Discriminante e zeros: o que Δ diz e o que não diz — MatLabG

Pergunta científica

O que o discriminante diz sobre a posição da parábola em relação ao eixo x — e o que ele não diz?

Hipóteses

a ≠ 0 (com a = 0 a equação é de 1º grau ou constante, e Δ não se aplica).
O teorema dos zeros, a forma fatorada e as relações de soma e produto estão demonstrados no Laboratório Virtual G (seção "Zeros, discriminante e fatoração").
Com coeficientes decimais, b² − 4ac é calculado em ponto flutuante; |Δ| < 10⁻⁹·max(1, b², |4ac|) é tratado como Δ = 0 "dentro da precisão do cálculo", e isso é dito ao estudante.
A busca de contraexemplos percorre 2.028 trincas (a, b, c): achar refuta; não achar é evidência, não prova.

Domínio e modelo

Janela −6,5 ≤ x ≤ 6,5 e −4,6 ≤ y ≤ 5,6; a de −3 a 3, b de −6 a 6, c de −4 a 4, em passos de 0,1. Grade de busca: a, b, c de −3 a 3 em passos de 0,5, a ≠ 0.

Equação ax² + bx + c = 0; Δ = b² − 4ac; zeros x = (−b ± √Δ)/(2a) quando Δ ≥ 0; f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).

Δ: discriminante: sinal dá o número de zeros reais (2, 1 ou 0)
k = −Δ/(4a): altura do vértice; seu sinal depende de Δ e de a
x₁, x₂: zeros reais; exibidos com "≈" quando arredondados
a: decide o lado do eixo em que a parábola fica quando Δ < 0

Procedimento

Com a = 1 e b = −2, preveja para que valor de c a parábola toca o eixo x em um só ponto. Mova c e confira (Δ = 0).
Com a = 0,1, b = 0,6 e c = 0,9 (isto é, 0,1(x + 3)², com Δ = 0 exato), leia Δ: o computador obtém ≈ −5,55 × 10⁻¹⁷. Por que não obtém exatamente 0? O que significa "dentro da precisão do cálculo"?
Preveja: trocando o sinal de a (com b e c fixos), o número de zeros pode mudar? E o lado em que a parábola fica? Teste com Δ < 0.
Na investigação guiada, julgue cada afirmação antes de ver o gráfico; peça o contraexemplo e localize-o na prancheta.
Para uma afirmação que resistiu à busca, escreva a demonstração (use k = −Δ/(4a) ou a forma canônica).
Compare zeros, soma e produto nas leituras com −b/a e c/a. Quando os zeros são exibidos com "≈"? Por quê?

Experiência

Prancheta 2D: discriminante, vértice e zeros de f(x) = ax² + bx + c Plano cartesiano com malha. A parábola aparece em verde contínuo e espesso; o vértice V é um ponto verde rotulado, ligado ao eixo x por um segmento marrom rotulado com o valor de k. Os zeros reais são pontos de contorno vermelho sobre o eixo x, rotulados x₁ e x₂ (ou "x₁ = x₂" na raiz dupla). Um contraexemplo encontrado pela investigação é marcado por um círculo vermelho. As leituras ao lado repetem em texto Δ (com o aviso de precisão), k, o número de zeros, os zeros, a forma fatorada e a posição da parábola.

Movimento:

Velocidade

Teclado

Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

Física

A bola alcança a altura H? Quantas vezes?

No lançamento vertical (sem resistência do ar, g constante), alcançar a altura H é resolver h₀ + v₀t − (g/2)t² = H. O discriminante v₀² − 2g(H − h₀) decide: negativo, a bola nunca chega a H; zero, chega exatamente no ponto mais alto; positivo, passa por H duas vezes — subindo e descendo.
Como usar: aplicação resolvida

Uma bola é lançada verticalmente de 1,5 m de altura a 14 m/s. Ela alcança 8 m de altura? Em que instantes?

