Função quadrática — Ensino Fundamental II e Ensino Médio — Laboratório Virtual G

Explorar

Manipule antes de formalizar

Questão mobilizadora

Com 40 metros de tela, quer-se cercar um terreno retangular encostado num muro (o muro dispensa tela num dos lados). Que medidas dão a maior área? E como ter certeza de que nenhuma outra escolha é melhor?

Experimento do MatLabG

Coeficientes da quadrática e o caminho do vértice

O que cada coeficiente faz com a parábola, e por onde anda o vértice quando só b varia?

2DInvestigação

Abrir no MatLabG

Prancheta 2D: coeficientes e vértice de f(x) = ax² + bx + c Plano cartesiano com malha. A parábola aparece em traço verde contínuo e espesso; o vértice V é um ponto de contorno vermelho, rotulado; o eixo de simetria é uma reta vertical pontilhada; o corte com o eixo y é um ponto verde rotulado com suas coordenadas. Com o rastro ligado, os vértices para b = −6, …, 6 aparecem como pontos cinzentos; uma curva-teste pode ser exibida em traço roxo, rotulada "curva-teste" até a revelação e, depois dela, com a sua equação. As leituras ao lado repetem em texto a expressão, o vértice, o eixo e a verificação do lugar geométrico.

Movimento:

Velocidade

Teclado

Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.

No experimento você manipula, conjectura e testa; nos outros modos, formaliza e demonstra. Uma observação no experimento é evidência, não prova.

Investigar

Conjecture, teste, justifique

Registre sua conjectura antes de seguir. O rascunho fica só neste navegador: nada é enviado.

Investigação 1

Por onde anda o vértice?

Fixe $a=1$ e $c=1$ e faça $b$ variar em $y=x^2+bx+1$ . Registre o vértice para $b=-4,-2,0,2,4$ . Os vértices parecem estar sobre uma curva? Formule uma conjectura sobre a equação dessa curva, teste-a com outros valores de $b$ (inclusive não inteiros) e procure provar: o vértice é $\left(-\tfrac b2,\,1-\tfrac{b^2}{4}\right)$ — elimine $b$ . O que muda se $a=2$ ? E se $c$ for outro? Generalize para $y=ax^2+bx+c$ .
Minha conjectura
Fica salva só neste navegador.

Depois de conjecturar: como continuar

Teste a conjectura com casos novos na prancheta de Explorar e confronte-a com a parte Investigar e generalizar, em Compreender. Um caso que contraria a conjectura vale mais que muitos que a confirmam.
Investigação 2

Quadrática ou não?

Em cada tabela com $x=0,1,2,3,4$ , decida se uma função quadrática pode tê-la gerado: (i) $y$ : 3, 4, 7, 12, 19; (ii) $y$ : 1, 2, 4, 8, 16; (iii) $y$ : 0, 1, 8, 27, 64. Use as diferenças. Para as que não são quadráticas, que padrão as diferenças mostram? Uma tabela de cinco valores pode decidir a questão com certeza?
Minha conjectura
Fica salva só neste navegador.

Depois de conjecturar: como continuar

Teste a conjectura com casos novos na prancheta de Explorar e confronte-a com a parte Investigar e generalizar, em Compreender. Um caso que contraria a conjectura vale mais que muitos que a confirmam.

Compreender

Do conceito à demonstração

8 partes, em sequência sugerida. Abra cada cartão quando quiser; as demonstrações ficam recolhidas.

1. Explorar: o cercado encostado no muro Observação

Chame de $x$ a medida (em metros) de cada um dos dois lados perpendiculares ao muro. A tela restante, $40-2x$ , forma o lado paralelo ao muro. A área é então $A(x)=x(40-2x)$ . Antes de qualquer fórmula, experimente valores:

$x$ (m)	$40-2x$ (m)	$A(x)$ (m²)
0	40	0
5	30	150
8	24	192
10	20	200
12	16	192
15	10	150
20	0	0

Dois fatos chamam a atenção: os valores sobem e depois descem, e se repetem aos pares ( $x=5$ e $x=15$ dão 150; $x=8$ e $x=12$ dão 192). Os pares estão à mesma distância de $x=10$ . Isso sugere — mas ainda não prova — que $x=10$ dá a maior área.

A área

A(x)=x(40-2x)

para

0\le x\le 20

. A simetria em torno de

x=10

vista na tabela aparece como simetria da curva.

ObservaçãoObservar não é demonstrar

A tabela testou sete valores. Nada nela impede que, digamos,

x=10{,}3

dê mais que 200. Na seção "Máximos e mínimos" a forma canônica prova que nenhum valor de

x

supera

x=10

.

2. A ideia: função quadrática Definição · Contraexemplo · Observação

DefiniçãoFunção quadrática

Uma função quadrática (ou polinomial do 2º grau) é uma função

f:\mathbb R\to\mathbb R

dada por

f(x)=ax^2+bx+c

, com

a

,

b

,

c

reais e

a\neq0

. Seu gráfico chama-se parábola.

A exigência $a\neq0$ não é detalhe: com $a=0$ sobra $bx+c$ , uma função afim, cujo gráfico é uma reta. A área do cercado é quadrática porque, expandindo, $A(x)=-2x^2+40x$ ( $a=-2$ , $b=40$ , $c=0$ ).

ContraexemploAparecer um quadrado não basta

A expressão

g(x)=(x+1)^2-x^2

contém quadrados, mas

g(x)=x^2+2x+1-x^2=2x+1

: é afim, não quadrática. Decidir exige simplificar até a forma

ax^2+bx+c

e verificar se

a\neq0

.

ObservaçãoDomínio do modelo

Como função,

A(x)=-2x^2+40x

está definida para todo real. Como modelo do cercado, só faz sentido para

0<x<20

: comprimentos são positivos. Toda conclusão sobre o cercado deve respeitar esse domínio.

3. A parábola mais simples: y = ax² Propriedade · Teorema · Atenção conceitual

Em $y=ax^2$ , $y$ é diretamente proporcional ao quadrado de $x$ : dobrar $x$ multiplica $y$ por 4; triplicar, por 9. É o caso que a BNCC destaca na conversão entre representações (EM13MAT402). Exemplo físico: na queda livre a partir do repouso, desprezada a resistência do ar, a distância percorrida é $d=\tfrac{g}{2}t^2$ .

y=x^2

,

y=0{,}5x^2

(tracejada) e

y=-x^2

(destaque). O sinal de

a

decide a concavidade;

|a|

maior fecha a parábola.

