Cilindros: planificação e a lata de menor área

Conexões com a realidade e com outras áreas

Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.

• Engenharia de produção

  Embalagens

  Para um volume fixo e material de espessura uniforme, a menor área total ocorre com h = 2r. Latas reais costumam ter outras proporções porque tampa e fundo são mais espessos que a lateral, há costuras, encaixes e exigências de empilhamento e de pegada: o modelo simples é o ponto de partida da análise, não a resposta final.

  Fontes: [1], [2]

  Como usar: aplicação resolvida

  Uma lata de 350 mL tem raio de 3,3 cm. Quanto material a mais ela usa em relação à lata de mesmo volume e menor área total?

  Modelo: h = V/(πr²); área total A = 2πr² + 2πrh; ótimo (espessura uniforme) em h = 2r, r* = ∛(V/(2π)).

  Dados — altere para recalcular

  Volume (mL) Raio da lata real (cm) Restaurar os dados

  1. Altura da lata real: h = V/(π r²), com V = 350 e r = 3,3: h ≈ 10,23 cm; área ≈ 280,5 cm².
  2. Ótimo: r* = ∛(V/(2π)) com V = 350, isto é, r* ≈ 3,82 cm, h* ≈ 7,64 cm; área 6π r*² ≈ 274,9 cm².
  3. Diferença: ≈ 5,6 cm² (≈ 2%).

  Resultado: A lata real usa ≈ 2% a mais de superfície que a de menor área.

  Leitura crítica: O fundo e a tampa costumam ser mais espessos que a lateral, e há rebordos, costuras e exigências de empilhamento e pegada: com esses custos, o formato ótimo muda.