Das secantes à tangente: quando a derivada existe

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Computação científica

  Derivada numérica: o h que não pode ser pequeno demais

  Programas de simulação estimam derivadas por [f(x + h) − f(x)]/h. Com h grande, a secante se afasta da tangente (erro de truncamento, proporcional a h); com h pequeno demais, f(x + h) e f(x) quase iguais são subtraídos em ponto flutuante (erro de arredondamento, proporcional a ε/h). O melhor h equilibra os dois, perto de √ε.

  Fontes: [1], [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um programa estima a derivada de f(x) = eˣ em x₀ pela secante [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h. Qual é o erro para um h dado, e por que diminuir h demais piora o resultado?

  Modelo: Erro de truncamento ≈ (h/2)·|f″(x₀)| = (h/2)·e^(x₀); erro de arredondamento ≈ 2ε·|f(x₀)|/h, com ε = 2⁻⁵²; h ótimo ≈ 2√ε para esta f (em que |f| = |f″|).

  Dados — altere para recalcular

  Ponto x₀ Expoente p, com h = 10⁻ᵖ Restaurar os dados

  1. h = 10⁻⁸; f′(x₀) = e^1 ≈ 2,718282.
  2. Secante: [e^(x₀ + h) − e^(x₀)]/h ≈ 2,7182818219; erro observado: ≈ 6,6 × 10⁻⁹.
  3. Estimativas: truncamento ≈ 1,36 × 10⁻⁸; arredondamento ≈ 1,21 × 10⁻⁷.
  4. h ótimo ≈ 2√ε ≈ 3 × 10⁻⁸, com erro total da ordem de ≈ 8,1 × 10⁻⁸.

  Resultado: Com h = 10⁻⁸, o erro é ≈ 6,6 × 10⁻⁹: domina o arredondamento (h pequeno demais).

  Leitura crítica: A derivada é um limite, mas o computador não faz h → 0: ele subtrai números quase iguais com cerca de 16 algarismos significativos. Abaixo do h ótimo, a estimativa do erro de arredondamento (a envoltória 2ε|f|/h) cresce quando h diminui: essa é a tendência. O erro observado depende dos arredondamentos e cancelamentos de cada conta e pode ficar igual, ou até diminuir, entre um h e o seguinte; as estimativas dão a ordem de grandeza, não o valor exato do erro.

• Economia

  Custo marginal

  Se C(q) é o custo de produzir q unidades, o custo da unidade seguinte é C(q + 1) − C(q), uma taxa média com h = 1. O custo marginal C′(q) é a taxa instantânea; para produções grandes, as duas quase coincidem, e a derivada é mais simples de calcular e de analisar.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma fábrica tem custo C(q) = F + c·q + d·q² (reais) para produzir q unidades. Quanto custa produzir a unidade seguinte, e quanto vale o custo marginal C′(q)?

  Modelo: Custo da unidade seguinte: C(q + 1) − C(q) = c + d(2q + 1) (taxa média com h = 1). Custo marginal: C′(q) = c + 2dq. Diferença: exatamente d.

  Dados — altere para recalcular

  Custo fixo F (R$) Custo variável c (R$/unidade) Coeficiente d (R$/unidade²) Produção atual q (unidades) Restaurar os dados

  1. C(500) = R$ 17.500,00; C(501) = R$ 17.530,01.
  2. Unidade seguinte: C(q + 1) − C(q) ≈ R$ 30,01.
  3. Custo marginal: C′(q) = c + 2dq = 20 + 2 · 0,01 · 500 = R$ 30,00 por unidade.
  4. Diferença entre as duas: ≈ R$ 0,01, que é d a menos de arredondamento.

  Resultado: Produzir a unidade 501 custa ≈ R$ 30,01; o custo marginal é R$ 30,00 por unidade.

  Leitura crítica: A taxa média com h = 1 e a derivada diferem por d, que é pequeno diante de c + 2dq quando a produção é grande. O modelo quadrático é uma idealização: custos reais têm degraus (turnos, máquinas) em que a derivada nem existe.