Geometria Espacial · Capítulo 17 · Demonstrativo
Poliedros e a relação de Euler
Vértices, arestas e faces: o invariante que atravessa todos os poliedros convexos.
Objetivos de aprendizagem
- Reconhecer elementos de um poliedro.
- Aplicar a relação de Euler e a contagem de arestas pelas faces.
- Demonstrar que existem apenas cinco poliedros de Platão.
- Identificar poliedros em que a relação de Euler não vale.
Teoria
DefiniçãoPoliedro
Sólido limitado por um número finito de polígonos planos (faces), de modo que cada lado de uma face é lado de exatamente outra face. Os lados das faces são as arestas e seus extremos, os vértices. É convexo quando o segmento entre dois pontos quaisquer do sólido está contido nele.
PropriedadeContagem de arestas
Somando os lados de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes: 2A=∑(lados das faces). Somando os graus dos vértices (número de arestas em cada um), também: 2A=∑(arestas por vértice).
TeoremaRelação de Euler
Em todo poliedro convexo, V−A+F=2.
Demonstração
Esboço (projeção de Cauchy). Retire uma face e “achate” a superfície restante sobre o plano, obtendo uma rede plana com V vértices, A arestas e F−1 regiões. Triangule cada região com diagonais: cada diagonal acrescenta uma aresta e uma região, sem alterar V−A+F. Depois remova triângulos da borda, um a um: remover um triângulo com uma aresta na borda tira uma aresta e uma região; com duas arestas na borda, tira duas arestas, um vértice e uma região. Nos dois casos, V−A+(F−1) não muda. Ao final resta um triângulo: 3−3+1=1. Logo V−A+(F−1)=1, isto é, V−A+F=2.
ContraexemploEuler não vale para todo poliedro
Uma “moldura de quadro” poliédrica (um prisma quadrado com um furo quadrado atravessando) tem V=16, A=32, F=16: V−A+F=0. A relação depende da topologia (ausência de furos), não da forma das faces.
DefiniçãoPoliedros de Platão
Poliedros convexos em que todas as faces têm o mesmo número n de lados e em todos os vértices concorrem o mesmo número m de arestas. Se as faces são polígonos regulares congruentes, o poliedro é regular.
TeoremaSó existem cinco
Existem exatamente cinco classes de poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Demonstração
De 2A=nF=mV e V−A+F=2: 2Am−A+2An=2, isto é, 1m+1n=12+1A>12. Com m, n≥3, as únicas soluções são (n, m)=(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5).
| Poliedro | Faces | V | A | F |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triângulos (3 por vértice) | 4 | 6 | 4 |
| Cubo | quadrados (3) | 8 | 12 | 6 |
| Octaedro | triângulos (4) | 6 | 12 | 8 |
| Dodecaedro | pentágonos (3) | 20 | 30 | 12 |
| Icosaedro | triângulos (5) | 12 | 30 | 20 |
PropriedadeSoma dos ângulos das faces
Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é S=(V−2)·360°.
Explorar no MatLabG
Poliedros e a relação de Euler →
Manipule os cinco poliedros de Platão, o icosaedro truncado da molécula C₆₀ e uma moldura com furo. Conte vértices, arestas e faces, separe as faces para ver cada aresta contada duas vezes e descubra onde a relação V − A + F = 2 deixa de valer.
No MatLabG, o conteúdo deste capítulo encontra a química, a biologia, a história da matemática e o método experimental. Depois de manipular e conjecturar, volte aqui para formalizar o resultado nas atividades.
Síntese
- 2A = soma dos lados das faces.
- V − A + F = 2 (convexos).
- Cinco poliedros de Platão.
Atividades (10)
Tente resolver antes de abrir a resolução.
Atividade 17.1
Cálculo Geometria espacialUm poliedro convexo tem 8 faces triangulares. Quantos vértices e arestas tem?
Ver resolução
- 2A=8·3=24⇒A=12.
- V=2+A−F=2+12−8=6.
Resposta: V = 6, A = 12 (octaedro).
Atividade 17.2
Cálculo Geometria espacialUm poliedro convexo tem 6 faces quadrangulares e 8 triangulares. Calcule A e V.
