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Fundamentos · Capítulo 1 · Demonstrativo

Noções primitivas, axiomas e segmentos

Onde a Geometria começa: o que não se define, o que se aceita e o que se demonstra.

Objetivos de aprendizagem

  • Distinguir noções primitivas, definições, axiomas e teoremas.
  • Reconhecer pontos colineares e coplanares e as condições que determinam retas e planos.
  • Operar com medidas de segmentos e ponto médio sobre uma reta orientada.
  • Produzir as primeiras demonstrações a partir dos axiomas de incidência e de ordem.

Teoria

A Geometria Euclidiana é um sistema axiomático: um pequeno conjunto de termos não definidos e de proposições aceitas sem demonstração serve de base para todas as outras afirmações. Euclides organizou assim os Elementos (c. 300 a.C.); David Hilbert, em 1899, completou as lacunas lógicas dessa organização nos Fundamentos da Geometria. O Laboratório Virtual G segue a tradição didática brasileira de Barbosa e de Dolce e Pompeo, que adapta os axiomas de Hilbert ao ensino.

DefiniçãoNoções primitivas

Ponto, reta e plano não são definidos. Nomeamos pontos com letras maiúsculas (A, B, P), retas com minúsculas (r, s, t) e planos com letras gregas (α, β, π). O significado dessas noções é fixado pelas relações que os axiomas estabelecem entre elas, não por uma imagem.

AxiomaAxiomas de incidência

I1. Por dois pontos distintos passa uma única reta. I2. Em toda reta há pelo menos dois pontos distintos, e existem três pontos que não pertencem a uma mesma reta. I3. Por três pontos não colineares passa um único plano.
αABCPr
Três pontos não colineares determinam um plano; a reta por dois pontos do plano está contida nele.

PropriedadeConsequência imediata

Duas retas distintas têm, no máximo, um ponto em comum. Justificativa: se tivessem dois pontos distintos em comum, pelo axioma I1 seriam a mesma reta.

AxiomaAxioma de ordem

Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles está entre os outros dois.

DefiniçãoSegmento e semirreta

O segmento AB é formado por A, B e todos os pontos entre A e B. A semirreta AB é formada pelos pontos do segmento AB e pelos pontos C tais que B está entre A e C. Pontos colineares pertencem a uma mesma reta; pontos coplanares, a um mesmo plano.
ABr
Reta AB: ilimitada nos dois sentidos
AB
Semirreta AB: origem em A
AB
Segmento AB: dois extremos
Reta (ilimitada), semirreta (uma origem) e segmento (dois extremos).

AxiomaAxioma da régua

Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais de modo que a distância entre dois pontos A e B, de coordenadas a e b, seja AB=|b−a|. Esse número é a medida do segmento AB.

DefiniçãoPonto médio

M é ponto médio de AB quando M pertence a AB e AM=MB. Dois segmentos de mesma medida são congruentes: AM≅MB.

TeoremaExistência e unicidade do ponto médio

Todo segmento possui um único ponto médio.
Demonstração
Pelo axioma da régua, associe coordenadas a a A e b a B, com a<b. Um ponto M de coordenada m está em AB se e somente se a≤m≤b; nesse caso AM=m−a e MB=b−m. A condição AM=MB equivale a m−a=b−m, isto é, m=a+b2, número que satisfaz a<m<b. Existe, portanto, exatamente um ponto médio.

Atenção conceitualFigura não é desenho

O traço no papel ou na tela é uma representação. Uma reta não tem espessura nem fim; o desenho tem ambos. Conclusões válidas vêm das propriedades, não da aparência: “parece colinear” não é argumento. No laboratório, o teste do arrasto ajuda: uma propriedade verdadeira da figura resiste a qualquer movimento dos pontos livres.

InvestigaçãoInvestigue no laboratório

Arraste C e compare AC+CB com AB. Quando vale a igualdade? O que acontece quando C sai da reta AB? Guarde sua conjectura: ela será demonstrada no Capítulo 4 como desigualdade triangular.

