MatLabG · Experiência demonstrativa
Forma canônica e forma expandida: a mesma curva
a(x − h)² + k e ax² + bx + c descrevem a mesma parábola — o que cada forma mostra e o que esconde.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como a forma a(x − h)² + k e a forma ax² + bx + c descrevem a mesma curva — e o que cada uma revela ou esconde?
Hipóteses
- a ≠ 0 (com a = 0 a expressão se reduz à constante k e o gráfico é uma reta horizontal).
- Toda quadrática tem forma canônica, com h = −b/(2a) e k = −Δ/(4a): teorema demonstrado no Laboratório Virtual G por completamento de quadrado.
- Representações coordenadas: gráfico, duas expressões e tabela mudam juntas; nenhuma delas, sozinha, é demonstração.
Domínio e modelo
Janela −6,5 ≤ x ≤ 6,5 e −4,6 ≤ y ≤ 5,6; a de −3 a 3, h e k de −4 a 4 em passos de 0,1; s (distância ao eixo) de 0,5 a 4 em passos de 0,5.
f(x) = a(x − h)² + k = ax² + bx + c, com b = −2ah e c = ah² + k; o gráfico de f é o de y = ax² transladado pelo vetor (h; k).
- a
- abertura e concavidade (igual nas duas formas)
- h, k
- coordenadas do vértice; translação horizontal e vertical
- b = −2ah, c = ah² + k
- coeficientes da forma expandida
- s
- distância ao eixo: f(h − s) = f(h + s) = as² + k
Procedimento
- Preveja: se k aumenta 2 unidades, quais coeficientes de ax² + bx + c mudam? Registre e depois mova k.
- Preveja: se h aumenta 1 unidade, b e c mudam? Quanto? Teste com a = 1 e depois com a = 2.
- Escolha "só k" no movimento e anote, nas leituras, o que fica constante. Faça o mesmo com "só h". Monte duas listas de invariantes.
- Compare as linhas f(h − s) | f(h + s) da tabela. Por que são sempre iguais? Escreva o argumento com a forma canônica.
- Observe Δ = −4ak. Sem calcular b² − 4ac, decida quantos zeros tem f quando a > 0 e k < 0. Confira no experimento "Discriminante e zeros".
- Arraste o vértice até (3; −4) com a = 1 e confira a forma expandida x² − 6x + 5 (exemplo resolvido do Laboratório Virtual G).
- Leve a até 0: o que acontece com a forma canônica e com o gráfico?
Experiência
Movimento:
Teclado
Tab leva a cada ponto móvel; setas o movem (Shift + setas, passo maior). Espaço reproduz ou pausa o movimento; ponto (.) avança um passo; F alterna a tela cheia. Com o mouse ou o dedo, arraste os pontos.
Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Física
Ler o lançamento pelo vértice
Sob as hipóteses do lançamento vertical (sem resistência do ar, g constante), h(t) = −(g/2)(t − t*)² + H: o vértice (t*; H) é o instante e a altura máximos. Da forma canônica volta-se à expandida e obtêm-se a velocidade inicial v₀ = g·t* e a altura inicial h₀ = H − (g/2)t*².
Como usar: aplicação resolvida
Num vídeo, uma bola lançada verticalmente atinge a altura máxima de 11,5 m no instante 1,5 s. Com que velocidade e de que altura ela foi lançada?
Modelo: Forma canônica do lançamento (sem resistência do ar, g constante): h(t) = −(g/2)(t − t*)² + H. Expandindo: h(t) = −(g/2)t² + g·t*·t + (H − (g/2)t*²), logo v₀ = g·t* e h₀ = H − (g/2)t*².
- h(t) = −4,9(t − 1,5)² + 11,5.
- b = −2·a·t* = 2·4,9·1,5 = 14,7: v₀ = 14,7 m/s.
- c = a·t*² + H = −4,9·2,25 + 11,5 = 0,475: h₀ = 0,475 m.
Resultado: Lançada a = 14,7 m/s de ≈ 0,47 m de altura.
Leitura crítica: A forma canônica lê o vértice diretamente; a expandida dá v₀ e h₀. Erros de leitura de t* pesam muito: h₀ depende de t*². A resistência do ar faz a altura máxima real ser menor que a do modelo.
