MatLabG · Experiência
Divisão longa: por que o período se repete (e não passa de b − 1)
Os restos da divisão numa tabela e num relógio: quando um resto reaparece, tudo se repete — e o critério dos fatores 2 e 5.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Por que a divisão de dois inteiros termina ou se repete — e o que limita o tamanho do período?
Execução restrita
Escolha a e b e avance a divisão de a por b passo a passo. A tabela mostra, em cada passo, o resto × 10, o algarismo e o novo resto; o relógio dos restos mostra os b restos possíveis numa circunferência e uma seta de cada resto para o seguinte. Antes de revelar, preveja: a representação é finita ou periódica? Quantos algarismos tem o período? Ao revelar, aparecem o período, o anteperíodo, a fração irredutível e a fatoração do denominador. A tela mostra finitos passos; a certeza de que o bloco se repete para sempre vem do argumento dos restos.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Calendário
Dias da semana: os restos que se repetem
Os dias da semana se repetem a cada 7 dias, como os restos da divisão por 7: o dia da semana daqui a N dias depende só do resto de N por 7. A aplicação calcula o dia da semana e o número de semanas completas.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Hoje é quarta-feira. Que dia da semana será daqui a 100 dias? Quantas semanas completas se passam?
Modelo: Os dias da semana se repetem a cada 7 dias: o dia daqui a N dias depende só do resto de N por 7 (como os passos da divisão longa dependem só do resto).
- 100 = 7 · 14 + 2: 14 semanas completas e resto 2.
- As semanas completas não mudam o dia; o resto 2 avança 2 dias: quarta-feira + 2 = sexta-feira.
Resultado: Daqui a 100 dias será sexta-feira (14 semanas completas).
Leitura crítica: Como na divisão longa, só o resto importa, e há só 7 restos possíveis: por isso o calendário semanal se repete. O calendário real tem outras irregularidades (meses, anos bissextos), mas a semana de 7 dias não as tem.
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Partilha de dinheiro (modelo hipotético)
Dividir em centavos: o resto é o que sobra
Dividir uma quantia igualmente entre várias pessoas, em centavos, deixa um resto quando a divisão não é exata; a divisão em reais é uma dízima. A aplicação calcula quanto cada pessoa recebe, quantos centavos sobram e o início da dízima.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): R$ 250,00 são divididos igualmente entre 7 pessoas, e cada uma recebe o valor arredondado para baixo, em centavos. Quanto recebe cada uma e quantos centavos sobram? Como é a divisão em reais?
Modelo: Em centavos, a divisão é de inteiros: 25 000 = 7·q + r. Cada pessoa recebe q centavos e sobram r centavos. Em reais, 250/7 tem representação periódica (7 não é 2 nem 5).
- Em centavos: 25000 = 7 · 3571 + 3.
- Cada pessoa: 3571 centavos = R$ 35,71; sobram 3 centavos.
- Em reais: 250/7 = 35,714285714285714285… (período 714285).
Resultado: Cada pessoa recebe R$ 35,71; sobram 3 centavos.
Leitura crítica: Modelo hipotético. Dinheiro só tem duas casas decimais: quando a divisão em reais não termina em duas casas, alguma regra de arredondamento é inevitável, e o resto da divisão em centavos diz exatamente quanto sobra.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.