1ª série EM · Aberta
Varie a, b e c em f(x) = ax² + bx + c e observe a concavidade, a abertura, o corte no eixo y, o vértice e o eixo de simetria. Com a = 0 a função deixa de ser quadrática e o gráfico vira reta. Depois, fixe a e c e deixe só b variar: o vértice não anda em linha reta. Que curva é essa? Conjecture antes de ver; o programa tenta refutar a sua conjectura com três vértices não colineares ou com um vértice fora da curva proposta.
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Escolha a, h e k (ou arraste o vértice) e veja, ao mesmo tempo, a parábola-base y = ax² e a sua translação, a forma expandida com b = −2ah e c = ah² + k, o discriminante Δ = −4ak e uma tabela de valores simétricos em torno de h. Varie só k, depois só h, e descubra o que não muda: os invariantes de cada translação.
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Varie a, b e c e acompanhe Δ = b² − 4ac, a altura do vértice k = −Δ/(4a), o número de zeros, os zeros marcados e a forma fatorada. Com coeficientes decimais o computador calcula Δ com ruído de arredondamento: o experimento declara quando trata Δ como zero "dentro da precisão do cálculo". Na investigação guiada, julgue afirmações como "se Δ < 0, a parábola fica acima do eixo x" e veja o programa procurar contraexemplos.
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Escolha uma família — quadrática, afim, exponencial 2^x, cúbica x³ ou a enganadora g(x) = x² + 3 + m·sen(πx) —, o ponto inicial e o passo, e calcule as diferenças primeiras, segundas e terceiras. Para quadráticas, Δ² = 2ap² (teorema do Laboratório Virtual G). A enganadora coincide com x² + 3 em todo inteiro: com passo 1 a tabela é idêntica à de uma quadrática; com passo 0,5 a farsa aparece. A tabela sugere; não demonstra.
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A questão mobilizadora do tema, transformada em experimento. Escolha o comprimento de tela L, com ou sem muro, e arraste um ponto sobre o gráfico da área A(x) enquanto o retângulo é redesenhado em escala. O experimento mostra o modelo, o domínio, o vértice, o máximo e onde ele ocorre. Imponha um limite para x: quando o limite exclui o vértice, o máximo vai para a extremidade. Conjecture a proporção do retângulo ótimo e teste com vários L.
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Escolha uma relação — parábola em pé, parábola deitada y² = x, circunferência, y = √x, curvas definidas por partes, a reta x = 2 — ou posicione quatro pontos, e arraste uma reta vertical. Antes de testar, conjecture: é gráfico de função de x? Um contraexemplo basta para refutar: a vertical que corta duas vezes. Uma busca automática testa 241 verticais — e um caso construído de propósito mostra que não encontrar não prova.
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A questão mobilizadora do tema, transformada em experimento. Arraste o corte x e acompanhe, juntas, a planificação da folha com os quatro cortes, a caixa em perspectiva, o gráfico de V(x), a expressão e uma tabela em torno de x. Refine o passo da tabela (1; 0,1; 0,01; 0,001) e veja o intervalo em que ela sugere o máximo encolher — sem nunca demonstrá-lo. O valor exato só aparece, se você pedir, rotulado como resultado do Cálculo. Folhas de 30 cm e 12 cm testam a semelhança.
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Escolha a função — a caixa V(x) = x(20 − 2x)², a queda livre d(t) = 4,9t², y = 1/x ou y = x² — e arraste dois pontos sobre o gráfico. A secante, os degraus Δx e Δy e a taxa média, com unidades (cm³/cm, m/s), mudam juntos. Ligue a verificação de crescimento e encontre intervalos com taxa média positiva em que a função não é crescente: a caixa em [2, 4], y = x² em [−1, 2], y = 1/x em [−1, 1].
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Três séries de DADOS SIMULADOS, rotuladas assim, em barras ou linha. Mude onde começa o eixo vertical, onde ele termina, quais meses aparecem e a altura do gráfico. Registre a sua estimativa da variação percentual pela figura e só então mostre os números: a variação real, a variação que as alturas sugerem e o ângulo da linha na tela. A produção de 1000 para 1020 (+2%) pode parecer triplicar; vendas que crescem 60% podem parecer estáveis.