PropriedadePapel de a

Se

a>0

,

ax^2\ge0

e a parábola tem concavidade para cima, com ponto mais baixo na origem; se

a<0

, concavidade para baixo, com ponto mais alto na origem. Quanto maior

|a|

, mais depressa

|y|

cresce: a parábola fica mais "fechada".

TeoremaSimetria

O gráfico de

y=ax^2

é simétrico em relação ao eixo

y

.

Ver demonstração

Para todo

x

,

a(-x)^2=ax^2

: os pontos

(x,\,ax^2)

e

(-x,\,ax^2)

pertencem ambos ao gráfico e são simétricos em relação ao eixo

y

.

\blacksquare

TeoremaDiferenças segundas constantes

Seja

f(x)=ax^2+bx+c

e um passo

p>0

. As diferenças

\Delta_1(x)=f(x+p)-f(x)

formam uma progressão aritmética, e as diferenças segundas

\Delta_1(x+p)-\Delta_1(x)

valem sempre

2ap^2

.

Ver demonstração

f(x+p)-f(x)=a(2xp+p^2)+bp=2ap\,x+(ap^2+bp)

, que é afim em

x

. Logo

\Delta_1(x+p)-\Delta_1(x)=2ap\,(x+p)-2ap\,x=2ap^2

, constante.

\blacksquare

Com passo 1, a diferença segunda é

2a

; na tabela do cercado (passo 5 entre 0, 5, 10, 15, 20: áreas 0, 150, 200, 150, 0), as diferenças são 150, 50, −50, −150 e as segundas, −100

=2\cdot(-2)\cdot5^2

.

Atenção conceitualA recíproca precisa de cuidado

Uma tabela com

x

igualmente espaçado e diferenças segundas constantes e não nulas é compatível com uma função quadrática — mas a tabela mostra só alguns valores: outra função pode coincidir com eles e diferir entre eles. A tabela sugere o modelo; não o demonstra.

4. Forma canônica, vértice e eixo de simetria Teorema · Atenção conceitual

TeoremaForma canônica

Toda função quadrática se escreve como

f(x)=a(x-h)^2+k

, com

h=-\dfrac{b}{2a}

e

k=-\dfrac{\Delta}{4a}

, onde

\Delta=b^2-4ac

.

Ver demonstração

Como

a\neq0

,

f(x)=a\left(x^2+\tfrac ba x\right)+c

. Completando o quadrado,

x^2+\tfrac ba x=\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\tfrac{b^2}{4a^2}

. Então

f(x)=a\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\tfrac{b^2}{4a}+c=a\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\tfrac{b^2-4ac}{4a}

. Com

h=-\tfrac{b}{2a}

e

k=-\tfrac{\Delta}{4a}

,

f(x)=a(x-h)^2+k

.

\blacksquare

A forma canônica diz que o gráfico de $f$ é o de $y=ax^2$ transladado de $h$ na horizontal e de $k$ na vertical. O ponto $V(h,k)$ é o vértice e a reta $x=h$ é o eixo de simetria: $f(h+s)=as^2+k=f(h-s)$ para todo $s$ .

f(x)=x^2-6x+5=(x-3)^2-4

: a parábola

y=x^2

(tracejada) transladada 3 para a direita e 4 para baixo.

Exemplo resolvido Vértice de $f(x)=x^2-6x+5$ — em Resolver

Atenção conceitualO efeito de b não é uma translação

Variar

c

desloca a parábola verticalmente; variar

a

muda a abertura. Já variar

b

(com

a

e

c

fixos) move o vértice na diagonal, ao longo de uma curva — veja a investigação ao final. Por isso a forma canônica, com

h

e

k

separados, é mais transparente para descrever translações.

5. Zeros, discriminante e fatoração Teorema · Contraexemplo

TeoremaZeros da função quadrática

A equação

ax^2+bx+c=0

(

a\neq0

) tem duas raízes reais distintas se

\Delta>0

, uma raiz real (dupla) se

\Delta=0

e nenhuma raiz real se

\Delta<0

. Quando

\Delta\ge0

,

x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}

.

Ver demonstração

Pela forma canônica,

f(x)=0\iff a(x-h)^2=-k=\tfrac{\Delta}{4a}\iff (x-h)^2=\tfrac{\Delta}{4a^2}

. O lado esquerdo é um quadrado, logo

\ge0

; o direito tem o sinal de

\Delta

(pois

4a^2>0

). Se

\Delta<0

, não há solução real. Se

\Delta\ge0

,

x-h=\pm\tfrac{\sqrt\Delta}{2|a|}=\pm\tfrac{\sqrt\Delta}{2a}

(o

\pm

absorve o sinal de

a

), donde

x=-\tfrac{b}{2a}\pm\tfrac{\sqrt\Delta}{2a}

; as duas coincidem exatamente quando

\Delta=0

.

\blacksquare

Geometricamente: $k=-\Delta/(4a)$ é a altura do vértice. Com $a>0$ a parábola está voltada para cima; ela cruza o eixo $x$ se o vértice está abaixo dele ( $k<0$ , isto é, $\Delta>0$ ), toca-o se o vértice está sobre ele ( $\Delta=0$ ) e não o alcança se o vértice está acima ( $\Delta<0$ ). Com $a<0$ os papéis de "acima" e "abaixo" se invertem — e as conclusões sobre $\Delta$ continuam as mesmas.

TeoremaForma fatorada; soma e produto

Se

x_1

e

x_2

são as raízes (iguais quando

\Delta=0

), então

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

,

x_1+x_2=-\dfrac ba

e

x_1x_2=\dfrac ca

.

Ver demonstração

Somando as raízes da fórmula, os termos

\pm\sqrt\Delta

se cancelam:

x_1+x_2=-\tfrac{2b}{2a}=-\tfrac ba

. Multiplicando,

x_1x_2=\tfrac{b^2-\Delta}{4a^2}=\tfrac{4ac}{4a^2}=\tfrac ca

. Então

a(x-x_1)(x-x_2)=a\left[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\right]=ax^2+bx+c

.

\blacksquare

Contraexemplo"Δ negativo: a parábola fica acima do eixo"?

Falso em geral.

f(x)=-x^2-1

tem

\Delta=0-4\cdot(-1)\cdot(-1)=-4<0

e fica abaixo do eixo

x

(

f(x)\le-1

). O que

\Delta<0

garante é que não há zeros reais: a parábola fica toda de um lado do eixo — o lado dado pelo sinal de

a

.