Explorar no MatLabG

Segmentos, distância e o caminho mais curto →
Compare AC + CB com AB enquanto C passeia pelo plano. A igualdade só acontece com C no segmento: é a desigualdade triangular, base de toda noção de distância, dos mapas aos algoritmos de navegação.

No MatLabG, o conteúdo deste capítulo encontra a química, a biologia, a história da matemática e o método experimental. Depois de manipular e conjecturar, volte aqui para formalizar o resultado nas atividades.

Síntese

  • Ponto, reta e plano são noções primitivas.
  • Axiomas são aceitos; teoremas são demonstrados a partir deles.
  • Por dois pontos passa uma única reta; por três pontos não colineares, um único plano.
  • O ponto médio existe e é único: m = (a + b)/2.

Atividades (11)

Tente resolver antes de abrir a resolução.

Atividade 1.1

Conceitual Cotidiano
Quantas retas distintas são determinadas por 4 pontos, três a três não colineares?
Ver resolução
  1. Cada par de pontos determina uma única reta (axioma I1).
  2. Como três pontos nunca são colineares, pares diferentes geram retas diferentes.
  3. Número de pares: 4·32=6.

Resposta: 6 retas.

Atividade 1.2

Aplicação Tecnologia
Dez antenas estão instaladas de modo que três delas nunca ficam alinhadas. Cada par se comunica por um feixe retilíneo. Quantos feixes são necessários?
Ver resolução
  1. Cada feixe corresponde a uma reta determinada por um par de antenas.
  2. Para n pontos, três a três não colineares, o número de retas é n(n−1)2.
  3. Com n=10: 10·92=45.

Resposta: 45 feixes.

Atividade 1.3

Cálculo Geometria pura
A, B e C são colineares, nessa ordem, com AB=7 cm e BC=5 cm. M é ponto médio de AB e N, de BC. Calcule MN.
Ver resolução
  1. MB=72=3,5 cm e BN=52=2,5 cm.
  2. Como B está entre M e N, MN=MB+BN.
  3. MN=3,5+2,5=6 cm.

Resposta: MN = 6 cm (metade de AC = 12 cm).

Atividade 1.4

Cálculo Geometria pura
A, B, C e D são colineares, nessa ordem, com AC=12, BD=14 e AD=20. Determine BC.
Ver resolução
  1. AC=AB+BC e BD=BC+CD.
  2. Somando: AC+BD=AB+2 BC+CD=AD+BC.
  3. 12+14=20+BC⇒BC=6.

Resposta: BC = 6.

Atividade 1.5

Demonstração Geometria pura
Demonstre que duas retas distintas r e s têm no máximo um ponto em comum.
Ver resolução
  1. Suponha, por absurdo, que r e s tenham dois pontos distintos P e Q em comum.
  2. Pelo axioma I1, existe uma única reta que passa por P e Q.
  3. Logo r=s, contradizendo a hipótese de serem distintas.
  4. Portanto, r∩s tem no máximo um ponto. □

Resposta: Demonstração por redução ao absurdo.

Atividade 1.6

Aplicação Transporte
Uma rodovia retilínea tem a cidade A no km 12 e a cidade B no km 87. Um posto de saúde será construído à mesma distância das duas cidades, na rodovia. Em que quilômetro?
Ver resolução
  1. O posto é o ponto médio do trecho AB.
  2. Coordenada do ponto médio: 12+872.
  3. 992=49,5.

Resposta: No km 49,5 (37,5 km de cada cidade).

Atividade 1.7

Conceitual Geometria pura
Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F): (a) três pontos quaisquer determinam um plano; (b) uma reta e um ponto fora dela determinam um plano; (c) duas retas concorrentes determinam um plano; (d) duas retas paralelas distintas determinam um plano.
Ver resolução
  1. (a) Falsa: três pontos colineares estão em infinitos planos.
  2. (b) Verdadeira: tome dois pontos da reta e o ponto exterior, três pontos não colineares (I3).
  3. (c) Verdadeira: o ponto comum e mais um ponto de cada reta são não colineares.
  4. (d) Verdadeira: pela definição, retas paralelas são coplanares; esse plano é único, pois contém uma reta e um ponto fora dela.

