Escalas termométricas, ponto fixo, composição e inversa

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Física

  Converter entre Celsius, Fahrenheit e Kelvin

  As escalas Celsius e Fahrenheit são afins entre si (F = 1,8C + 32), e Kelvin é Celsius deslocada (K = C + 273,15). Toda conversão é composição dessas funções e de suas inversas, e o zero absoluto (0 K) limita o domínio: −273,15 °C = −459,67 °F (atividade fa-14 do Laboratório Virtual G).

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma receita estrangeira pede forno a 350 °F, e um termômetro de laboratório marca 25 °C. Converta as temperaturas entre Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Existe temperatura com o mesmo número em °C e em °F?

  Modelo: F = 1,8C + 32; K = C + 273,15; C = (F − 32)/1,8 (inversa); F = 1,8K − 459,67 (composição). Ponto fixo de F(C): 1,8C + 32 = C ⇔ C = −40. Domínio físico: C ≥ −273,15.

  Dados — altere para recalcular

  Temperatura em Celsius (°C) Temperatura em Fahrenheit (°F) Restaurar os dados

  1. 25 °C → F = 1,8·25 + 32 = 77 °F; K = 25 + 273,15 = 298,15 K.
  2. 350 °F → C = (350 − 32)/1,8 ≈ 176,667 °C; K ≈ 449,817 K.
  3. Ponto fixo: 1,8C + 32 = C ⇔ 0,8C = −32 ⇔ C = −40: −40 °C = −40 °F.

  Resultado: 25 °C = 77 °F; 350 °F ≈ 176,67 °C; o mesmo número nas duas escalas só em −40.

  Leitura crítica: Toda conversão entre essas escalas é composição de funções afins e de suas inversas. A unicidade do −40 vem de a = 1,8 ≠ 1. Celsius e Kelvin, com a = 1 e b = 273,15, nunca coincidem. Abaixo do zero absoluto, as fórmulas continuam dando números, mas não temperaturas.

• Biologia (modelo hipotético simplificado)

  Doses repetidas: a quantidade tende ao ponto fixo

  Modelo hipotético simplificado, não é orientação de uso de medicamentos: se, de um intervalo a outro, o organismo conserva a fração a (0 < a < 1) da substância e recebe nova dose b, a quantidade segue cₙ₊₁ = a·cₙ + b — iterar uma função afim. O ponto fixo p = b/(1 − a) atrai: cₙ = p + aⁿ(c₀ − p), que se aproxima de p porque aⁿ → 0.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (modelo simplificado; não é orientação de uso de medicamentos): a cada intervalo, o organismo conserva metade da substância e recebe nova dose de 100 mg. Partindo de zero, quanto haverá depois de 5 doses? Para que valor a quantidade tende?

  Modelo: cₙ₊₁ = a·cₙ + b (iterar a função afim f(c) = ac + b, 0 < a < 1). Ponto fixo p = b/(1 − a); cₙ = p + aⁿ(c₀ − p), que tende a p porque aⁿ → 0.

  Dados — altere para recalcular

  Fração conservada a Dose b (mg) Quantidade inicial c₀ (mg) Número de doses n Restaurar os dados

  1. Ponto fixo: p = b/(1 − a) = 100/0,5 = 200 mg.
  2. Iterando: 0 → 100 → 150 → 175 → 187,5 → 193,75.
  3. Fórmula: c_5 = p + aⁿ(c₀ − p) = 200 + 0,5^5·(0 − 200) = 193,75 mg (a iteração dá = 193,75).

  Resultado: No modelo: ≈ 193,8 mg após 5 doses; a quantidade tende a = 200 mg.

  Leitura crítica: Modelo hipotético simplificado (eliminação proporcional, doses e intervalos iguais), usado para estudar o ponto fixo — não descreve nenhum medicamento real. O ponto fixo atrai porque 0 < a < 1; com a ≥ 1, a sequência não se estabilizaria.