Onde está o erro? Dividir por x — em Resolver

Onde está o erro? Raiz quadrada de um lado só — em Resolver

6. Máximos e mínimos Teorema · Atenção conceitual

TeoremaValor extremo

Se

a>0

,

f

tem valor mínimo

k

, atingido só em

x=h

; se

a<0

,

f

tem valor máximo

k

, atingido só em

x=h

.

Ver demonstração

f(x)-k=a(x-h)^2

. Como

(x-h)^2\ge0

, com igualdade só em

x=h

: se

a>0

,

f(x)\ge k

para todo

x

, com igualdade só em

h

; se

a<0

,

f(x)\le k

, com igualdade só em

h

.

\blacksquare

Exemplo resolvido O cercado, agora com certeza — em Resolver

Atenção conceitualO vértice pode estar fora do domínio

Se o modelo só vale num intervalo e

h

está fora dele, o extremo no intervalo ocorre numa extremidade, não no vértice. Exemplo: com no máximo 8 m disponíveis para cada lado perpendicular (

0<x\le8

), a maior área do cercado é

A(8)=192

m², pois

A

cresce em todo o intervalo

x<10

.

7. Modelagem: lançamento vertical

Situação. Uma bola é lançada verticalmente para cima. Pergunta. Qual a altura máxima e quando ela é atingida? Hipóteses. Resistência do ar desprezível; aceleração da gravidade constante, $g\approx9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ ; altura inicial $h_0$ e velocidade inicial $v_0$ conhecidas. Modelo (cinemática do movimento uniformemente variado): $h(t)=h_0+v_0t-\tfrac g2t^2$ .

Matemática. $h$ é quadrática em $t$ , com $a=-g/2<0$ : há máximo em $t^*=-\tfrac{v_0}{2(-g/2)}=\tfrac{v_0}{g}$ , e $h(t^*)=h_0+\tfrac{v_0^2}{2g}$ . Interpretação. Dobrar $v_0$ quadruplica o ganho de altura $v_0^2/(2g)$ . Validação e limites. Para objetos leves ou velocidades altas, a resistência do ar reduz a altura de modo apreciável e o modelo superestima o resultado; o modelo também deixa de valer quando a bola toca o chão ( $h(t)=0$ define o fim do domínio).

Onde está o erro? Gráfico não é trajetória — em Resolver

8. Investigar e generalizar Nota histórica

Investigação Por onde anda o vértice? — em Investigar

Investigação Quadrática ou não? — em Investigar

Nota históricaUma ideia antiga

Problemas equivalentes a equações do 2º grau aparecem em tabletes babilônicos do início do II milênio a.C., resolvidos por um procedimento geométrico de "completar o quadrado" (Høyrup, 2002). No século IX, al-Khwarizmi justificou geometricamente regras para casos como "quadrados e raízes igual a números" (Boyer; Merzbach, 2012). A notação

ax^2+bx+c

e a fórmula geral com

\pm\sqrt\Delta

são muito posteriores; no Brasil a fórmula costuma ser chamada "de Bhaskara", nome pouco usado em outros países.

Experimentar

Experimentos no MatLabG

Cada experimento investiga o tema por uma entrada diferente. De lá, “Voltar ao tema” traz você de volta a esta página.

Deste tema

Experimento 1 · embutido em Explorar

Coeficientes da quadrática e o caminho do vértice

O que cada coeficiente faz com a parábola, e por onde anda o vértice quando só b varia?

2DInvestigação
Experimento 2

Forma canônica e forma expandida: a mesma curva

Como a forma a(x − h)² + k e a forma ax² + bx + c descrevem a mesma curva — e o que cada uma revela ou esconde?

2D
Experimento 3

Discriminante e zeros: o que Δ diz e o que não diz

O que o discriminante diz sobre a posição da parábola em relação ao eixo x — e o que ele não diz?

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Experimento 4

Diferenças finitas: reconhecer uma quadrática numa tabela

Como reconhecer uma relação quadrática numa tabela — e até onde a tabela pode decidir?

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Experimento 5

O cercado de área máxima: modelar, maximizar, respeitar o domínio

Com L metros de tela, que retângulo cerca a maior área — com um muro dispensando um lado, ou sem muro? E se houver um limite para um dos lados?

2DInvestigação

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Teoria e experimentação: explorar todos os vínculos

Resolver

Aprender com resoluções

Leia cada resolução como ideia → estratégia → desenvolvimento → interpretação. Nos erros, pense antes de abrir a análise.

Exemplos resolvidos

Exemplo resolvidoVértice de $f(x)=x^2-6x+5$

Escreva

f

na forma canônica e dê o vértice e o eixo de simetria.

Ideiacompletar o quadrado em $x^2-6x$ , cuja "metade do coeficiente de $x$ " é $-3$ .
$x^2-6x=(x-3)^2-9$ , logo $f(x)=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$ .
Vértice $V(3,-4)$ ; eixo $x=3$ . Conferência pelas fórmulas: $h=-\tfrac{-6}{2}=3$ , $\Delta=36-20=16$ , $k=-\tfrac{16}{4}=-4$ .

Da parte Forma canônica, vértice e eixo de simetria.

Exemplo resolvidoO cercado, agora com certeza

Prove que

x=10

dá a maior área do cercado e calcule-a.

$A(x)=-2x^2+40x$ , com $a=-2<0$ : há máximo no vértice.
$h=-\tfrac{40}{2\cdot(-2)}=10$ e $A(10)=10\cdot20=200$ . Em forma canônica, $A(x)=-2(x-10)^2+200$ .
Para qualquer $x\neq10$ , $-2(x-10)^2<0$ e $A(x)<200$ . Como $10$ está no domínio do modelo ( $0<x<20$ ), a resposta é: lados perpendiculares de 10 m, lado paralelo de 20 m, área máxima de 200 m².

Da parte Máximos e mínimos.

Onde está o erro?

Onde está o erro?Dividir por x

"Para resolver $x^2=5x$ , divido os dois lados por $x$ e obtenho $x=5$ ."

Pergunta: A equação tem só essa solução? O que a divisão pressupôs?

Depois de pensar, compare com a análise

Dividir por

x

só é permitido se

x\neq0

— e

x=0

é justamente outra solução (

0^2=5\cdot0

). O caminho seguro é fatorar:

x^2-5x=x(x-5)=0

, logo

x=0

ou

x=5

. A divisão perdeu uma raiz.

Onde está o erro?Raiz quadrada de um lado só

" $x^2=9$ , então $x=3$ ."

Pergunta: Todo número cujo quadrado é 9 é igual a 3?