Resposta: F, V, V, V.

Atividade 1.8

Aplicação Engenharia
Por que um tripé fotográfico nunca balança em piso irregular, enquanto uma mesa de quatro pés pode balançar?
Ver resolução
  1. As extremidades dos pés são pontos de apoio.
  2. Três pontos não colineares sempre determinam um plano (I3): os três pés sempre se apoiam simultaneamente.
  3. Quatro pontos não são necessariamente coplanares: se o quarto pé não estiver no plano dos outros três, a mesa apoia em três e oscila.

Resposta: Três pontos não colineares sempre são coplanares; quatro podem não ser.

Atividade 1.9

Cálculo Geometria analítica
Numa reta orientada, A e B têm coordenadas −3 e 5. Determine a coordenada x do ponto C entre A e B tal que AC=3·CB.
Ver resolução
  1. Com C entre A e B: AC=x+3 e CB=5−x.
  2. x+3=3(5−x)⇒x+3=15−3x⇒4x=12.
  3. x=3. Verificação: AC=6 e CB=2.

Resposta: x = 3.

Atividade 1.10

Investigação Geometria pura
M é ponto médio de AB e P é um ponto da reta AB fora do segmento. Mostre que PA+PB=2 PM. A igualdade vale se P estiver dentro do segmento?
Ver resolução
  1. Coordenadas: A=a, B=b (a<b), M=a+b2 e P=p com p>b (o caso p<a é simétrico).
  2. PA+PB=(p−a)+(p−b)=2p−a−b=2(p−a+b2)=2 PM.
  3. Se P está entre A e B, então PA+PB=AB, que é constante, enquanto 2 PM varia com P. A igualdade só vale nesse caso se PM=AB2, isto é, se P=A ou P=B.

Resposta: Vale fora do segmento; dentro, só nos extremos.

Atividade 1.11

Aplicação Contextualização: alinhamento por visada
Um procedimento para alinhar estacas de cerca “por visada” consiste em fincar duas estacas e posicionar a terceira até que, olhando rente à primeira, a segunda esconda a terceira. Na geometria escolar, que axioma descreve o resultado desse procedimento?
Ver resolução
  1. As duas primeiras estacas determinam uma única reta (axioma I1).
  2. A visada coloca a terceira estaca nessa mesma reta: se ela está oculta pela segunda, os três pontos estão alinhados com o olho do observador.
  3. Repetindo o processo, todas as estacas pertencem à reta determinada pelas duas primeiras.
  4. Observação: a leitura pelo axioma é do matemático. Para quem alinha a cerca, o critério de validade é a própria visada (a estaca “some” atrás da outra). Isto é uma contextualização; tratá-lo como perspectiva etnomatemática exigiria investigar quem faz, onde, como aprendeu e como descreve essa prática.

Resposta: O axioma I1 (por dois pontos passa uma única reta).

Glossário do capítulo

Axioma (postulado)
Proposição aceita sem demonstração, que serve de ponto de partida de uma teoria.
Demonstração
Encadeamento lógico de afirmações justificadas que estabelece a verdade de um teorema a partir das hipóteses.
Plano
Noção primitiva, superfície ilimitada e sem espessura. Por três pontos não colineares passa um único plano.
Ponto
Noção primitiva, sem dimensão. Indica uma posição; é nomeado por letra maiúscula.
Ponto médio
Ponto M de AB tal que AM=MB. Existe e é único.
Pontos colineares
Pontos que pertencem a uma mesma reta.
Pontos coplanares
Pontos que pertencem a um mesmo plano.
Reta
Noção primitiva, ilimitada nos dois sentidos e sem espessura. Por dois pontos distintos passa uma única reta.
Segmento de reta
Conjunto formado por dois pontos A e B e todos os pontos entre eles. Notação: AB.
Segmentos congruentes
Segmentos de mesma medida. Notação: AB≅CD.
Semirreta
Parte de uma reta formada por um ponto (a origem) e todos os pontos que estão de um mesmo lado dele.
Teorema
Proposição demonstrada a partir de axiomas, definições e teoremas anteriores.

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