Proporcional ou só afim? Dobrar x dobra y?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  Mola: o alongamento é proporcional, o comprimento não

  No regime elástico (lei de Hooke), o alongamento L − L₀ é proporcional à força: L − L₀ = kF. O comprimento total L = L₀ + kF é afim. Aplicar regra de três ao comprimento total supõe L₀ = 0 e erra; aplicá-la ao alongamento acerta — dentro do limite elástico (atividade fa-08 do Laboratório Virtual G).

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma mola mede 20 cm sem carga e 26 cm sob uma força de 3 N. Supondo o regime elástico, quanto medirá sob 5 N? Quanto daria a regra de três aplicada ao comprimento total?

  Modelo: Lei de Hooke: alongamento proporcional à força, L − L₀ = kF; comprimento afim, L = L₀ + kF, com k = (L₁ − L₀)/F₁.

  Dados — altere para recalcular

  Comprimento sem carga L₀ (cm) Comprimento sob F₁ (cm) Força F₁ (N) Força F₂ (N) Restaurar os dados

  1. Alongamento sob F₁: 26 − 20 = 6 cm; k = 6/3 = 2 cm/N.
  2. L(F₂) = 20 + 2·5 = 30 cm.
  3. Regra de três no comprimento total (supõe L₀ = 0): 26·5/3 ≈ 43,333 cm — erro de ≈ 13,333 cm.

  Resultado: Sob 5 N: = 30 cm (a regra de três no comprimento total daria ≈ 43,33 cm).

  Leitura crítica: O que é proporcional à força é o alongamento, não o comprimento. A previsão só vale no regime elástico: acima do limite elástico a mola se deforma permanentemente e o modelo deixa de valer.

• Economia (modelo hipotético)

  Conta com parte fixa: dobrar o consumo não dobra a conta

  Modelo hipotético, não são tarifas reais: uma conta formada por uma parte fixa F mais um preço p por unidade consumida é C(q) = F + pq, afim em q. Dobrar o consumo não dobra a conta (a diferença é F), e o preço médio por unidade, C(q)/q = p + F/q, diminui quando o consumo aumenta.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma conta tem parte fixa de R$ 30,00 e R$ 0,80 por unidade consumida. Com consumo de 100 unidades, quanto se paga? E com o dobro do consumo — a conta dobra?

  Modelo: C(q) = F + p·q (afim em q). C(kq) − k·C(q) = F(1 − k): só é zero sem parte fixa. Preço médio por unidade: C(q)/q = p + F/q.

  Dados — altere para recalcular

  Parte fixa F (R$) Preço por unidade p (R$) Consumo q (unid.) Fator de consumo k Restaurar os dados

  1. C(100) = 30 + 0,8·100 = 110 reais.
  2. C(200) = 30 + 0,8·200 = 190; 2·C(q) = 220.
  3. Diferença C(kq) − k·C(q) = F(1 − k) = −30.
  4. Preço médio: = 1,1 por unidade com q; = 0,95 com kq.

  Resultado: No modelo: R$ 110 com 100 unidades e R$ 190 com 200 — não proporcional ao consumo (parte fixa F ≠ 0).

  Leitura crítica: Modelo hipotético: tarifas reais podem ter faixas, impostos e mínimos que mudam a lei. Com parte fixa, a conta cresce junto com o consumo sem ser proporcional a ele, e o preço médio cai quando o consumo aumenta.