Depois de pensar, compare com a análise

(-3)^2=9

também. De

x^2=9

segue

|x|=3

, isto é,

x=3

ou

x=-3

. O símbolo

\sqrt9

denota só a raiz não negativa, 3; a equação tem duas soluções.

Onde está o erro?Gráfico não é trajetória

"O gráfico de $h(t)$ é uma parábola, então a bola descreve uma parábola no ar."

Pergunta: Lançada verticalmente, para onde a bola se move? O que está no eixo horizontal do gráfico?

Depois de pensar, compare com a análise

A bola sobe e desce na mesma vertical: sua trajetória é um segmento de reta. A parábola está no plano

(t,h)

— tempo × altura —, não no espaço físico. (No lançamento oblíquo, sob as mesmas hipóteses, a trajetória no espaço também é parabólica, mas por outro motivo: a posição horizontal varia linearmente com o tempo.)

Desafiar-se

Suba os degraus

15 atividades autorais, do reconhecimento ao desafio. Responda primeiro: o retorno comenta a sua resposta (nada é enviado para fora do navegador). A solução comentada fica recolhida.

Respostas adequadas neste navegador: 0 de 15

Degrau 1 de 8
Atividade 1
A ideia: função quadrática

Qual das funções é quadrática?

Escolha uma opção $f(x)=(x+1)^2-x^2$ $g(x)=3-2x^2$ $h(x)=x^3-x^2$ $k(x)=\dfrac{1}{x^2}$
Solução comentada
1. Ideiareduzir cada expressão à forma $ax^2+bx+c$ , se possível.
2. $f(x)=2x+1$ (afim); $g(x)=-2x^2+3$ (quadrática, $a=-2$ ); $h$ tem grau 3; $k$ não é polinômio.
Resposta: $g$ .
Atividade 2
A parábola mais simples: y = ax²

Em $y=-0{,}5x^2$ , a parábola tem concavidade para cima ou para baixo? E é mais aberta ou mais fechada que $y=x^2$ ?

Escolha uma opção Para cima e mais fechada Para baixo e mais aberta Para baixo e mais fechada
Solução comentada
1. Concavidade: sinal de $a$ ; $a=-0{,}5<0$ → para baixo.
2. Abertura: $|a|=0{,}5<1$ → $|y|$ cresce mais devagar que em $y=x^2$ → mais aberta.
Resposta: Para baixo e mais aberta.
Degrau 2 de 8
Atividade 3
A parábola mais simples: y = ax²

A parábola $y=ax^2$ passa pelo ponto $(2,\,6)$ . Quanto vale $a$ ?

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Ideiao ponto pertence ao gráfico, logo satisfaz a equação.
2. $6=a\cdot2^2=4a\Rightarrow a=\tfrac64=1{,}5$ .
Resposta: $a=1{,}5$ .
Atividade 4
Forma canônica, vértice e eixo de simetria

Qual é a ordenada $k$ do vértice de $f(x)=x^2-8x+11$ ?

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Estratégiacompletar o quadrado.
2. $x^2-8x=(x-4)^2-16$ , então $f(x)=(x-4)^2-5$ .
3. Vértice $(4,-5)$ ; $k=-5$ . Pela fórmula: $\Delta=64-44=20$ , $k=-20/4=-5$ .
Resposta: $k=-5$ .
Atividade 5
Forma canônica, vértice e eixo de simetria

O gráfico de $g$ é o de $y=x^2$ transladado 2 unidades para a direita e 3 para cima. Escreva $g(x)$ na forma $ax^2+bx+c$ e dê o valor de $b$ .

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Translação: vértice vai de $(0,0)$ para $(2,3)$ , então $g(x)=(x-2)^2+3$ .
2. Expandindo: $x^2-4x+4+3=x^2-4x+7$ ; $b=-4$ e $c=7$ .
Resposta: $g(x)=x^2-4x+7$ ; $b=-4$ .
Degrau 3 de 8
Atividade 6
Zeros, discriminante e fatoração

Resolva $2x^2-8x+6=0$ e informe a maior raiz.

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Estratégia 1: dividir por 2: $x^2-4x+3=0$ , isto é, $(x-1)(x-3)=0$ .
2. Estratégia 2: $\Delta=64-48=16$ ; $x=\tfrac{8\pm4}{4}$ , isto é, $x=3$ ou $x=1$ .
3. Interpretaçãoa parábola $y=2x^2-8x+6$ corta o eixo $x$ em 1 e 3; o vértice está no meio, em $x=2$ .
Resposta: $x=1$ ou $x=3$ ; a maior é 3.
Atividade 7
Zeros, discriminante e fatoração

Quantas raízes reais tem $3x^2-2x+1=0$ ?

Escolha uma opção Nenhuma Uma Duas
Solução comentada
1. $\Delta=b^2-4ac=4-12=-8$ .
2. $\Delta<0$ : nenhuma raiz real.
Resposta: Nenhuma raiz real.
Degrau 4 de 8
Atividade 11
Máximos e mínimos

Com 60 m de tela e um muro dispensando um dos lados, qual a maior área retangular que se pode cercar (em m²)?

Sua resposta (número)
Solução comentada
Comparar estratégias

Estratégia 1

Modelo: $A(x)=x(60-2x)=-2x^2+60x$ , $0<x<30$ .
$a<0$ : máximo em $h=-\tfrac{60}{-4}=15$ , dentro do domínio.
$A(15)=15\cdot30=450$ m².

Estratégia 2

Os zeros de $A$ são 0 e 30; por simetria o vértice está no ponto médio, $x=15$ .
Resposta: 450 m² (lados de 15 m e 30 m).
Atividade 13
Modelagem: lançamento vertical

Sob as hipóteses do modelo da seção anterior ( $g=9{,}8$ m/s²), uma bola é lançada verticalmente de 1,5 m de altura com velocidade de 14 m/s. Qual a altura máxima, em metros?

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Modelo: $h(t)=1{,}5+14t-4{,}9t^2$ .
2. Vértice: $t^*=\tfrac{14}{9{,}8}\approx1{,}43$ s.
3. $h_{\max}=1{,}5+\tfrac{14^2}{2\cdot9{,}8}=1{,}5+10=11{,}5$ m.
Resposta: 11,5 m.
Degrau 5 de 8
Atividade 15
Investigar e generalizar

A tabela vem de uma função quadrática: $x$ : 0, 1, 2, 3, 4; $y$ : 3, 4, 7, 12, 19. Qual o valor de $a$ ?

