MatLabG · Experiência
Taxa de variação constante: o invariante da reta
Três pontos quaisquer sobre y = ax + b têm a mesma taxa entre si — e mudar a escala dos eixos muda o desenho, não a taxa.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
O que permanece igual entre quaisquer pontos do gráfico de uma função afim — e o que muda quando mudamos apenas a escala dos eixos?
Execução restrita
Escolha a e b e arraste três pontos P, Q e R sobre a reta y = ax + b. As taxas P→Q, Q→R e P→R são sempre iguais a a: o invariante que caracteriza a função afim. Depois mude a razão entre as escalas dos eixos: a reta parece girar, ficando quase horizontal ou quase vertical, e o ângulo na tela muda — mas a taxa, lida nos números, não muda. Só com escalas iguais vale a = tg θ.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Física
Movimento com velocidade constante: a taxa é a velocidade
Num trecho em que a velocidade é constante, a posição é s(t) = s₀ + vt: função afim do tempo, com taxa v. Duas leituras (instante, posição) bastam para obter v e prever outras posições — desde que o ritmo se mantenha; na estrada real, é uma estimativa (atividade fa-07 do Laboratório Virtual G).
Como usar: aplicação resolvida
Um carro, em velocidade constante, passa pelo km 120 às 10 h e pelo km 300 às 12 h. Mantido o ritmo, em que quilômetro estará às 13 h 30 min?
Modelo: s(t) = s₁ + v(t − t₁), com v = (s₂ − s₁)/(t₂ − t₁) — função afim do tempo (velocidade constante).
- v = (300 − 120)/(12 − 10) = 90 km/h.
- s(13,5) = 120 + 90·(13,5 − 10) = 435 km.
Resultado: Previsão: km 435 às 13,5 h (velocidade 90 km/h).
Leitura crítica: A previsão vale se o ritmo se mantiver: é a hipótese que torna o modelo afim. Paradas, trânsito e mudanças de velocidade a invalidam; quanto mais longe dos dados, menos confiável a extrapolação.
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Engenharia civil (rampas e perfis)
Inclinação de rampa e desenho com escala vertical exagerada
A inclinação de uma rampa é a taxa altura ÷ comprimento horizontal, expressa em porcentagem; o ângulo real é arctg da taxa. Perfis de terreno e de estradas costumam ser desenhados com a escala vertical exagerada para tornar visíveis desníveis pequenos: o ângulo no desenho cresce, a inclinação não muda.
Como usar: aplicação resolvida
Uma rampa sobe 0,5 m ao longo de 6 m de comprimento horizontal. Qual a inclinação, em porcentagem e em graus? Num perfil desenhado com a escala vertical 5 vezes maior que a horizontal, que ângulo ela aparenta?
Modelo: Inclinação = taxa = h/c (m por m); em porcentagem, 100·h/c; ângulo real θ = arctg(h/c). Com exagero vertical k, o desenho mostra arctg(k·h/c); a inclinação não muda.
- Taxa: h/c = 0,5/6 ≈ 0,0833 (m por m) ≈ 8,33%.
- Ângulo real: arctg(0,0833) ≈ 4,76°.
- No desenho com exagero 5: arctg(0,4167) ≈ 22,62°.
Resultado: Inclinação ≈ 8,33% (≈ 4,8°); no perfil exagerado ela aparenta ≈ 22,6°.
Leitura crítica: A taxa (inclinação) é a mesma no terreno e em qualquer desenho; o ângulo desenhado depende da escala. Perfis exagerados são úteis para ver desníveis, mas não servem para medir ângulos.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.