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MatLabG · Experiência
Taxa média de variação e reta secante
Δy/Δx com unidades, a secante que gira — e por que uma taxa média positiva não garante que a função cresça.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
O que a taxa média de variação mede, como ela aparece no gráfico — e uma taxa média positiva garante que a função cresce no intervalo?
Execução restrita
Escolha a função — a caixa V(x) = x(20 − 2x)², a queda livre d(t) = 4,9t², y = 1/x ou y = x² — e arraste dois pontos sobre o gráfico. A secante, os degraus Δx e Δy e a taxa média, com unidades (cm³/cm, m/s), mudam juntos. Ligue a verificação de crescimento e encontre intervalos com taxa média positiva em que a função não é crescente: a caixa em [2, 4], y = x² em [−1, 2], y = 1/x em [−1, 1].
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Física
Velocidade média na queda livre
Sem resistência do ar e a partir do repouso, d(t) = (g/2)t². A velocidade média entre t₁ e t₂ é a taxa média: (g/2)(t₂² − t₁²)/(t₂ − t₁) = (g/2)(t₁ + t₂). Em intervalos de mesma duração, ela aumenta com o tempo: o objeto acelera. É a secante do gráfico distância × tempo.
Como usar: aplicação resolvida
Uma pedra cai, a partir do repouso, de um penhasco. Qual a sua velocidade média entre 1 s e 2 s de queda? E entre 2 s e 3 s?
Modelo: d(t) = (g/2)t² (resistência do ar desprezível, g constante). Velocidade média entre t₁ e t₂: [d(t₂) − d(t₁)]/(t₂ − t₁) = (g/2)(t₁ + t₂).
- d(1) = 4,9·1² = 4,9 m; d(2) = 19,6 m.
- Δd = 14,7 m; Δt = 1 s.
- v_m = Δd/Δt = 14,7 m/s; conferência: (g/2)(t₁ + t₂) = 4,9·3 = 14,7 m/s.
Resultado: Velocidade média = 14,7 m/s entre 1 s e 2 s.
Leitura crítica: A velocidade média é a inclinação da secante do gráfico d × t; como ela cresce com t₁ + t₂, intervalos iguais mais tarde têm velocidades médias maiores: o objeto acelera. Com resistência do ar, a velocidade real fica abaixo da do modelo.
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Geociências (relevo)
Declividade média de uma trilha
A declividade média de um trecho é a variação de altitude dividida pela distância horizontal: uma taxa média, em metros por quilômetro (ou em porcentagem). Declividade média positiva diz que o fim está mais alto que o início — não que a trilha sobe o tempo todo: pode haver descidas no meio.
Como usar: aplicação resolvida
Numa trilha, o ponto de partida está a 820 m de altitude e, 4,5 km adiante (em distância horizontal), a trilha chega a 1 180 m. Qual a declividade média? Ela garante que a trilha só sobe?
Modelo: Declividade média = (h₂ − h₁)/(d₂ − d₁), em m/km; em porcentagem, (h₂ − h₁)/(1000·(d₂ − d₁))·100 (d em km, h em m).
- Δh = 1180 − 820 = 360 m; Δd = 4,5 − 0 = 4,5 km.
- Declividade média = Δh/Δd = 80 m/km.
- Em porcentagem: 80/1000 × 100 = 8%.
Resultado: Declividade média = 80 m/km (= 8%).
Leitura crítica: É uma taxa média: compara só as extremidades. Uma declividade média positiva não garante subida contínua — a trilha pode descer no meio e subir mais depois. Para descrever o percurso, é preciso o perfil, não só os extremos.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
- IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.