Poliedros e a relação de Euler

Procedimento

1. Escolha o tetraedro. Antes de usar qualquer ferramenta, conte V, A e F só observando, e anote no registro.
2. Ative Contar e confira sua contagem elemento por elemento (use Passo para ir um a um).
3. Afaste as faces com Explosão. Cada face leva as próprias arestas: conte todos os lados e compare com A. Por que o resultado é 2A?
4. Repita para cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Complete o registro e calcule V − A + F.
5. Teste o icosaedro truncado, modelo da molécula C₆₀. A relação continua valendo? Quantos pentágonos ele tem?
6. Teste a moldura (um prisma com furo passante). Compare V − A + F com os anteriores e formule uma conjectura sobre a causa.
7. No quadro Por que só cinco?, percorra os pares (n, m) e relacione a desigualdade com os cinco poliedros de Platão.

Experiência

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Química

  Metano: um tetraedro com o carbono no centro

  Na molécula de metano (CH₄), os quatro átomos de hidrogênio ocupam os vértices de um tetraedro regular e o carbono ocupa o centro. O ângulo entre duas ligações é o ângulo entre dois raios do tetraedro, arccos(−1/3) ≈ 109,5°: um valor que a geometria do Capítulo 17 permite calcular e que a química mede.

  Fonte: [6]

  Como usar: aplicação resolvida

  No metano, cada ligação C–H mede cerca de 109 pm (picômetros). Qual é a distância entre dois átomos de hidrogênio?

  Modelo: H nos vértices de um tetraedro regular, C no centro: ângulo H–C–H = arccos(−1/3); lei dos cossenos no triângulo H–C–H.

  Dados — altere para recalcular

  Comprimento da ligação C–H (pm) Restaurar os dados

  1. Ângulo entre dois raios do tetraedro: θ = arccos(−1/3) ≈ 109,47°.
  2. Lei dos cossenos: HH² = d² + d² − 2·d·d·cos θ = 2d²(1 + 1/3) = (8/3)·d².
  3. HH = d·√(8/3) = 109 · 1,633 ≈ 178 pm.

  Resultado: Distância H–H ≈ 178 pm.

  Leitura crítica: O cálculo usa só a geometria do tetraedro. Medidas reais variam um pouco, porque os átomos vibram e a ligação não é um segmento rígido.

• Química

  Fulereno C₆₀: Euler numa molécula

  Em 1985 foi identificada uma molécula com 60 átomos de carbono dispostos nos vértices de um icosaedro truncado: 12 faces pentagonais, 20 hexagonais e 90 ligações. Conte na experiência: 60 − 90 + 32 = 2. A descoberta rendeu o Prêmio Nobel de Química de 1996 a Curl, Kroto e Smalley.

  Fonte: [4]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma molécula de carbono tem forma de casca fechada formada por pentágonos e hexágonos, com três ligações em cada átomo. Com h hexágonos, quantos átomos (V) e ligações (A) ela tem?

  Modelo: V − A + F = 2; 2A = 5p + 6h (soma dos lados das faces); 3V = 2A (três arestas por vértice). Daí p = 12.

  Dados — altere para recalcular

  Número de hexágonos h Restaurar os dados

  1. Pela relação de Euler, p = 12 pentágonos, qualquer que seja h.
  2. Faces: F = p + h = 12 + 20 = 32.
  3. Arestas: 2A = 5·12 + 6·20 = 180 ⇒ A = 90.
  4. Vértices: 3V = 2A ⇒ V = 60.
  5. Conferência: V − A + F = 60 − 90 + 32 = 2.

  Resultado: C60: 60 átomos de carbono e 90 ligações.

  Leitura crítica: Com h = 20 obtém-se o C₆₀. A contagem é necessária para a existência da molécula; a química decide se ela é estável.

• Biologia

  Capsídeos virais e os doze pentágonos

  Muitos vírus protegem seu material genético numa cápsula de proteínas com simetria icosaédrica. Na teoria de Caspar e Klug, essas cápsulas combinam hexâmeros e exatamente doze pentâmeros. A relação de Euler explica o doze: numa superfície fechada formada só por pentágonos (p) e hexágonos (h), com três faces em cada vértice, vale 2A = 5p + 6h e 3V = 2A; substituindo em V − A + F = 2, obtém-se p/6 = 2, isto é, p = 12, qualquer que seja h. A bola de futebol clássica de 32 gomos obedece à mesma conta.

