Tarifa por faixas: em que trecho cai a conta — e qual foi o consumo?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Economia doméstica (modelo hipotético)

  Conta, trecho e preço médio do metro cúbico

  Em tarifas por faixas, quem consome mais paga mais por metro cúbico adicional (a taxa do trecho), mas o preço médio C(v)/v mistura todas as faixas, incluindo a parte fixa. A aplicação calcula a conta de um consumo identificando o trecho e compara a taxa marginal com o preço médio, no modelo hipotético.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): a conta de água é R$ 30 até 10 m³; de 10 a 20 m³, R$ 4 por m³ que passar de 10; acima de 20 m³, R$ 7 por m³ que passar de 20. Quanto paga quem consome 27 m³? Qual o preço médio do m³ e quanto custa cada m³ adicional?

  Modelo: C(v) = F (0 ≤ v ≤ L₁); F + t₂(v − L₁) (L₁ < v ≤ L₂); F + t₂(L₂ − L₁) + t₃(v − L₂) (v > L₂). Primeiro o trecho, depois a sentença. Preço médio C(v)/v; taxa marginal = inclinação do trecho.

  Dados — altere para recalcular

  Parte fixa F (R$) Limite da 1ª faixa L₁ (m³) Limite da 2ª faixa L₂ (m³) Taxa da 2ª faixa t₂ (R$/m³) Taxa da 3ª faixa t₃ (R$/m³) Consumo v (m³) Restaurar os dados

  1. Sentenças: 30, se 0 ≤ v ≤ 10; 30 + 4(v − 10), se 10 < v ≤ 20; 70 + 7(v − 20), se v > 20.
  2. v = 27 satisfaz v > 20: 3º trecho (só essa sentença vale).
  3. C(27) = 70 + 7·(27 − 20) = 119 reais.
  4. Preço médio: C(v)/v = 119/27 ≈ 4,407 R$/m³; taxa do trecho (m³ adicional): 7 R$/m³.

  Resultado: No modelo: conta de R$ 119 (3º trecho); preço médio ≈ 4,41 R$/m³; cada m³ adicional custa R$ 7.

  Leitura crítica: Modelo hipotético. O preço médio mistura a parte fixa e todas as faixas; a taxa do trecho é o que pesa na decisão de consumir um pouco mais ou menos. Usar a taxa da faixa em todo o consumo (7 × 27 = 189) ou a sentença de outro trecho são os erros mais comuns.

• Educação ambiental (modelo hipotético)

  Orçamento de água: inverter a função por partes

  Para economizar, uma família fixa quanto quer gastar e pergunta até quanto pode consumir. É a inversão de C: localizar em que trecho o orçamento está (comparando com C(L₁) e C(L₂)) e resolver só a sentença desse trecho. Abaixo da parte fixa não há consumo possível; exatamente na parte fixa, qualquer consumo do 1º trecho serve.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): com a mesma tarifa, uma família quer gastar no máximo R$ 112 por mês com água. Até quanto pode consumir? E se o orçamento fosse R$ 30, ou R$ 20?

  Modelo: C é não decrescente e sem saltos (emendada): C(v) ≤ B ⇔ v ≤ v*, com v* a solução de C(v) = B no trecho certo. Localiza-se o trecho comparando B com C(L₁) = F e C(L₂); abaixo de F não há consumo possível; em B = F, todo o 1º trecho serve.

  Dados — altere para recalcular

  Parte fixa F (R$) Limite da 1ª faixa L₁ (m³) Limite da 2ª faixa L₂ (m³) Taxa da 2ª faixa t₂ (R$/m³) Taxa da 3ª faixa t₃ (R$/m³) Orçamento B (R$) Restaurar os dados

  1. Valores nos limites: C(10) = 30 e C(20) = 70.
  2. 112 está acima de 70: 3º trecho.
  3. 70 + 7·(v − 20) = 112 ⇒ v = 20 + (112 − 70)/7 = 26 m³.

  Resultado: No modelo: com até R$ 112 a família pode consumir até 26 m³ por mês.

  Leitura crítica: Modelo hipotético. Inverter uma função por partes exige localizar o trecho antes de resolver: dividir o orçamento pela taxa mais alta (112/7 = 16) ignora as faixas. Como C não é injetiva no 1º trecho, a pergunta "qual foi o consumo?" para uma conta de R$ 30 não tem resposta única.