O cercado de área máxima: modelar, maximizar, respeitar o domínio — MatLabG

Pergunta científica

Com L metros de tela, que retângulo cerca a maior área — com um muro dispensando um lado, ou sem muro? E se houver um limite para um dos lados?

Hipóteses

Toda a tela é usada; o cercado é retangular; o muro (quando há) é reto e longo o bastante para o lado paralelo.
Com muro, x é cada lado perpendicular ao muro e o lado paralelo mede L − 2x: A(x) = x(L − 2x). Sem muro, x é um lado e o outro mede L/2 − x: A(x) = x(L/2 − x).
Domínio do modelo: 0 < x < L/2 nos dois casos (comprimentos positivos); com limite, 0 < x ≤ limite.
O teorema do valor extremo da quadrática (máximo k em x = h se a < 0) está demonstrado no Laboratório Virtual G (seção "Máximos e mínimos").

Domínio e modelo

L de 20 a 120 m (passo 1 m); x em passos de 0,25 m; limite para x de 1 a 60 m (passo 0,5 m).

Com muro: A(x) = −2x² + Lx; sem muro: A(x) = −x² + (L/2)x. Vértice em x = L/4 nos dois casos; com muro A(L/4) = L²/8, sem muro A(L/4) = L²/16.

L: comprimento total de tela (m)
x: lado perpendicular ao muro (com muro) ou um dos lados (sem muro), em m
limite: maior valor permitido para x (m), opcional
A(x): área cercada (m²)

Procedimento

Com L = 40 m e muro, preveja as medidas do retângulo de maior área antes de mover x. Registre também a sua confiança.
Arraste o ponto sobre o gráfico (ou use as setas) e observe o retângulo em escala. Onde a área é máxima? Compare com a sua previsão.
Preveja a proporção (lado paralelo ÷ lado perpendicular) do retângulo ótimo. Teste com L = 60, 80 e 120. A proporção depende de L?
Desligue o muro. Preveja a nova proporção e a nova área máxima. Teste.
Ligue o limite e escolha 8 m (com L = 40 e muro). Onde está o máximo agora? Por que o vértice deixou de servir?
Na investigação guiada, registre a proporção e se o máximo está no vértice para cada situação; peça o contraexemplo.
Escreva A(x) na forma canônica e justifique o máximo sem gráfico; confira no Laboratório Virtual G.

Experiência

Prancheta 2D: área do cercado A(x) e o retângulo em escala Na parte de cima, o gráfico de A(x) em verde contínuo dentro do domínio (com extremidades abertas marcadas por pequenos círculos); o trecho excluído por um limite aparece tracejado em cinza, e o limite é uma reta vertical vermelha rotulada. O vértice é um ponto cinzento rotulado; quando o limite o exclui, o máximo na extremidade é um ponto vermelho rotulado "máximo". O ponto móvel desliza sobre a curva (mouse, dedo ou setas). Na parte de baixo, o retângulo em escala, sombreado em verde, com as medidas e a área escritas; o muro, quando há, é uma linha hachurada rotulada. As leituras ao lado trazem o modelo, o domínio, as medidas, a área, o vértice e o máximo.

Movimento:

Velocidade

Teclado

Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

Agronomia e planejamento de área

Piquete encostado numa cerca existente

Um piquete retangular encostado numa cerca já existente economiza tela num lado. Com orçamento B e tela a P por metro, L = B/P e, se nenhum limite de terreno excluir o vértice, a maior área é L²/8, com o lado paralelo igual ao dobro do perpendicular. Um limite de terreno pode deslocar o ótimo para a extremidade.
Como usar: aplicação resolvida

Um produtor tem R$ 1.200,00 para comprar tela a R$ 15,00 o metro e quer o maior piquete retangular encostado numa cerca existente (que dispensa tela num lado). Que medidas usar? (Limite de terreno para o lado perpendicular: 0 = sem limite.)

