MatLabG · Experiência
Cones: o setor da planificação e as secções cônicas
Circunferência, elipse, parábola e hipérbole num só sólido.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Que curvas aparecem quando um plano corta um cone, e o que decide qual delas aparece?
Execução restrita
Planifique o cone e meça o ângulo do setor. Depois corte-o com um plano cada vez mais inclinado: a curva de corte passa de circunferência a elipse, parábola e hipérbole — as curvas das órbitas planetárias, das antenas parabólicas e da luz de um abajur na parede.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Física
Órbitas e antenas
Os planetas descrevem elipses com o Sol num dos focos (primeira lei de Kepler). Antenas e faróis usam superfícies parabólicas porque a parábola concentra num foco o que chega paralelo ao eixo, e vice-versa.
Fonte: [3]
Como usar: aplicação resolvida
Uma antena parabólica tem 60 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. Onde deve ficar o receptor (foco)?
Modelo: Parábola y = x²/(4f); na borda, d = (D/2)²/(4f) ⇒ f = D²/(16d).
- f = D²/(16d) = 3600 / (16 × 6) ≈ 37,5 cm.
Resultado: O receptor fica a ≈ 37,5 cm do fundo, sobre o eixo.
Leitura crítica: Sinais que chegam paralelos ao eixo convergem para o foco: é a propriedade refletora da parábola.
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História da matemática
Apolônio
Apolônio de Perga estudou as cônicas como secções de um cone e deu a elas os nomes que usamos. Quase dois mil anos depois, essas curvas ganharam papel central na astronomia de Kepler.
Fonte: [2]
Como usar: aplicação resolvida
Um plano corta um cone cuja geratriz faz β com a base. Qual a excentricidade da cônica para cada inclinação α do plano?
Modelo: e = sen α / sen β (α e β medidos em relação à base): e = 0 circunferência; 0 < e < 1 elipse; e = 1 parábola; e > 1 hipérbole.
- e = sen(α)/sen(β), com α = 30° e β = 66,4°: sen(α) ≈ 0,5, sen(β) ≈ 0,9164 e e ≈ 0,5456.
Resultado: e ≈ 0,546: elipse.
Leitura crítica: A órbita da Terra tem excentricidade ≈ 0,017: é uma elipse quase circular. O valor inicial de β corresponde ao cone da experiência (r = 1,4; h = 3,2).
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Óptica do cotidiano
A luz do abajur
O feixe de luz de um abajur de cúpula circular forma um cone; a parede vertical o corta e desenha na parede ramos de hipérbole. Inclinar a cúpula muda a curva.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
A cúpula de um abajur produz um cone de luz com semiabertura de 35°. A parede fica a 30 cm do eixo da luz. A que distância do vértice do cone, ao longo do eixo, fica o vértice da hipérbole desenhada na parede?
Modelo: Na parede (plano paralelo ao eixo, à distância d), o cone y² + d² = (z · tg θ)² dá uma hipérbole com vértice em z₀ = d/tg θ.
- z₀ = d / tg(θ), com d = 30 e tg(θ) ≈ 0,7002: z₀ ≈ 42,84 cm.
Resultado: O vértice da hipérbole está ≈ 42,8 cm adiante do vértice do cone de luz.
Leitura crítica: Aproximar o abajur da parede (d menor) ou abrir mais a cúpula (θ maior) aproxima o vértice e abre os ramos.
Referências
- DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013.
- BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.
- HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 2.