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Diferenças primeiras: 1, 3, 5, 7. Segundas: 2, 2, 2.
2. Pelo teorema, com passo 1 a diferença segunda é $2a$ : $a=1$ .
3. $c=f(0)=3$ e $f(1)=1+b+3=4\Rightarrow b=0$ . Conferência: $f(4)=16+3=19$ .
Resposta: $a=1$ ( $f(x)=x^2+3$ ).
Atividade 8
Zeros, discriminante e fatoração

Para que valor de $c$ a parábola $y=x^2-4x+c$ toca o eixo $x$ em um único ponto?

Sua resposta (número)
Solução comentada
Comparar estratégias

Estratégia 1

Toque em um único ponto ⇔ raiz dupla ⇔ $\Delta=0$ .
$16-4c=0\Rightarrow c=4$ ; então $y=(x-2)^2$ .

Estratégia 2

Vértice em $x=2$ ; tocar o eixo significa $k=f(2)=4-8+c=0$ , logo $c=4$ .
Resposta: $c=4$ .
Degrau 6 de 8
Atividade 14
Modelagem: lançamento vertical

Modelo hipotético (não são dados reais): uma cooperativa supõe que, ao preço de $p$ reais, vende $q=200-4p$ unidades por dia ( $0<p<50$ ). Qual preço maximiza a receita $R=p\cdot q$ ?

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Modelo: $R(p)=p(200-4p)=-4p^2+200p$ , com $0<p<50$ .
2. $a=-4<0$ : máximo em $p=-\tfrac{200}{-8}=25$ , dentro do domínio.
3. $R(25)=25\cdot100=2500$ . Limite do modelo: a relação $q=200-4p$ é uma hipótese; na prática precisaria ser estimada com dados e validada.
Resposta: R$ 25,00 (receita de R$ 2.500,00 por dia, no modelo).
Degrau 7 de 8
Atividade 9
Zeros, discriminante e fatoração

Afirmação: "se $a$ e $c$ têm sinais opostos, $ax^2+bx+c=0$ tem duas raízes reais distintas, qualquer que seja $b$ ". Ela é:

Escolha uma opção Sempre verdadeira Verdadeira só se b ≠ 0 Falsa
Solução comentada
1. Ideiaolhar o sinal de $\Delta$ .
2. $ac<0\Rightarrow-4ac>0$ ; $b^2\ge0$ ; logo $\Delta=b^2+(-4ac)>0$ .
3. Outra leitura: o produto das raízes é $c/a<0$ , o que só é possível com duas raízes reais de sinais opostos.
Resposta: Sempre verdadeira.
Atividade 10
Zeros, discriminante e fatoração

Ana diz: "se $\Delta<0$ , a parábola fica inteira acima do eixo $x$ ". Que avaliação é correta?

Escolha uma opção Correta: sem raízes, a parábola não desce até o eixo Incompleta: fica de um só lado do eixo, decidido pelo sinal de a Errada: com Δ < 0 a parábola cruza o eixo
Solução comentada
1. $\Delta<0$ : sem zeros reais, logo $f$ tem sinal constante.
2. O sinal é o de $a$ (pois $f(x)=a[(x-h)^2-\Delta/(4a^2)]$ e o colchete é positivo). Contraexemplo à frase: $-x^2-1$ .
Resposta: Incompleta: depende do sinal de a.
Degrau 8 de 8
Atividade 12
Máximos e mínimos

Um retângulo tem dois lados sobre os catetos de um triângulo retângulo de catetos 6 e 8, e o vértice oposto sobre a hipotenusa. Qual a maior área possível do retângulo?

Sua resposta (número)
Solução comentada
1. Ideiaexpressar a área em função de uma só variável.
2. Hipotenusa: $y=8-\tfrac43x$ . Área $A(x)=x\left(8-\tfrac43x\right)=-\tfrac43x^2+8x$ , $0<x<6$ .
3. Vértice em $x=-\tfrac{8}{2\cdot(-4/3)}=3$ ; $A(3)=3\cdot4=12$ .
4. Generalização: com catetos $m$ e $n$ , $A(x)=x\,n(1-x/m)$ , máximo em $x=m/2$ , com área $mn/4$ — metade da área do triângulo.
Resposta: 12 (base 3, altura 4).

Aplicar

O tema fora da sala

Aplicações resolvidas das conexões dos experimentos: situação, modelo, cálculo passo a passo e leitura crítica. Mude os dados para recalcular.

Coeficientes da quadrática e o caminho do vértice

Física Lançamento vertical: a velocidade inicial é o coeficiente b

Desprezada a resistência do ar e com g constante, a altura de um objeto lançado verticalmente é h(t) = h₀ + v₀t − (g/2)t²: a = −g/2, b = v₀ e c = h₀. Mudar só a velocidade de lançamento é mudar só b — e o ponto mais alto (t* = v₀/g; h₀ + v₀²/(2g)) percorre a parábola h = h₀ + (g/2)t², que é exatamente y = c − a·x².

Como usar: aplicação resolvida

Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir de 1,5 m de altura, com velocidade de 14 m/s. Qual a altura máxima e quando ela ocorre? Se só a velocidade de lançamento mudar, por onde anda o ponto mais alto?

Modelo: h(t) = h₀ + v₀t − (g/2)t² (resistência do ar desprezível, g constante): a = −g/2, b = v₀, c = h₀. Vértice: t* = v₀/g, H = h₀ + v₀²/(2g). Com a e c fixos, o vértice está sobre h = c − a·t² = h₀ + (g/2)t².

Dados — altere para recalcular Altura inicial h₀ (m) Velocidade inicial v₀ (m/s) Aceleração da gravidade g (m/s²)

Coeficientes: a = −g/2 = −4,9, b = v₀ = 14, c = h₀ = 1,5.
t* = −b/(2a) = v₀/g = 14/9,8 ≈ 1,429 s.
H = h₀ + v₀²/(2g) = 1,5 + 196/19,6 = 11,5 m.
Lugar dos vértices: c − a·t*² = 1,5 + 4,9·(1,429)² = 11,5 m — o mesmo H: o vértice está sobre h = h₀ + (g/2)t².

Resultado: Altura máxima = 11,5 m, atingida em t ≈ 1,43 s.

Leitura crítica: Mudar só v₀ é mudar só b: o ponto mais alto desliza sobre a parábola h = h₀ + (g/2)t², de concavidade oposta à de h(t). Dobrar v₀ dobra t* e quadruplica o ganho v₀²/(2g). Com resistência do ar apreciável (objetos leves, velocidades altas), o modelo superestima a altura.