  Fonte: [5]

  Como usar: aplicação resolvida

  Na teoria de Caspar e Klug, um capsídeo icosaédrico com número de triangulação T tem 60T proteínas, organizadas em 12 pentâmeros e 10(T − 1) hexâmeros. Quantas unidades há para um dado T?

  Modelo: Proteínas = 60T; pentâmeros = 12 (relação de Euler); hexâmeros = 10(T − 1); conferência: 5·12 + 6·10(T − 1) = 60T.

  Dados — altere para recalcular

  Número de triangulação T (1, 3, 4, 7, 9, …) Restaurar os dados

  1. Proteínas: 60 · 3 = 180.
  2. Pentâmeros: 12 (os mesmos 12 pentágonos exigidos pela relação de Euler).
  3. Hexâmeros: 10 · (3 − 1) = 20.
  4. Conferência: 5 · 12 + 6 · 20 = 180 = 60T.

  Resultado: 180 proteínas em 12 pentâmeros e 20 hexâmeros.

  Leitura crítica: Só alguns valores de T ocorrem (T = h² + hk + k², com h e k inteiros: 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, …). Valores fora dessa lista não formam capsídeo icosaédrico.

• Probabilidade

  Dados honestos

  Os dados de 4, 6, 8, 12 e 20 faces usados em jogos são os cinco poliedros de Platão. Em cada um, qualquer face pode ser levada a qualquer outra por uma simetria do sólido; por isso, num dado homogêneo, as faces são equiprováveis. É a simetria, e não apenas a igualdade das faces, que sustenta o modelo probabilístico.

  Como usar: aplicação resolvida

  Num jogo, lança-se k vezes um dado honesto de N faces (N = 4, 6, 8, 12 ou 20). Qual a probabilidade de sair a face máxima pelo menos uma vez? E o valor médio de um lançamento?

  Modelo: Faces equiprováveis por simetria: P(face) = 1/N; P(pelo menos uma vez em k) = 1 − (1 − 1/N)ᵏ; média = (N + 1)/2.

  Dados — altere para recalcular

  Faces do dado N Número de lançamentos k Restaurar os dados

  1. Cada face: P = 1/20 = 0,05.
  2. Não sair a face máxima em k lançamentos: (1 − 1/20)^10 = 0,5987.
  3. Pelo menos uma vez: 1 − 0,5987 = 0,4013 (40,1%).
  4. Média de um lançamento: (20 + 1)/2 = 10,5.

  Resultado: P ≈ 40,1%; média 10,5.

  Leitura crítica: O modelo supõe dado homogêneo; a simetria do poliedro de Platão garante faces equivalentes.

• História e epistemologia da matemática

  Provas, refutações e "monstros"

  Euler publicou a relação em 1758. Na história que se seguiu, surgiram sólidos que a contrariavam, como a moldura com furo desta experiência. Lakatos analisou esse debate para mostrar como definições, provas e contraexemplos se ajustam uns aos outros. Hoje, V − A + F é entendido como um invariante topológico: vale 2 para superfícies equivalentes à esfera e 0 para as equivalentes ao toro.

  Fontes: [1], [2], [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um sólido com furos é descrito pelas contagens V, A e F. Quantos furos (gênero g) sua superfície tem?

  Modelo: Característica de Euler χ = V − A + F = 2 − 2g, para superfícies fechadas orientáveis com g furos.

  Dados — altere para recalcular

  Vértices V Arestas A Faces F Restaurar os dados

  1. χ = V − A + F = 16 − 32 + 16 = 0.
  2. g = (2 − χ)/2 = (2 − 0)/2 = 1.

  Resultado: Superfície com 1 furo.

  Leitura crítica: Com os valores iniciais (a moldura da experiência), χ = 0 e g = 1: a moldura tem a forma de um toro. Por isso V − A + F = 2 não vale para ela.