Ver resolução
- 2A=6·4+8·3=48⇒A=24.
- V=2+24−14=12.
Resposta: A = 24, V = 12 (cuboctaedro).
Atividade 17.3
Aplicação EsporteA bola de futebol clássica é um icosaedro truncado: 12 faces pentagonais e 20 hexagonais. Quantos vértices e arestas tem?
Ver resolução
- 2A=12·5+20·6=180⇒A=90.
- V=2+90−32=60.
Resposta: A = 90, V = 60.
Atividade 17.4
Demonstração Geometria espacialDemonstre que só existem cinco poliedros de Platão.
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- Sejam n≥3 lados por face e m≥3 arestas por vértice. Então nF=2A e mV=2A.
- Substituindo em V−A+F=2: 1m+1n=12+1A.
- Logo 1m+1n>12. Se m, n≥4, a soma é ≤12; então m=3 ou n=3.
- n=3: 1m>16⇒m∈{3, 4, 5}. m=3: n∈{3, 4, 5}. Pares distintos: (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3). □
Resposta: Cinco pares (n, m) possíveis.
Atividade 17.5
Cálculo Geometria espacialQual é a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices?
Ver resolução
- S=(V−2)·360°=8·360°.
Resposta: 2880°.
Atividade 17.6
Aplicação QuímicaA molécula de fulereno C60 tem átomos de carbono nos vértices de um icosaedro truncado, e cada átomo se liga a 3 outros. Quantas ligações (arestas) há? Confira com Euler.
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- 2A=60·3⇒A=90.
- Faces: 12 pentágonos e 20 hexágonos, F=32. 60−90+32=2 ✓.
Resposta: 90 ligações.
Atividade 17.7
Investigação TopologiaCalcule V−A+F para uma moldura poliédrica: prisma de base quadrada com um furo quadrado atravessando de uma base à outra.
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- Vértices: 8 no contorno externo e 8 no interno: V=16.
- Faces: 4 laterais externas, 4 internas, e cada “base” (um anel quadrado) dividida em 4 trapézios: F=16.
- Arestas: 2A=16·4=64 (todas as faces são quadriláteros): A=32.
- V−A+F=16−32+16=0.
Resposta: 0: a relação de Euler falha para sólidos com furo.
Atividade 17.8
Demonstração Geometria espacialProve que não existe poliedro convexo com exatamente 7 arestas.
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- Toda face tem ao menos 3 lados: 2A≥3F. Todo vértice tem ao menos 3 arestas: 2A≥3V.
- Com A=7: F≤143 e V≤143, logo F≤4 e V≤4.
- Euler exige V+F=A+2=9, mas V+F≤8. Contradição. □
Resposta: Não existe.
Atividade 17.9
Cálculo JogosUm dado de RPG de 20 faces (D20) é um icosaedro regular. Quantas arestas e vértices tem?
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- 2A=20·3⇒A=30.
- V=2+30−20=12.
Resposta: A = 30, V = 12.
Atividade 17.10
Cálculo CombinatóriaQuantas diagonais espaciais (que não estão em nenhuma face) tem um cubo?
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- Segmentos entre vértices: (82)=28.
- Descontam-se 12 arestas e 6·2=12 diagonais de face.
- 28−24=4.
Resposta: 4.
Glossário do capítulo
- Aresta
- Lado comum a duas faces de um poliedro.
- Face
- Cada polígono que limita um poliedro.
- Poliedro
- Sólido limitado por um número finito de polígonos planos (faces), em que cada lado de uma face é lado de exatamente outra face.
- Poliedro convexo
- Poliedro em que o segmento entre dois pontos quaisquer do sólido está contido nele. Vale V−A+F=2.
- Poliedro de Platão
- Poliedro convexo com todas as faces de mesmo número de lados e o mesmo número de arestas em cada vértice. São cinco classes.
- Poliedro regular
- Poliedro de Platão cujas faces são polígonos regulares congruentes.
- Relação de Euler
- Em todo poliedro convexo, V−A+F=2.
- Vértice de poliedro
- Ponto comum a três ou mais arestas.