Modelo: L = orçamento ÷ preço por metro; A(x) = x(L − 2x), 0 < x < L/2 (e x ≤ limite, se houver). Vértice x = L/4; se o limite for menor que L/4, o máximo é em x = limite.

Dados — altere para recalcular Orçamento (R$) Preço da tela (R$/m) Limite para o lado perpendicular (0 = sem limite) (m)
1. L = 1200/15 = 80 m de tela.
2. A(x) = x(80 − 2x); vértice x = L/4 = 20 m.
3. Domínio: 0 < x < L/2 = 40; o vértice está no domínio.
4. x = 20 m; lado paralelo = 40 m; A = 800 m².
Resultado: Lados perpendiculares de = 20 m e lado paralelo de = 40 m: = 800 m².

Leitura crítica: Sem limite ativo, o lado paralelo é o dobro do perpendicular e a área é L²/8. O modelo supõe tela toda usada, sem portão nem sobras, e cerca existente reta e longa o bastante.
Economia (modelo hipotético)

Receita com teto de preço

Modelo hipotético, não são dados reais: com demanda q = q₀ − βp, a receita R(p) = p(q₀ − βp) tem vértice em p = q₀/(2β). Se um teto de preço T fica abaixo do vértice, R é crescente em todo o intervalo permitido e o máximo é R(T) — a mesma lógica do limite para x no cercado.
Como usar: aplicação resolvida

<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): com demanda q = q₀ − βp, um teto de preço T é imposto. Qual preço maximiza a receita respeitando o teto?

Modelo: R(p) = p(q₀ − βp), 0 < p < q₀/β e p ≤ T. Vértice p* = q₀/(2β). Se T < p*, R é crescente em todo o domínio e o máximo é R(T).

Dados — altere para recalcular Demanda máxima q₀ (unid./dia) Sensibilidade ao preço β (unid. por R$) Teto de preço T (R$)
1. R(p) = −4p² + 200p; domínio 0 < p < 50 e p ≤ 20.
2. Vértice: p* = q₀/(2β) = 25; R(p*) = 2500.
3. T = 20 < p*: o vértice está fora do domínio; R é crescente até T. R(T) = 2400.
Resultado: No modelo: preço R$ 20, receita R$ 2400 por dia (sem o teto seria R$ 2500).

Leitura crítica: Mesma lógica do cercado com limite: o vértice só é a resposta se pertence ao domínio. A demanda linear é uma hipótese inventada aqui; em uma situação real precisaria ser estimada e validada.

Limites do modelo

As hipóteses podem falhar: cercados reais têm portões, estacas e sobras de tela; o muro pode ser curto; o terreno pode não ser plano nem retangular.
A busca no domínio é amostral (passo 0,25 m na prancheta; 1 999 pontos na investigação): a garantia do máximo vem da forma canônica.
O domínio é aberto em 0 e em L/2 (lados de comprimento zero não formam cercado); a prancheta usa x entre 0,25 m e o maior valor permitido.
Limites computacionais: o computador calcula em ponto flutuante (cerca de 16 algarismos significativos), o traço é uma poligonal por pontos amostrados e o gráfico mostra só uma janela finita; o que está fora da janela ou entre dois pontos amostrados é afirmado pela demonstração, não visto.

Síntese

Observação: a área cresce e depois decresce; o retângulo ótimo usa x = L/4.
Conjectura testada com vários L e justificada pela fórmula: com muro, lado paralelo = 2 × perpendicular, área L²/8; sem muro, quadrado, área L²/16.
Domínio: quando um limite exclui o vértice, o máximo está na extremidade — o vértice só é a resposta se pertencer ao domínio do modelo.
A demonstração do valor extremo (forma canônica) e o exemplo do cercado estão no Laboratório Virtual G: /laboratorios/virtual/matematica/funcao-quadratica/ (seções "Explorar" e "Máximos e mínimos").

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Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.