MatLabG · Experiência
O caso LLA: quando os dados não bastam
Ambiguidade, congruência e o que torna uma estrutura rígida.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Dois lados e um ângulo não compreendido determinam um único triângulo? Em que condições sim?
Execução restrita
Fixe o ângulo em A e o lado AB e faça BC variar: surgem nenhum, um ou dois triângulos com os mesmos dados. É por isso que LLA não é caso de congruência — e por isso que estruturas precisam de triângulos bem determinados.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Engenharia
Determinação e rigidez
Um projeto precisa de dados que determinem a forma sem ambiguidade. Barras com os três comprimentos fixados (LLL) formam um único triângulo; já informar dois comprimentos e um ângulo que não está entre eles pode admitir duas montagens diferentes, como mostra a experiência.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Um projeto informa  = 30°, AB = 10 m e BC = 6 m. Quantas montagens são possíveis, e com que medidas de AC?
Modelo: h = c · sen Â; se h < a < c, AC = c · cos  ± √(a² − h²) (duas soluções).
- h = 10 · sen 30° ≈ 5 m.
- √(a² − h²) = √(6² − h²) ≈ 3,32 m; c · cos  = 10 · cos 30° ≈ 8,66 m.
- AC ≈ 5,34 ou ≈ 11,98 m.
Resultado: Duas montagens: AC ≈ 5,34 m ou ≈ 11,98 m.
Leitura crítica: Quando os dados admitem duas montagens, um projeto precisa de uma informação a mais (por exemplo, o terceiro lado). LLL, LAL e ALA não têm esse problema.
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Navegação e topografia
Duas posições possíveis
Quem conhece a direção em que está um objeto e a distância a outro ponto pode estar em dois lugares: é a interseção de uma reta com uma circunferência. Levantamentos resolvem a ambiguidade com uma medida a mais.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um barco sabe que está a 5 km de um farol e que navega numa rota retilínea que passa a 3 km do farol. Em que pontos da rota ele pode estar, e a que distância um do outro?
Modelo: Interseção de reta com circunferência: os pontos distam √(r² − h²) do pé da perpendicular; separação 2√(r² − h²).
- √(r² − h²) = √(5² − 3²) = 4 km do pé da perpendicular.
- Separação entre as duas posições: 2√(r² − h²) = 8 km.
Resultado: Duas posições possíveis, a 8 km uma da outra.
Leitura crítica: Uma segunda medida (outro farol ou a direção) desfaz a ambiguidade.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria plana. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.