Economia (modelo hipotético) Receita com demanda linear: o preço ótimo anda sobre uma parábola

Modelo hipotético, não são dados reais: se ao preço p se vendem q = q₀ − βp unidades, a receita é R(p) = −βp² + q₀p (a = −β, b = q₀, c = 0). Se só a demanda máxima q₀ muda, o par (preço ótimo; receita máxima) = (q₀/(2β); q₀²/(4β)) percorre R = βp² — de novo y = c − a·x².

Como usar: aplicação resolvida

Modelo hipotético (não são dados reais): uma cooperativa supõe que, ao preço p (R$), vende q = q₀ − βp unidades por dia. Qual preço maximiza a receita, e como o ótimo se desloca se a demanda máxima q₀ mudar?

Modelo: R(p) = p(q₀ − βp) = −βp² + q₀p (a = −β, b = q₀, c = 0). Vértice: p* = q₀/(2β), R* = q₀²/(4β). Mudando só q₀ (só b), o vértice percorre R = βp² (y = c − a·x²).

Dados — altere para recalcular Demanda máxima q₀ (unid./dia) Nova demanda máxima q₀′ (unid./dia) Sensibilidade ao preço β (unid. por R$)

R(p) = −4p² + 200p; p* = q₀/(2β) = 200/8 = 25.
R* = q₀²/(4β) = 40000/16 = 2500.
Com q₀′ = 240: p* = 30 e R* = 3600.
Os dois ótimos satisfazem R = βp²: 4·(25)² = 2500 e 4·(30)² = 3600.

Resultado: No modelo: preço ótimo R$ 25 (receita R$ 2500 por dia); com q₀′, R$ 30 (receita R$ 3600).

Leitura crítica: Todos os ótimos estão sobre R = βp²: aumentar a demanda máxima eleva o preço ótimo e a receita ao longo de uma parábola. A conclusão depende inteiramente da hipótese de demanda linear, que é inventada aqui; em uma situação real ela precisaria ser estimada com dados e validada.

Forma canônica e forma expandida: a mesma curva

Física Ler o lançamento pelo vértice

Sob as hipóteses do lançamento vertical (sem resistência do ar, g constante), h(t) = −(g/2)(t − t*)² + H: o vértice (t*; H) é o instante e a altura máximos. Da forma canônica volta-se à expandida e obtêm-se a velocidade inicial v₀ = g·t* e a altura inicial h₀ = H − (g/2)t*².

Como usar: aplicação resolvida

Num vídeo, uma bola lançada verticalmente atinge a altura máxima de 11,5 m no instante 1,5 s. Com que velocidade e de que altura ela foi lançada?

Modelo: Forma canônica do lançamento (sem resistência do ar, g constante): h(t) = −(g/2)(t − t*)² + H. Expandindo: h(t) = −(g/2)t² + g·t*·t + (H − (g/2)t*²), logo v₀ = g·t* e h₀ = H − (g/2)t*².

Dados — altere para recalcular Altura máxima H (m) Instante da altura máxima t* (s) Aceleração da gravidade g (m/s²)

h(t) = −4,9(t − 1,5)² + 11,5.
b = −2·a·t* = 2·4,9·1,5 = 14,7: v₀ = 14,7 m/s.
c = a·t*² + H = −4,9·2,25 + 11,5 = 0,475: h₀ = 0,475 m.

Resultado: Lançada a = 14,7 m/s de ≈ 0,47 m de altura.

Leitura crítica: A forma canônica lê o vértice diretamente; a expandida dá v₀ e h₀. Erros de leitura de t* pesam muito: h₀ depende de t*². A resistência do ar faz a altura máxima real ser menor que a do modelo.

Arquitetura e engenharia Arco parabólico pelo vão e pela flecha

Um arco parabólico de vão V e flecha (altura no meio) F tem vértice (V/2; F) e passa por (0; 0): y = −(4F/V²)(x − V/2)² + F. A forma canônica dá a altura em qualquer ponto do vão. A parábola é a forma de equilíbrio de um cabo sob carga uniformemente distribuída na horizontal; arcos reais podem seguir outras curvas (a catenária, por exemplo).

Como usar: aplicação resolvida

Um arco parabólico de vão 40 m tem flecha (altura no meio) de 10 m. Qual a altura do arco a 10 m de um dos apoios?

Modelo: Vértice (V/2; F) e apoios em (0; 0) e (V; 0): y = −(4F/V²)(x − V/2)² + F = 4F·x(V − x)/V², para 0 ≤ x ≤ V.

Dados — altere para recalcular Vão V (m) Flecha F (m) Distância ao apoio x (m)

a = −4F/V² = −4·10/1600 = −0,025.
y = −0,025·(10 − 20)² + 10 = 7,5 m.
Conferência na forma fatorada: 4F·x(V − x)/V² = 4·10·10·30/1600 = 7,5 m.

Resultado: Altura = 7,5 m a 10 m do apoio.

Leitura crítica: A um quarto do vão, a altura é 3/4 da flecha, qualquer que seja o arco parabólico. Arcos reais podem seguir outras curvas (a catenária é a forma de um cabo sob o próprio peso); a parábola é exata para carga uniformemente distribuída na horizontal.

História da matemática Completar o quadrado em tabletes babilônicos

Problemas do tipo "a área do quadrado somada ao seu lado dá 3/4" aparecem em tabletes paleobabilônicos e eram resolvidos completando, geometricamente, um quadrado (Høyrup, 2002) — a mesma ideia que leva de ax² + bx + c à forma canônica.

Como usar: aplicação resolvida

Um problema do tipo dos tabletes paleobabilônicos: "a área de um quadrado somada a b vezes o seu lado dá c". Quanto mede o lado? (Com b = 1 e c = 3/4.)

Modelo: x² + bx = c. Completar o quadrado: (x + b/2)² = c + (b/2)², logo x = √(c + (b/2)²) − b/2 (o lado é positivo).

Dados — altere para recalcular Coeficiente do lado b Total c

Metade do coeficiente: b/2 = 0,5; acrescentar o quadrado (b/2)² = 0,25 aos dois lados.
(x + 0,5)² = 0,75 + 0,25 = 1.
x + 0,5 = √1 = 1; x = 0,5.
Conferência: x² + bx = 0,75.

Resultado: Lado = 0,5.

Leitura crítica: O procedimento é o do completamento de quadrado que leva à forma canônica: a(x − h)² + k. Os escribas trabalhavam com figuras e com números positivos; a raiz negativa da equação, −√(c + (b/2)²) − b/2, não corresponde a um lado.

