O teste da reta vertical: quando uma curva é gráfico de função?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  Roda-gigante: a altura não é função da posição horizontal, mas é função do tempo

  Numa roda-gigante de raio R com centro a H metros do solo, a cadeira percorre a circunferência x² + (y − H)² = R², com x medido a partir da vertical que passa pelo centro. Para |x| < R há duas alturas possíveis, y = H ± √(R² − x²): a altura não é função de x. Em rotação uniforme de período T, partindo do ponto mais baixo, a altura é y(t) = H − R·cos(2πt/T): a cada instante, uma única altura — é função do tempo.

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma roda-gigante tem raio de 15 m e centro a 17 m do solo, e dá uma volta a cada 10 min. Quem olha de longe vê uma cadeira a 9 m à direita da vertical do centro: a que altura ela está? E, partindo do ponto mais baixo, a que altura estará após 2,5 min?

  Modelo: Posição da cadeira: x² + (y − H)² = R² (x medido a partir da vertical do centro). Para |x| < R, y = H ± √(R² − x²): duas alturas — a altura não é função de x. No tempo (rotação uniforme, partindo do ponto mais baixo): y(t) = H − R·cos(2πt/T), uma altura por instante.

  Dados — altere para recalcular

  Raio R (m) Altura do centro H (m) Posição horizontal x (m) Período T (min) Instante t (min) Restaurar os dados

  1. R² − x² = 225 − 81 = 144; √(R² − x²) = 12 m.
  2. Alturas possíveis: y = 17 − 12 = 5 m e y = 17 + 12 = 29 m: a vertical x = 9 corta duas vezes.
  3. No tempo: y(2,5) = 17 − 15·cos(2π·2,5/10) = 17 m — um único valor.

  Resultado: Em x = 9 m a cadeira pode estar a = 5 m ou a = 29 m: a altura não é função da posição horizontal. Após 2,5 min, a altura é = 17 m.

  Leitura crítica: A mesma curva pode ou não ser gráfico de função conforme a variável escolhida: como relação entre x e y, a circunferência falha no teste da reta vertical; descrita pelo tempo, cada instante tem uma posição. O modelo supõe rotação uniforme e ignora o tamanho da cadeira.

• Estatística (dados simulados)

  Idade e altura numa turma: a relação não é função; a média por idade é

  Em dados de pessoas, a mesma idade aparece com alturas diferentes: a relação idade → altura falha no teste da reta vertical. Associar a cada idade a média das alturas observadas define uma função — um resumo do grupo, que não descreve cada pessoa. A aplicação usa DADOS SIMULADOS.

  Fonte: [4]

  Como usar: aplicação resolvida

  DADOS SIMULADOS: numa turma, três estudantes de 15 anos medem 1,62 m, 1,70 m e 1,75 m. A altura é função da idade nesse grupo? Que função se pode definir a partir desses dados?

  Modelo: Pares (idade; altura). Três pares com a mesma idade e alturas diferentes estão numa mesma vertical: a relação idade → altura não é função. A média das alturas observadas em cada idade define uma função (um valor por idade).

  Dados — altere para recalcular

  Idade comum (anos) Altura do estudante 1 (m) Altura do estudante 2 (m) Altura do estudante 3 (m) Restaurar os dados

  1. Pares: (15; 1,62), (15; 1,7), (15; 1,75).
  2. A vertical x = 15 corta o conjunto em 3 pontos distintos: a relação idade → altura não é função.
  3. Média: (1,62 + 1,7 + 1,75)/3 = 1,69 m.

  Resultado: Não é função; a média por idade associa a 15 anos o único valor = 1,69 m.

  Leitura crítica: DADOS SIMULADOS. A função "média por idade" resume o grupo e perde informação: ela não diz a altura de nenhum estudante em particular, e com outra turma daria outro valor. Resumir uma relação por uma função é uma escolha de modelagem, não uma propriedade dos dados.