Coeficientes da quadrática e o caminho do vértice — MatLabG

Pergunta científica

O que cada coeficiente faz com a parábola, e por onde anda o vértice quando só b varia?

Hipóteses

f(x) = ax² + bx + c com a, b, c reais; é quadrática somente se a ≠ 0 (com a = 0, f é afim e o gráfico é uma reta).
A forma canônica, com h = −b/(2a) e k = −Δ/(4a), está demonstrada no Laboratório Virtual G (seção "Forma canônica, vértice e eixo de simetria"); aqui é explorada, não provada.
A busca de contraexemplos é amostral (121 valores de b): encontrar um refuta a conjectura; não encontrar não a demonstra.

Domínio e modelo

Janela −6,5 ≤ x ≤ 6,5 e −4,6 ≤ y ≤ 5,6; a de −3 a 3, b de −6 a 6 e c de −4 a 4, em passos de 0,1; rastro com b = −6, −5, …, 6.

Parábola y = ax² + bx + c; vértice V(h; k) = (−b/(2a); c − b²/(4a)); família de parábolas com a e c fixos e b variável.

a: concavidade (sinal) e abertura (módulo); a = 0 é o caso degenerado
b: com a e c fixos, move o vértice ao longo de uma curva
c: ordenada do corte com o eixo y: f(0) = c
V(h; k): vértice; x = h é o eixo de simetria

Procedimento

Preveja e só depois teste: o que acontece com a parábola quando a passa de 1 para −1? E de 1 para 3? Registre a previsão; então mova a.
Leve a até 0. Antes de olhar: ainda há vértice? Confira a mensagem e explique, com a definição, por que a = 0 não dá função quadrática.
Mova só c. O que fica fixo, o que se move? Por que o corte com o eixo y é sempre (0; c)?
Fixe a = 1 e c = 1. Antes de ligar o rastro, desenhe no caderno onde você acha que o vértice estará para b = −4, −2, 0, 2, 4. Que curva os seus pontos formam?
Na investigação guiada, registre a conjectura (forma e coeficiente de x² da curva) e peça um contraexemplo. Se ela for refutada, reformule.
Ligue a curva-teste e confira se todo vértice está sobre ela (a equação da curva só é nomeada depois que a investigação confirma a conjectura). Repita com a = −1 e com a = 2. O que muda no caminho quando a muda de sinal?
Elimine b das coordenadas do vértice e compare com a demonstração no Laboratório Virtual G.

Experiência

Prancheta 2D: coeficientes e vértice de f(x) = ax² + bx + c Plano cartesiano com malha. A parábola aparece em traço verde contínuo e espesso; o vértice V é um ponto de contorno vermelho, rotulado; o eixo de simetria é uma reta vertical pontilhada; o corte com o eixo y é um ponto verde rotulado com suas coordenadas. Com o rastro ligado, os vértices para b = −6, …, 6 aparecem como pontos cinzentos; uma curva-teste pode ser exibida em traço roxo, rotulada "curva-teste" até a revelação e, depois dela, com a sua equação. As leituras ao lado repetem em texto a expressão, o vértice, o eixo e a verificação do lugar geométrico.

Movimento:

Velocidade

Teclado

Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

Física

Lançamento vertical: a velocidade inicial é o coeficiente b

Desprezada a resistência do ar e com g constante, a altura de um objeto lançado verticalmente é h(t) = h₀ + v₀t − (g/2)t²: a = −g/2, b = v₀ e c = h₀. Mudar só a velocidade de lançamento é mudar só b — e o ponto mais alto (t* = v₀/g; h₀ + v₀²/(2g)) percorre a parábola h = h₀ + (g/2)t², que é exatamente y = c − a·x².
Como usar: aplicação resolvida

Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir de 1,5 m de altura, com velocidade de 14 m/s. Qual a altura máxima e quando ela ocorre? Se só a velocidade de lançamento mudar, por onde anda o ponto mais alto?

Modelo: h(t) = h₀ + v₀t − (g/2)t² (resistência do ar desprezível, g constante): a = −g/2, b = v₀, c = h₀. Vértice: t* = v₀/g, H = h₀ + v₀²/(2g). Com a e c fixos, o vértice está sobre h = c − a·t² = h₀ + (g/2)t².