Discriminante e zeros: o que Δ diz e o que não diz

Física A bola alcança a altura H? Quantas vezes?

No lançamento vertical (sem resistência do ar, g constante), alcançar a altura H é resolver h₀ + v₀t − (g/2)t² = H. O discriminante v₀² − 2g(H − h₀) decide: negativo, a bola nunca chega a H; zero, chega exatamente no ponto mais alto; positivo, passa por H duas vezes — subindo e descendo.

Como usar: aplicação resolvida

Uma bola é lançada verticalmente de 1,5 m de altura a 14 m/s. Ela alcança 8 m de altura? Em que instantes?

Modelo: h₀ + v₀t − (g/2)t² = H ⇔ −(g/2)t² + v₀t + (h₀ − H) = 0. Δ = v₀² − 2g(H − h₀). Só instantes t ≥ 0 pertencem ao domínio do modelo.

Dados — altere para recalcular Altura inicial h₀ (m) Velocidade inicial v₀ (m/s) Altura desejada H (m) Aceleração da gravidade g (m/s²)

−4,9t² + 14t + (−6,5) = 0.
Δ = 14² − 4·(−4,9)·(−6,5) = 68,6.
Raízes: t ≈ 0,583 e t ≈ 2,274 s.

Resultado: Passa por 8 m duas vezes: subindo, em t ≈ 0,58 s, e descendo, em t ≈ 2,27 s.

Leitura crítica: O sinal de Δ responde à pergunta "alcança?" antes de qualquer gráfico. O modelo ignora a resistência do ar e vale só enquanto a bola não toca o chão.

Economia (modelo hipotético) Existe preço que cubra o custo fixo?

Modelo hipotético, não são dados reais: com demanda q = q₀ − βp e custo fixo C, o resultado é L(p) = −βp² + q₀p − C. O discriminante q₀² − 4βC decide se há preço com resultado não negativo; os zeros são os preços de equilíbrio (lucro zero).

Como usar: aplicação resolvida

Modelo hipotético (não são dados reais): com demanda q = q₀ − βp e custo fixo diário C, existe algum preço que cubra o custo fixo? Entre que preços o resultado é não negativo?

Modelo: L(p) = p(q₀ − βp) − C = −βp² + q₀p − C, para 0 < p < q₀/β. Δ = q₀² − 4βC: Δ < 0, nenhum preço cobre C; Δ ≥ 0, os zeros são os preços de equilíbrio.

Dados — altere para recalcular Demanda máxima q₀ (unid./dia) Sensibilidade ao preço β (unid. por R$) Custo fixo diário C (R$)

L(p) = −4p² + 200p − 1800.
Δ = 200² − 4·4·1800 = 11200.
Zeros: p ≈ 11,77 e p ≈ 38,23 (ambos no intervalo 0 ≤ p ≤ q₀/β = 50).

Resultado: No modelo, o resultado é não negativo para preços entre R$ 11,77 e R$ 38,23.

Leitura crítica: O discriminante decide a existência antes do cálculo dos preços. Custos variáveis, concorrência e a validade da demanda linear ficaram de fora: o resultado é um exercício de modelagem, não uma recomendação.

Diferenças finitas: reconhecer uma quadrática numa tabela

Computação Tabular uma quadrática só com somas

Como Δ² = 2ap² é constante, os valores de uma quadrática em pontos igualmente espaçados podem ser gerados apenas com adições: y ← y + Δ¹ e Δ¹ ← Δ¹ + 2ap². É o método das diferenças, usado para tabular polinômios sem multiplicações. Em ponto flutuante, as somas acumulam erros de arredondamento, que a aplicação mede.

Como usar: aplicação resolvida

Tabular f(x) = x² + 3 a partir de x = 0, com passo 1, usando apenas somas. Depois de n passos, o valor acumulado confere com o cálculo direto?

Modelo: Δ² = 2ap² é constante. Começando com y = f(x₀) e Δ¹ = f(x₀ + p) − f(x₀): a cada passo, y ← y + Δ¹ e Δ¹ ← Δ¹ + 2ap².

Dados — altere para recalcular a b c x₀ Passo p Número de passos n

Início: y = f(0) = 3; Δ¹ = f(1) − f(0) = 1; Δ² = 2ap² = 2.
10 passos de duas somas cada (20 adições, nenhuma multiplicação).
Valor acumulado: y = 103. Cálculo direto: f(10) = 103.
Diferença: 0 (os dois cálculos coincidem exatamente).

Resultado: f(10) = 103, obtido só com somas.

Leitura crítica: Com números inteiros as somas são exatas; com decimais, cada soma em ponto flutuante arredonda, e o erro pode crescer com o número de passos. Por isso tabelas longas calculadas por somas são recalibradas de tempos em tempos com um valor calculado diretamente.

Física Queda livre em intervalos iguais

Na queda livre a partir do repouso, desprezada a resistência do ar, d(t) = (g/2)t². Em intervalos iguais de duração p, as distâncias percorridas em cada intervalo (as diferenças primeiras) crescem na proporção 1 : 3 : 5 : 7 …, e a diferença segunda é g·p² — constante, como prevê o teorema.

Como usar: aplicação resolvida

Uma pedra cai a partir do repouso. Quanto ela percorre em cada intervalo de 0,5 s? As diferenças segundas são constantes?

Modelo: Queda livre sem resistência do ar: d(t) = (g/2)t². No i-ésimo intervalo de duração p, percorre (g/2)p²(2i − 1); a diferença segunda é g·p².

Dados — altere para recalcular Aceleração da gravidade g (m/s²) Duração de cada intervalo p (s) Número de intervalos

Posições: d(0) = 0; d(0,5) = 1,225; d(1) = 4,9; d(1,5) = 11,025; d(2) = 19,6 m.
Distâncias em cada intervalo (Δ¹): 1,225; 3,675; 6,125; 8,575 m.
Razões em relação ao 1º intervalo: 1 : 3 : 5 : 7.
Diferença segunda: Δ² = 2,45 m; g·p² = 9,8·(0,5)² = 2,45 m.

Resultado: No 4º intervalo a pedra percorre = 8,575 m; em 2 s, = 19,6 m no total.

Leitura crítica: As distâncias em intervalos iguais crescem como os ímpares 1 : 3 : 5 : 7 …, e a diferença segunda é constante — a marca de uma relação quadrática com o tempo. A resistência do ar quebra esse padrão em quedas longas ou com objetos leves.