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Arquitetura e engenharia
Arco parabólico pelo vão e pela flecha
Um arco parabólico de vão V e flecha (altura no meio) F tem vértice (V/2; F) e passa por (0; 0): y = −(4F/V²)(x − V/2)² + F. A forma canônica dá a altura em qualquer ponto do vão. A parábola é a forma de equilíbrio de um cabo sob carga uniformemente distribuída na horizontal; arcos reais podem seguir outras curvas (a catenária, por exemplo).
Como usar: aplicação resolvida
Um arco parabólico de vão 40 m tem flecha (altura no meio) de 10 m. Qual a altura do arco a 10 m de um dos apoios?
Modelo: Vértice (V/2; F) e apoios em (0; 0) e (V; 0): y = −(4F/V²)(x − V/2)² + F = 4F·x(V − x)/V², para 0 ≤ x ≤ V.
- a = −4F/V² = −4·10/1600 = −0,025.
- y = −0,025·(10 − 20)² + 10 = 7,5 m.
- Conferência na forma fatorada: 4F·x(V − x)/V² = 4·10·10·30/1600 = 7,5 m.
Resultado: Altura = 7,5 m a 10 m do apoio.
Leitura crítica: A um quarto do vão, a altura é 3/4 da flecha, qualquer que seja o arco parabólico. Arcos reais podem seguir outras curvas (a catenária é a forma de um cabo sob o próprio peso); a parábola é exata para carga uniformemente distribuída na horizontal.
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História da matemática
Completar o quadrado em tabletes babilônicos
Problemas do tipo "a área do quadrado somada ao seu lado dá 3/4" aparecem em tabletes paleobabilônicos e eram resolvidos completando, geometricamente, um quadrado (Høyrup, 2002) — a mesma ideia que leva de ax² + bx + c à forma canônica.
Como usar: aplicação resolvida
Um problema do tipo dos tabletes paleobabilônicos: "a área de um quadrado somada a b vezes o seu lado dá c". Quanto mede o lado? (Com b = 1 e c = 3/4.)
Modelo: x² + bx = c. Completar o quadrado: (x + b/2)² = c + (b/2)², logo x = √(c + (b/2)²) − b/2 (o lado é positivo).
- Metade do coeficiente: b/2 = 0,5; acrescentar o quadrado (b/2)² = 0,25 aos dois lados.
- (x + 0,5)² = 0,75 + 0,25 = 1.
- x + 0,5 = √1 = 1; x = 0,5.
- Conferência: x² + bx = 0,75.
Resultado: Lado = 0,5.
Leitura crítica: O procedimento é o do completamento de quadrado que leva à forma canônica: a(x − h)² + k. Os escribas trabalhavam com figuras e com números positivos; a raiz negativa da equação, −√(c + (b/2)²) − b/2, não corresponde a um lado.
Limites do modelo
- A tabela mostra quatro pares simétricos; a igualdade f(h − s) = f(h + s) para todo s é consequência da forma canônica (Laboratório Virtual G), não da tabela.
- Os controles têm passo 0,1 (arrastar o vértice também arredonda h e k a 0,1): b e c aparecem com até três casas, exatos.
- O arco parabólico e o lançamento são modelos idealizados; ver as hipóteses em cada aplicação.
- Limites computacionais: o computador calcula em ponto flutuante (cerca de 16 algarismos significativos), o traço é uma poligonal por pontos amostrados e o gráfico mostra só uma janela finita; o que está fora da janela ou entre dois pontos amostrados é afirmado pela demonstração, não visto.
Síntese
- Observação: as duas formas produzem o mesmo gráfico; a forma canônica mostra o vértice e o eixo, a expandida mostra o corte com o eixo y (c) e se presta à fórmula das raízes.
- Invariantes: variando só k, não mudam a, h, b e o eixo; variando só h, não mudam a, k, a abertura e o valor extremo.
- Conjectura confirmada pela álgebra: f(h − s) = as² + k = f(h + s) e Δ = −4ak.
- Demonstração (completamento de quadrado) no Laboratório Virtual G: /laboratorios/virtual/matematica/funcao-quadratica/ (seção "Forma canônica, vértice e eixo de simetria").
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Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- HØYRUP, J. Lengths, widths, surfaces: a portrait of Old Babylonian algebra and its kin. New York: Springer, 2002.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.