Esta tabela veio de uma função afim?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física (dados simulados)

  Dados de uma mola: taxas medidas nunca são exatamente iguais

  Com medições, as taxas entre pontos de uma mola no regime elástico saem próximas, não idênticas: há erro de medida. Decidir "compatível com uma reta" passa a exigir uma tolerância declarada — e continua sendo compatibilidade, não prova. A aplicação usa DADOS SIMULADOS.

  Como usar: aplicação resolvida

  DADOS SIMULADOS: uma mola, medida com régua milimetrada, tem comprimentos 22,0; 24,1; 25,9 e 28,0 cm sob forças de 1, 2, 3 e 4 N. Os dados são compatíveis com uma relação afim, admitindo uma diferença de até 0,3 cm/N entre as taxas?

  Modelo: Taxas entre pontos consecutivos mᵢ = (Lᵢ₊₁ − Lᵢ)/(Fᵢ₊₁ − Fᵢ). Com medições, decide-se com uma tolerância declarada: compatível se a maior diferença entre taxas não passa dela.

  Dados — altere para recalcular

  Comprimento com 1 N (cm) Comprimento com 2 N (cm) Comprimento com 3 N (cm) Comprimento com 4 N (cm) Tolerância entre taxas (cm/N) Restaurar os dados

  1. Taxas (cm/N): 2,1; 1,8; 2,1.
  2. Maior diferença entre taxas: = 0,3 cm/N; tolerância 0,3 cm/N.
  3. Taxa média entre o primeiro e o último ponto: (28 − 22)/3 = 2 cm/N.

  Resultado: Compatível com uma relação afim dentro da tolerância declarada (taxa ≈ 2 cm/N) — compatível, não provado.

  Leitura crítica: DADOS SIMULADOS. Com medições, taxas idênticas não acontecem: a conclusão depende da tolerância, que deve refletir o erro de medida. Mesmo "compatível" não prova a lei de Hooke — e ela só vale no regime elástico.

• Computação (interpolação)

  Interpolação linear: supor afim entre dois pontos de uma tabela

  Interpolar linearmente entre (x₀; y₀) e (x₁; y₁) é supor que a função é afim nesse trecho: y ≈ y₀ + (y₁ − y₀)(x − x₀)/(x₁ − x₀). Se a função verdadeira não é afim (√x, por exemplo), a interpolação erra — e a tabela sozinha não mostra quanto.

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma tabela traz √4 = 2 e √9 = 3. Interpolando linearmente, quanto se estima para √6? Qual o erro dessa estimativa?

  Modelo: Interpolação linear entre (x₀; √x₀) e (x₁; √x₁): y ≈ √x₀ + (√x₁ − √x₀)(x − x₀)/(x₁ − x₀) — supõe a função afim no trecho, o que √x não é.

  Dados — altere para recalcular

  x₀ x₁ x a estimar Restaurar os dados

  1. √4 = 2 e √9 = 3; taxa (3 − 2)/5 = 0,2.
  2. Estimativa: 2 + 0,2·2 = 2,4.
  3. Valor verdadeiro: √6 ≈ 2,4495; erro ≈ 0,0495.

  Resultado: Interpolação = 2,4; valor verdadeiro ≈ 2,449 (erro ≈ 0,049).

  Leitura crítica: Entre dois pontos a interpolação supõe uma função afim. Como √x não é afim (as taxas diminuem), a estimativa fica abaixo do valor verdadeiro entre os pontos. A tabela sozinha não mostra esse erro: é preciso saber algo sobre a função.