Modelo: h₀ + v₀t − (g/2)t² = H ⇔ −(g/2)t² + v₀t + (h₀ − H) = 0. Δ = v₀² − 2g(H − h₀). Só instantes t ≥ 0 pertencem ao domínio do modelo.

Dados — altere para recalcular Altura inicial h₀ (m) Velocidade inicial v₀ (m/s) Altura desejada H (m) Aceleração da gravidade g (m/s²)
1. −4,9t² + 14t + (−6,5) = 0.
2. Δ = 14² − 4·(−4,9)·(−6,5) = 68,6.
3. Raízes: t ≈ 0,583 e t ≈ 2,274 s.
Resultado: Passa por 8 m duas vezes: subindo, em t ≈ 0,58 s, e descendo, em t ≈ 2,27 s.

Leitura crítica: O sinal de Δ responde à pergunta "alcança?" antes de qualquer gráfico. O modelo ignora a resistência do ar e vale só enquanto a bola não toca o chão.
Economia (modelo hipotético)

Existe preço que cubra o custo fixo?

Modelo hipotético, não são dados reais: com demanda q = q₀ − βp e custo fixo C, o resultado é L(p) = −βp² + q₀p − C. O discriminante q₀² − 4βC decide se há preço com resultado não negativo; os zeros são os preços de equilíbrio (lucro zero).
Como usar: aplicação resolvida

<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): com demanda q = q₀ − βp e custo fixo diário C, existe algum preço que cubra o custo fixo? Entre que preços o resultado é não negativo?

Modelo: L(p) = p(q₀ − βp) − C = −βp² + q₀p − C, para 0 < p < q₀/β. Δ = q₀² − 4βC: Δ < 0, nenhum preço cobre C; Δ ≥ 0, os zeros são os preços de equilíbrio.

Dados — altere para recalcular Demanda máxima q₀ (unid./dia) Sensibilidade ao preço β (unid. por R$) Custo fixo diário C (R$)
1. L(p) = −4p² + 200p − 1800.
2. Δ = 200² − 4·4·1800 = 11200.
3. Zeros: p ≈ 11,77 e p ≈ 38,23 (ambos no intervalo 0 ≤ p ≤ q₀/β = 50).
Resultado: No modelo, o resultado é não negativo para preços entre R$ 11,77 e R$ 38,23.

Leitura crítica: O discriminante decide a existência antes do cálculo dos preços. Custos variáveis, concorrência e a validade da demanda linear ficaram de fora: o resultado é um exercício de modelagem, não uma recomendação.

Limites do modelo

A tolerância de Δ é uma decisão computacional: um Δ verdadeiramente não nulo, mas menor que a tolerância, seria tratado como zero. Com os controles de passo 0,1, Δ é múltiplo de 0,01 e isso não ocorre.
Os zeros são calculados pela forma estável x₁ = q/a, x₂ = c/q, algebricamente igual à fórmula do Laboratório Virtual G, para evitar cancelamento numérico; são exibidos com 4 casas e "≈" quando arredondados.
A busca de contraexemplos só cobre a grade; afirmações verdadeiras precisam de demonstração.
Limites computacionais: o computador calcula em ponto flutuante (cerca de 16 algarismos significativos), o traço é uma poligonal por pontos amostrados e o gráfico mostra só uma janela finita; o que está fora da janela ou entre dois pontos amostrados é afirmado pela demonstração, não visto.

Síntese

Observação e evidência: Δ > 0, = 0, < 0 corresponde a dois, um ou nenhum zero real.
Refutação: "Δ < 0 ⇒ parábola acima do eixo" é falsa (contraexemplo com a < 0, como −x² − 1); o correto é "Δ < 0 ⇒ parábola de um lado só, o lado do sinal de a".
Demonstração: k = −Δ/(4a) e a forma canônica explicam todos os casos; ver /laboratorios/virtual/matematica/funcao-quadratica/ (seção "Zeros, discriminante e fatoração").
Aproximação numérica não é igualdade: Δ = 0 "dentro da precisão do cálculo" e zeros com "≈" são declarados como tal.

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Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.