel volta. Ler um gráfico de posição como se fosse de velocidade (confundir altura com inclinação) é um erro clássico de laboratório.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um carrinho num trilho tem posição s(t) = t³ − (3/2)(t₁ + t₂)t² + 3t₁t₂·t (metros, t em segundos). Em que instantes ele para, e em que sentido se move num instante t dado?

  Modelo: v(t) = s′(t) = 3t² − 3(t₁ + t₂)t + 3t₁t₂ = 3(t − t₁)(t − t₂): o gráfico de v registra a inclinação do gráfico de s.

  Dados — altere para recalcular

  Primeiro instante de parada t₁ (s) Segundo instante de parada t₂ (s) Instante t (s) Restaurar os dados

  1. s(2) = 2 m.
  2. v(t) = 3(t − 1)(t − 3); v(2) = −3 m/s.
  3. v < 0 entre 1 s e 3 s; v > 0 antes de 1 s e depois de 3 s.

  Resultado: Em t = 2 s, o carrinho recua (s decresce); a altura s(t) = 2 m não diz isso; a inclinação, sim.

  Leitura crítica: A posição pode ser positiva enquanto o carrinho recua, e negativa enquanto avança: o sentido do movimento é o sinal da derivada, não o da função. O modelo cúbico é escolhido para ter paradas em t₁ e t₂; um movimento real tem atrito e limites de velocidade.

• Química

  Velocidade de uma reação

  Numa reação de primeira ordem, a concentração do reagente decai como [A](t) = [A]₀e^(−kt). A velocidade instantânea de consumo é −d[A]/dt = k[A]: o gráfico da derivada tem o mesmo formato que o da concentração, com sinal trocado e fator k. A meia-vida ln 2/k não depende de [A]₀.

  Fonte: [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Numa reação de primeira ordem, a concentração do reagente A é [A](t) = [A]₀·e^(−kt). Qual é a velocidade de consumo de A num instante t, e qual é a meia-vida?

  Modelo: d[A]/dt = −k[A]₀e^(−kt) = −k[A]; velocidade de consumo: −d[A]/dt = k[A]; meia-vida t½ = ln 2 / k.

  Dados — altere para recalcular

  Concentração inicial [A]₀ (mol/L) Constante de velocidade k (1/s) Instante t (s) Restaurar os dados

  1. [A](30) = 0,5 · e^(−0,02 · 30) ≈ 2,744 × 10⁻¹ mol/L.
  2. d[A]/dt = −k[A] ≈ −5,488 × 10⁻³ mol/(L·s).
  3. Meia-vida: ln 2 / k ≈ 34,66 s.

  Resultado: Em t = 30 s, A é consumido a ≈ 5,488 × 10⁻³ mol/(L·s); a concentração cai à metade a cada ≈ 34,66 s.

  Leitura crítica: O gráfico da derivada tem o formato do gráfico de [A], com sinal trocado e fator k: a velocidade diminui à medida que o reagente acaba. A meia-vida não depende de [A]₀. O modelo vale para reações de primeira ordem, a temperatura constante.