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Escolha a e b e arraste três pontos P, Q e R sobre a reta y = ax + b. As taxas P→Q, Q→R e P→R são sempre iguais a a: o invariante que caracteriza a função afim. Depois mude a razão entre as escalas dos eixos: a reta parece girar, ficando quase horizontal ou quase vertical, e o ângulo na tela muda — mas a taxa, lida nos números, não muda. Só com escalas iguais vale a = tg θ.
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Compare y = ax + b com y = ax. Escolha x e um fator k (dobrar, triplicar, metade, oposto) e veja, no mesmo gráfico, (kx; f(kx)) sobre a reta e (kx; k·f(x)), o que a regra de três prevê — geometricamente, a reta pela origem e por (x; f(x)). A diferença é sempre b(1 − k): só some com b = 0. O que é sempre proporcional numa função afim é a variação, Δy = a·Δx. Investigação guiada com as escalas termométricas e a mola.
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A questão mobilizadora do tema. Arraste a temperatura num termômetro com as escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin lado a lado e acompanhe, no gráfico da conversão escolhida, a reta y = x e o ponto fixo: −40 °C = −40 °F. Celsius e Kelvin nunca coincidem (a = 1, b ≠ 0); a identidade coincide em tudo (a = 1, b = 0). Componha Kelvin → Celsius → Fahrenheit (F = 1,8K − 459,67) e reflita a reta em y = x para ver a inversa — que tem os mesmos pontos fixos.
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Tabelas com x igualmente espaçados ou não — ou quatro pontos que você posiciona. Calcule as taxas entre pontos consecutivos (Δy dividido por Δx) e decida: uma função afim pode ter gerado os dados? Um único par com taxa diferente refuta. Taxas todas iguais são compatíveis com uma reta, mas não a confirmam: y = x + sen(πx) produz a tabela 0, 1, 2, 3 e não é afim, e para qualquer tabela existe uma função não afim que passa pelos mesmos pontos.
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No modelo hipotético do tema, a conta de água é R$ 30 até 10 m³, 30 + 4(v − 10) até 20 m³ e 70 + 7(v − 20) acima disso. Mude os limites das faixas, as taxas e a parte fixa e veja o gráfico por partes, a tabela e a expressão por sentenças. Antes de revelar, preveja em que trecho um consumo cai e quanto custa; depois inverta: dada a conta, qual foi o consumo — um, nenhum ou infinitos? Altere as fronteiras (≤ ou <, faixas que se sobrepõem ou deixam buraco) e verifique se a regra continua definindo uma função; desligue a emenda das constantes e veja aparecer um salto quando só a parte fixa muda.
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No modelo hipotético do tema, a renda é isenta até 2000, paga 10% sobre o que passa de 2000 (até 4000) e 20% sobre o que passa de 4000. Ajuste faixas e alíquotas e compare com um segundo modelo, também hipotético, em que a alíquota da faixa incide sobre toda a renda. Investigue a afirmação "mudar de faixa pode reduzir a renda líquida": preveja, calcule e só então peça a busca automática, que resolve as sentenças e encontra exatamente o intervalo de rendas em que ganhar mais deixa com menos — ou declara que ele não existe. Veja também a taxa efetiva I(x)/x aproximar-se da maior alíquota sem alcançá-la, e descubra a hipótese de que isso depende.
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Construa uma função com duas ou três sentenças afins (ou constantes): arraste os pontos de emenda e as alças das sentenças, ajuste as inclinações e escolha a quem pertence o ponto da emenda. O experimento mostra as bolinhas abertas e fechadas e mede cada salto. Investigue a conjectura "se cada parte é crescente, a função é crescente": o caso h(x) = x (x < 1), x − 5 (x ≥ 1), do tema, a refuta; um salto para cima não atrapalha; um salto para baixo, por menor que seja, sim. A verificação é exata e, quando a função não é crescente, devolve um par x₁ < x₂ com f(x₁) > f(x₂). Casos especiais: |x|, |x − 3| e o estacionamento hipotético P(t) = 5·⌈t⌉.
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Varie a₁, r e índice n; compare recorrência, tabela e pontos isolados. Ative opcionalmente a extensão afim identificada e explique por que índices fracionários não são termos da PA.
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Varie a₁, r e n; compare uma lista com a cópia inversa, segmentos com sinal e soma de cada coluna. Preveja a soma antes de revelar, investigue quantidade ímpar de termos e contribuições negativas.
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