Dados — altere para recalcular Altura inicial h₀ (m) Velocidade inicial v₀ (m/s) Aceleração da gravidade g (m/s²)
1. Coeficientes: a = −g/2 = −4,9, b = v₀ = 14, c = h₀ = 1,5.
2. t* = −b/(2a) = v₀/g = 14/9,8 ≈ 1,429 s.
3. H = h₀ + v₀²/(2g) = 1,5 + 196/19,6 = 11,5 m.
4. Lugar dos vértices: c − a·t*² = 1,5 + 4,9·(1,429)² = 11,5 m — o mesmo H: o vértice está sobre h = h₀ + (g/2)t².
Resultado: Altura máxima = 11,5 m, atingida em t ≈ 1,43 s.

Leitura crítica: Mudar só v₀ é mudar só b: o ponto mais alto desliza sobre a parábola h = h₀ + (g/2)t², de concavidade oposta à de h(t). Dobrar v₀ dobra t* e quadruplica o ganho v₀²/(2g). Com resistência do ar apreciável (objetos leves, velocidades altas), o modelo superestima a altura.
Economia (modelo hipotético)

Receita com demanda linear: o preço ótimo anda sobre uma parábola

Modelo hipotético, não são dados reais: se ao preço p se vendem q = q₀ − βp unidades, a receita é R(p) = −βp² + q₀p (a = −β, b = q₀, c = 0). Se só a demanda máxima q₀ muda, o par (preço ótimo; receita máxima) = (q₀/(2β); q₀²/(4β)) percorre R = βp² — de novo y = c − a·x².
Como usar: aplicação resolvida

<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma cooperativa supõe que, ao preço p (R$), vende q = q₀ − βp unidades por dia. Qual preço maximiza a receita, e como o ótimo se desloca se a demanda máxima q₀ mudar?

Modelo: R(p) = p(q₀ − βp) = −βp² + q₀p (a = −β, b = q₀, c = 0). Vértice: p* = q₀/(2β), R* = q₀²/(4β). Mudando só q₀ (só b), o vértice percorre R = βp² (y = c − a·x²).

Dados — altere para recalcular Demanda máxima q₀ (unid./dia) Nova demanda máxima q₀′ (unid./dia) Sensibilidade ao preço β (unid. por R$)
1. R(p) = −4p² + 200p; p* = q₀/(2β) = 200/8 = 25.
2. R* = q₀²/(4β) = 40000/16 = 2500.
3. Com q₀′ = 240: p* = 30 e R* = 3600.
4. Os dois ótimos satisfazem R = βp²: 4·(25)² = 2500 e 4·(30)² = 3600.
Resultado: No modelo: preço ótimo R$ 25 (receita R$ 2500 por dia); com q₀′, R$ 30 (receita R$ 3600).

Leitura crítica: Todos os ótimos estão sobre R = βp²: aumentar a demanda máxima eleva o preço ótimo e a receita ao longo de uma parábola. A conclusão depende inteiramente da hipótese de demanda linear, que é inventada aqui; em uma situação real ela precisaria ser estimada com dados e validada.

Limites do modelo

O rastro mostra 13 vértices e a busca testa 121 valores de b: são evidências; a afirmação "todo vértice está em y = c − a·x²" vale pela eliminação de b, não pela figura.
Com a próximo de 0 (mas não nulo), o vértice fica muito longe da janela; a leitura avisa quando o vértice está fora do gráfico.
Os modelos das conexões supõem resistência do ar desprezível e g constante (Física) e uma demanda linear hipotética (Economia).
Limites computacionais: o computador calcula em ponto flutuante (cerca de 16 algarismos significativos), o traço é uma poligonal por pontos amostrados e o gráfico mostra só uma janela finita; o que está fora da janela ou entre dois pontos amostrados é afirmado pela demonstração, não visto.

Síntese

Observação: a decide concavidade e abertura; c é o corte com o eixo y; b, sozinho, não translada nem gira a parábola — soma bx a cada ordenada (cisalhamento vertical): o eixo continua vertical, a forma não muda e todas as curvas passam por (0; c); só a reta tangente em (0; c), de inclinação b, gira.
Conjectura testada: com a e c fixos, o vértice percorre y = c − a·x², parábola de mesma abertura e concavidade oposta — porque k = c − b²/(4a) se afasta de c no sentido contrário ao da abertura (com a > 0, k ≤ c; com a < 0, k ≥ c).
Demonstração: elimina-se b de V(−b/(2a); c − b²/(4a)). A prova está no Laboratório Virtual G, em /laboratorios/virtual/matematica/funcao-quadratica/ (seções "Forma canônica" e "Investigar e generalizar").
Com a = 0 não há parábola nem vértice: a definição exige a ≠ 0.

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Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.