Segmentos, distância e o caminho mais curto — MatLabG

Pergunta científica

Dados A e B, para quais posições de C vale AC + CB = AB? Em todas as outras, a soma é maior ou menor?

Hipóteses

Trabalha-se no plano euclidiano, com a distância usual.
Medidas da tela são aproximações com duas casas decimais.

Domínio e modelo

Pontos A, B e C quaisquer do plano; AB > 0.

Três pontos do plano e as distâncias entre eles.

AB, AC, CB: distâncias entre os pontos
M: ponto médio de AB

Procedimento

Observe o movimento automático e anote o menor valor que AC + CB − AB atinge.
Pause e mova C até o segmento AB (há um ímã). Arraste os pontos (ou use Tab e as setas).
Leve C para a reta AB, mas fora do segmento. O que acontece com a diferença?
Formule uma conjectura com três casos: C no segmento, na reta fora do segmento, fora da reta.

Experiência

Prancheta: segmento AB e ponto C Segmento AB com ponto médio M e um ponto C móvel ligado a A e a B por segmentos tracejados. As medidas de AC, CB e AC + CB são recalculadas a cada movimento.

Movimento:

Velocidade

Teclado

Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

Computação

Rotas e a linha reta como estimativa

Algoritmos de busca de rotas, como o A*, usam a distância em linha reta até o destino como estimativa do que ainda falta percorrer. A estimativa nunca exagera o custo real justamente pela desigualdade triangular: nenhum caminho pelas ruas é mais curto que o segmento.

Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida

O destino fica 3 km a leste e 4 km ao norte. O aplicativo propõe um trajeto de 8,2 km pelas ruas. Quanto o trajeto excede a linha reta?

Modelo: Distância em linha reta d = √(Δx² + Δy²) (Pitágoras); desigualdade triangular: qualquer trajeto L ≥ d. Índice de sinuosidade L/d ≥ 1.

Dados — altere para recalcular Deslocamento leste Δx (km) Deslocamento norte Δy (km) Trajeto pelas ruas L (km)
1. d = √(3² + 4²) = √25 = 5 km.
2. Excesso: L − d = 8,2 − √25 ≈ 3,2 km.
3. Sinuosidade: L/d = 1,64.
Resultado: O trajeto é cerca de 64% mais longo que a linha reta.

Leitura crítica: A linha reta é o limite inferior que algoritmos como o A* usam como estimativa: ela nunca superestima o que falta percorrer.
Cartografia

Ponto médio no mapa

Marcar um ponto de encontro a meio caminho entre duas cidades é localizar o ponto médio de um segmento no mapa. A escala converte a medida do papel em distância real; o ponto médio não depende da escala.

Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida

Num mapa em escala 1 : 250 000, duas cidades estão nos pontos (2; 3) e (14; 8), em centímetros. Onde marcar o ponto de encontro a meio caminho, e qual a distância real entre elas?

Modelo: Ponto médio M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2); distância no mapa d = √(Δx² + Δy²); distância real D = d · E.

Dados — altere para recalcular x₁ (cm) y₁ (cm) x₂ (cm) y₂ (cm) Denominador da escala E
1. M = ((2 + 14) ÷ 2; (3 + 8) ÷ 2) = (8; 5,5).
2. d = √(12² + 5²) = 13 cm no mapa.
3. D = d × 250.000 = 3.250.000 cm, isto é, 32,5 km.
Resultado: Ponto de encontro em (8; 5,5) cm; distância real 32,5 km.

Leitura crítica: O ponto médio não depende da escala, só a distância real. Em linha reta; pela estrada, a distância é maior.

Limites do modelo

Na superfície da Terra, o caminho mais curto é um arco de circunferência máxima, não um segmento do plano.
Nas cidades, a distância percorrida segue as ruas; a linha reta é só um limite inferior.

Síntese

AC + CB ≥ AB para quaisquer A, B, C.
A igualdade vale se, e somente se, C pertence ao segmento AB.
O ponto médio M divide AB em dois segmentos congruentes.

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Referências

DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
HART, P. E.; NILSSON, N. J.; RAPHAEL, B. A formal basis for the heuristic determination of minimum cost paths. IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics, New York, v. 4, n. 2, p. 100-107, 1968.