Área e perímetro: grandezas independentes

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Agrimensura e economia

  Mesmo terreno, cercas diferentes

  Lotes de mesma área podem exigir quantidades muito diferentes de cerca. Entre os triângulos de mesma base e mesma altura, o isósceles é o de menor perímetro — o de menor custo de cercamento.

  Fontes: [1], [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Um terreno triangular tem frente de 40 m e profundidade (altura) de 30 m. O vértice do fundo pode ficar em várias posições. Quanto de cerca se economiza com o terreno isósceles?

  Modelo: Perímetro P(x) = b + √(x² + h²) + √((b − x)² + h²), com x a posição do vértice; mínimo em x = b/2.

  Dados — altere para recalcular

  Frente b (m) Profundidade h (m) Posição do vértice x (m) Preço da cerca (R$/m) Restaurar os dados

  1. Área (qualquer x): b · h ÷ 2 = 600 m².
  2. P(5) ≈ 116,51 m.
  3. P(b/2) ≈ 112,11 m (isósceles).
  4. Diferença: ≈ 4,4 m; a R$ 50 o metro, ≈ 220,03 reais.

  Resultado: O isósceles economiza ≈ 4,4 m de cerca (≈ 220,03 reais).

  Leitura crítica: Mesma área, custos diferentes: área e perímetro são grandezas independentes.

• Óptica

  O menor caminho e a reflexão

  Heron de Alexandria observou que a luz refletida num espelho segue o caminho mais curto entre dois pontos passando pelo espelho. A mesma reflexão encontra o triângulo de perímetro mínimo desta experiência.

  Fonte: [3]

  Como usar: aplicação resolvida

  A luz sai de A, a 3 m de um espelho plano, reflete e chega a B, a 5 m do espelho; A e B estão a 12 m um do outro ao longo do espelho. Onde a luz toca o espelho e qual o comprimento do caminho?

  Modelo: Reflita B no espelho: o menor caminho é o segmento de A ao reflexo, L = √(d² + (a + b)²); toque em x = d · a/(a + b).

  Dados — altere para recalcular

  Distância de A ao espelho (m) Distância de B ao espelho (m) Separação ao longo do espelho d (m) Restaurar os dados

  1. L = √(12² + (3 + 5)²) ≈ 14,422 m.
  2. Ponto de toque: x = 12 · 3 ÷ (3 + 5) = 4,5 m a partir do pé de A.
  3. Ângulo de incidência = ângulo de reflexão ≈ 56,31° com a normal.

  Resultado: Toque a 4,5 m; caminho de ≈ 14,42 m.

  Leitura crítica: É a mesma reflexão que encontra o triângulo de perímetro mínimo na experiência (Heron de Alexandria).