O cercado de área máxima: modelar, maximizar, respeitar o domínio

Agronomia e planejamento de área Piquete encostado numa cerca existente

Um piquete retangular encostado numa cerca já existente economiza tela num lado. Com orçamento B e tela a P por metro, L = B/P e, se nenhum limite de terreno excluir o vértice, a maior área é L²/8, com o lado paralelo igual ao dobro do perpendicular. Um limite de terreno pode deslocar o ótimo para a extremidade.

Como usar: aplicação resolvida

Um produtor tem R$ 1.200,00 para comprar tela a R$ 15,00 o metro e quer o maior piquete retangular encostado numa cerca existente (que dispensa tela num lado). Que medidas usar? (Limite de terreno para o lado perpendicular: 0 = sem limite.)

Modelo: L = orçamento ÷ preço por metro; A(x) = x(L − 2x), 0 < x < L/2 (e x ≤ limite, se houver). Vértice x = L/4; se o limite for menor que L/4, o máximo é em x = limite.

Dados — altere para recalcular Orçamento (R$) Preço da tela (R$/m) Limite para o lado perpendicular (0 = sem limite) (m)

L = 1200/15 = 80 m de tela.
A(x) = x(80 − 2x); vértice x = L/4 = 20 m.
Domínio: 0 < x < L/2 = 40; o vértice está no domínio.
x = 20 m; lado paralelo = 40 m; A = 800 m².

Resultado: Lados perpendiculares de = 20 m e lado paralelo de = 40 m: = 800 m².

Leitura crítica: Sem limite ativo, o lado paralelo é o dobro do perpendicular e a área é L²/8. O modelo supõe tela toda usada, sem portão nem sobras, e cerca existente reta e longa o bastante.

Economia (modelo hipotético) Receita com teto de preço

Modelo hipotético, não são dados reais: com demanda q = q₀ − βp, a receita R(p) = p(q₀ − βp) tem vértice em p = q₀/(2β). Se um teto de preço T fica abaixo do vértice, R é crescente em todo o intervalo permitido e o máximo é R(T) — a mesma lógica do limite para x no cercado.

Como usar: aplicação resolvida

Modelo hipotético (não são dados reais): com demanda q = q₀ − βp, um teto de preço T é imposto. Qual preço maximiza a receita respeitando o teto?

Modelo: R(p) = p(q₀ − βp), 0 < p < q₀/β e p ≤ T. Vértice p* = q₀/(2β). Se T < p*, R é crescente em todo o domínio e o máximo é R(T).

Dados — altere para recalcular Demanda máxima q₀ (unid./dia) Sensibilidade ao preço β (unid. por R$) Teto de preço T (R$)

R(p) = −4p² + 200p; domínio 0 < p < 50 e p ≤ 20.
Vértice: p* = q₀/(2β) = 25; R(p*) = 2500.
T = 20 < p*: o vértice está fora do domínio; R é crescente até T. R(T) = 2400.

Resultado: No modelo: preço R$ 20, receita R$ 2400 por dia (sem o teto seria R$ 2500).

Leitura crítica: Mesma lógica do cercado com limite: o vértice só é a resposta se pertence ao domínio. A demanda linear é uma hipótese inventada aqui; em uma situação real precisaria ser estimada e validada.

Aprofundar

Sintetizar e seguir adiante

Síntese

Quadrática: $f(x)=ax^2+bx+c$ com $a\neq0$ ; decidir exige simplificar a expressão.
Forma canônica $f(x)=a(x-h)^2+k$ , $h=-\tfrac b{2a}$ , $k=-\tfrac\Delta{4a}$ : o gráfico é $y=ax^2$ transladado; vértice $(h,k)$ , eixo $x=h$ .
$\Delta>0$ , $=0$ , $<0$ : dois, um ou nenhum zero real; a posição da parábola em relação ao eixo depende também do sinal de $a$ .
$a>0$ : mínimo $k$ em $x=h$ ; $a<0$ : máximo $k$ em $x=h$ — desde que $h$ esteja no domínio do modelo.
Numa tabela de quadrática com passo $p$ , as diferenças segundas são constantes e não nulas ( $2ap^2$ ); diferenças segundas nulas indicam pontos alinhados. A tabela sugere, a demonstração garante.
Modelos quadráticos têm hipóteses e domínio de validade: interpretar o resultado inclui dizer quando ele deixa de valer.

Autoavaliação

Marque o que já consegue explicar (fica só neste navegador).

Consigo decidir se uma expressão define uma função quadrática, mesmo quando ela não está na forma $ax^2+bx+c$ ?
Sei explicar, sem decorar, por que o vértice é $\left(-\tfrac b{2a},\,-\tfrac\Delta{4a}\right)$ ?
Sei dizer o que $\Delta<0$ garante — e o que não garante?
Num problema de máximo, verifico se o vértice está no domínio do modelo?
Distingo o gráfico de uma função do tempo da trajetória de um objeto?
Que pergunta nova este tema me fez formular?

Conexões

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Função afim e proporcionalidade · 1ª série EM
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Próximos temas

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Aprofundar

Cálculo I: taxa de variação e derivada (a inclinação da parábola em cada ponto)

Currículo e proveniência

Tema EM1-NA-03 da matriz curricular do Laboratório Virtual G (1ª série EM, Números e Álgebra). A distribuição dos temas do Ensino Médio por série é decisão de organização do GEPEMA: a BNCC não distribui essas habilidades por série.

Habilidades da BNCC (texto oficial)

EM13MAT302: Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
EM13MAT402: Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
EM13MAT502: Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax².
EM13MAT503: Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.

Avaliações e referenciais (instrumentos de análise, não currículo)

Saeb, matriz de referência de 2001 (3ª série do EM): D17, D20, D21, D25, D26.
Enem, Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias: H19, H20, H21, H22, H23.
PISA 2022: Change and relationships; processos formulate, employ e interpret/evaluate (modelagem do cercado, do lançamento e da receita).
TIMSS 2023: Algebra — Relationships and functions (8ª série, para comparação); domínios cognitivos Applying e Reasoning.

Versão 1, revisada em 03/10/2026.

Referências

BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
HØYRUP, J. Lengths, widths, surfaces: a portrait of Old Babylonian algebra and its kin. New York: Springer, 2002.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.

Manipule antes de formalizar

Coeficientes da quadrática e o caminho do vértice

Conjecture, teste, justifique

Por onde anda o vértice?

Quadrática ou não?

Do conceito à demonstração

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O cercado de área máxima: modelar, maximizar, respeitar o domínio

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Sintetizar e seguir adiante

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