Emendas e saltos: partes crescentes fazem uma função crescente?

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Economia doméstica (modelo hipotético)

  Estacionamento por hora iniciada: a função degrau

  Cobrar por hora iniciada é aplicar a função teto: P(t) = p·⌈t⌉. Entre duas horas inteiras o preço é constante; logo depois de cada hora inteira, salta p. A aplicação calcula o preço para um tempo dado, compara com a cobrança proporcional p·t e mostra quanto se paga pela fração de hora, no modelo hipotético do tema.

  Como usar: aplicação resolvida

  <strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): um estacionamento cobra R$ 5 por hora iniciada. Quanto paga quem fica 2 h 06 min? Quanto pagaria se a cobrança fosse proporcional ao tempo? Até quando o preço fica o mesmo?

  Modelo: P(t) = p·⌈t⌉ para t > 0 (t em horas; ⌈t⌉ é o menor inteiro ≥ t). Com o tempo em minutos inteiros m: ⌈m/60⌉ (sem decimais de hora, para evitar erro de ponto flutuante).

  Dados — altere para recalcular

  Preço por hora iniciada p (R$) Tempo (min) Restaurar os dados

  1. t = 126/60 = 2,1 h; horas iniciadas ⌈t⌉ = 3.
  2. P = 5·3 = 15 reais.
  3. Proporcional: 5·126/60 = 10,5 reais; diferença = 4,5 reais.
  4. O preço fica em R$ 15 até 180 min (3 h) inclusive; com 1 minuto a mais, passa a R$ 20.

  Resultado: No modelo: R$ 15 por 126 min (cobrança proporcional daria 10,5).

  Leitura crítica: Modelo hipotético; regras reais podem ter tolerância inicial, frações de hora e diária. A função degrau é não decrescente, mas não crescente: constante entre as horas inteiras e com saltos de p logo depois de cada uma. Ficar um minuto além de uma hora inteira custa uma hora a mais.

• Física

  Movimento em etapas: posição sem saltos, distância com valor absoluto

  Quem anda com velocidade constante em cada etapa tem posição por partes afim; como ninguém se teletransporta, a posição não tem saltos — cada sentença começa onde a anterior terminou. Se a última etapa é de volta (velocidade negativa), a distância ao ponto de partida é |s(t)|, outra função por partes. A aplicação monta as sentenças pela condição de emenda e calcula posição e distância num instante.

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma pessoa caminha em linha reta a 1,5 m/s durante 120 s, para por 60 s e depois volta correndo a 2 m/s. Onde ela está 300 s após a partida? A que distância do ponto de partida? Quando passa por ele?

  Modelo: Velocidade constante em cada etapa ⇒ posição por partes afim: s(t) = v₁t (0 ≤ t ≤ t₁); s₁ (t₁ < t ≤ t₁ + t₂), com s₁ = v₁t₁; s₁ + v₃(t − t₁ − t₂) (t > t₁ + t₂). Sem saltos: cada sentença começa onde a anterior termina. Distância à partida: |s(t)|.

  Dados — altere para recalcular

  Velocidade na ida v₁ (m/s) Duração da ida t₁ (s) Parada t₂ (s) Velocidade na 3ª etapa v₃ (negativa = voltando) (m/s) Instante t (s) Restaurar os dados

  1. Sentenças: 1,5t, se 0 ≤ t ≤ 120; 180, se 120 < t ≤ 180; 180 − 2(t − 180), se t > 180.
  2. Emendas sem salto: em t = 120, 180 = 180; em t = 180, 180 = 180.
  3. t = 300 s está na 3ª sentença: s(300) = −60 m.
  4. Distância à partida: |s| = 60 m.
  5. Passa pela partida quando 180 + (−2)·(t − 180) = 0: t = 270 s.

  Resultado: Em t = 300 s: posição −60 m (distância 60 m da partida); passa pela partida em t = 270 s.

  Leitura crítica: Modelo idealizado: mudanças instantâneas de velocidade (na realidade há aceleração), trajetória retilínea. A posição não pode ter saltos — por isso as constantes de cada sentença são escolhidas pelas emendas. A distância |s(t)| é outra função por partes, com emenda no instante em que s troca de sinal; a velocidade, sim, salta de uma etapa para a outra.