A caixa de papelão em cinco representações

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Engenharia de produção (embalagens)

  Caixa sem tampa a partir de uma folha retangular

  Com uma folha retangular a × b, o mesmo corte nos quatro cantos dá V(x) = x(a − 2x)(b − 2x), com 0 < x < min(a, b)/2. Sem o Cálculo, uma tabela de passo p localiza o melhor corte com resolução p — uma aproximação, declarada como tal; a aplicação mostra a busca e o seu limite.

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma oficina quer caixas sem tampa a partir de folhas de papelão de 30 cm × 20 cm, cortando quadrados iguais nos cantos. Qual corte, com resolução de 0,5 cm, dá o maior volume? E quanto vale o volume com o corte de 3 cm?

  Modelo: V(x) = x(a − 2x)(b − 2x), 0 < x < min(a, b)/2. Busca numa tabela de passo p: avalia V em x = p, 2p, … dentro do domínio e escolhe o maior — aproximação com resolução p, não o máximo exato.

  Dados — altere para recalcular

  Comprimento da folha a (cm) Largura da folha b (cm) Corte a avaliar x (cm) Passo da tabela p (cm) Restaurar os dados

  1. Domínio do modelo: 0 < x < min(30, 20)/2 = 10 cm.
  2. V(3) = 3·(30 − 6)·(20 − 6) = 1008 cm³.
  3. Tabela de passo 0,5 cm: 19 cortes avaliados; o maior volume é V(4) = 1056 cm³.

  Resultado: Com resolução de 0,5 cm, o melhor corte da tabela é 4 cm (V = 1056 cm³); com 3 cm, V = 1008 cm³.

  Leitura crítica: É o melhor da tabela, não necessariamente o máximo: entre dois pontos da tabela pode haver volume maior, e refinar o passo muda a resposta. O modelo ignora a espessura do papelão e as sobreposições das abas.

• Geometria (semelhança)

  Folha maior, corte ótimo proporcional

  Ampliar a folha na razão k amplia todas as medidas da caixa na razão k e o volume na razão k³: V_L(kx) = k³·V_20(x), com k = L/20. Por isso o corte que maximiza o volume é proporcional a L (atividade fn-13 do Laboratório Virtual G). Conhecido o ótimo para L = 20 — resultado do Cálculo, 10/3 cm —, o de qualquer L vem por semelhança: L/6.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  Para uma folha quadrada de 30 cm, qual corte dá a caixa de maior volume, sabendo (pelo Cálculo) que para a folha de 20 cm o corte ótimo é 10/3 cm? Compare com o volume de um corte de 4 cm.

  Modelo: Semelhança: ampliar a folha na razão k = L/20 amplia todas as medidas na razão k e o volume na razão k³, V_L(kx) = k³·V_20(x). Logo o corte ótimo é k·10/3 = L/6 e o volume máximo é k³·16000/27 = 2L³/27. O valor 10/3 é resultado do Cálculo (derivada), não demonstrado no tema.

  Dados — altere para recalcular

  Lado da folha L (cm) Corte a comparar x (cm) Restaurar os dados

  1. Razão de semelhança: k = L/20 = 30/20 = 1,5.
  2. Corte ótimo: k·10/3 = L/6 = 5 cm (10/3 vem do Cálculo para L = 20).
  3. Volume máximo: k³·16000/27 = 2L³/27 = 2000 cm³.
  4. Com x = 4 cm: V = 4·(30 − 8)² = 1936 cm³.

  Resultado: Corte ótimo L/6 = 5 cm, com volume = 2000 cm³; o corte de 4 cm dá = 1936 cm³.

  Leitura crítica: A semelhança transporta o resultado de uma folha para outra: o corte ótimo é sempre um sexto do lado. O argumento depende do valor para L = 20, que vem do Cálculo; sem ele, a tabela daria só uma estimativa. Folhas reais têm espessura, o que muda um pouco o volume útil.