Desvio padrão: por que elevar os desvios ao quadrado

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Transporte (modelo hipotético)

  Atrasos de um ônibus: média e desvio padrão

  O atraso médio diz quanto o ônibus atrasa “em geral”; o desvio padrão diz quanto os atrasos variam de um dia para outro. A aplicação calcula os dois, passo a passo, para cinco atrasos escolhidos.

  Fonte: [1]

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais). Os atrasos, em minutos, de um ônibus em cinco dias foram registrados. Quanto os atrasos se afastam, tipicamente, do atraso médio?

  Modelo: Média x̄; desvios xᵢ − x̄ (soma 0); variância σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n (convenção do tema); desvio padrão σ = √σ². Para comparação, a versão com n − 1.

  Dados — altere para recalcular

  Atraso no dia 1 (min) Atraso no dia 2 (min) Atraso no dia 3 (min) Atraso no dia 4 (min) Atraso no dia 5 (min) Restaurar os dados

  1. Média: 35 ÷ 5 = 7 min.
  2. Desvios: −5; −3; −2; 2; 8 (soma 0).
  3. Soma dos quadrados dos desvios = 106; variância 106 ÷ 5 = 21,2 min².
  4. Desvio padrão: √(variância) ≈ 4,6 min. Com n − 1: ≈ 5,15 min.

  Resultado: Atraso médio = 7 min, com desvio padrão ≈ 4,6 min (denominador n).

  Leitura crítica: O desvio padrão está em minutos, como os dados; a variância, em minutos ao quadrado. Cinco dias são poucos para falar do ônibus em geral; e informe a convenção (n ou n − 1) ao comunicar.

• Unidades de medida

  De Celsius para Fahrenheit: média e desvio padrão

  F = 1,8·C + 32 é uma transformação k·x + c: a média vira 1,8·x̄ + 32 e o desvio padrão vira 1,8·σ — o +32 não espalha os dados. A aplicação converte média, desvio padrão e variância.

  Fontes: [1], [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais). Uma estação registrou temperaturas em graus Celsius, com média e desvio padrão conhecidos. Um relatório precisa delas em graus Fahrenheit (F = 1,8·C + 32). Quais são a nova média e o novo desvio padrão?

  Modelo: Se cada valor vira k·x + c, a média vira k·x̄ + c e o desvio padrão vira |k|·σ (somar c não muda a dispersão); a variância vira k²·σ². Aqui k = 1,8 e c = 32.

  Dados — altere para recalcular

  Média em °C (°C) Desvio padrão em °C (°C) Restaurar os dados

  1. Média: 1,8 · 22 + 32 = 71,6 °F.
  2. Desvio padrão: |1,8| · 3 = 5,4 °F (o +32 não altera os desvios).
  3. Variância: 1,8² · 3² = 3,24 · 9 = 29,16 °F².

  Resultado: Média = 71,6 °F; desvio padrão = 5,4 °F.

  Leitura crítica: Somar 32 ao desvio padrão seria um erro: deslocar todos os valores não os espalha mais. A variância converte com o fator ao quadrado. Os valores são de um modelo hipotético.