8º ano · Execução restrita
Três quadros empilhados mostram situações diferentes sob a mesma mudança: o lado do quadrado e o perímetro; a base e a altura dos retângulos de área 24 cm²; a base e a altura dos retângulos de perímetro 20 cm — o Explorar do tema. Avance a linha da tabela nos três quadros ao mesmo tempo, veja as figuras mudarem e classifique cada quadro antes de revelar. Peça os quocientes e os produtos para conferir. Outros trios trazem a área do quadrado (cresce junto, mas não é proporcional) e três modelos hipotéticos do tema: combustível, ração e caixa d'água. Na investigação guiada, classifique e diga o que fica constante: o quociente, o produto ou nenhum.
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Seis gráficos sem expressão: uma reta pela origem, uma hipérbole, uma reta que desce, uma reta que sobe sem passar pela origem, uma curva que desce cada vez mais devagar dentro da janela e uma curva que sai da origem. Decida a natureza de cada um e a pista decisiva; depois marque três pontos, calcule y ÷ x e x · y neles e revele a expressão. O gráfico E merece atenção: dentro da janela, ele desce cada vez mais devagar e não toca os eixos. Isso basta para ser hipérbole? No modo livre, explore as famílias y = ax, y = a/x e y = ax + b.
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Escolha a, b e c de a·x + b·y = c. A prancheta marca os pares de coordenadas inteiras que satisfazem a equação, destaca uma linha da tabela (com o valor exato de y, inclusive frações) e mostra os degraus: quando x aumenta 1, y varia sempre o mesmo. Teste qualquer ponto e decida se ele está na reta.
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Mude a, b e c e observe a reta: os cortes com os eixos, o degrau inteiro (x varia b, y varia −a), as retas com os mesmos a e b e outro c (paralelas) e a equação multiplicada por k (a mesma reta). Investigue retas horizontais, verticais, pela origem — e a equação 0x + 0y = c, que não é reta.
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Cada equação do sistema é uma balança em equilíbrio. Escolha o método — adição (com os multiplicadores que você decidir), substituição (o que isolar e onde) ou comparação — e acompanhe as etapas, uma a uma, até o par e a verificação. Veja também o que acontece quando as incógnitas desaparecem: 0 = 0 ou 0 = 3.
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Situações-problema (planos de telefone, estacionamento, lanchonete, galinhas e coelhos) e um modo livre: cada equação é uma reta, e a resposta é o ponto comum. Uma linha de leitura percorre a tabela e mostra a diferença entre as duas retas mudando sempre o mesmo tanto até zerar. Compare com retas paralelas e com a mesma reta, e interprete a solução no contexto.
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Escolha uma expressão (−x², 2x − 3, x² − 3x + 2, um quociente, 2x², uma soma de frações) e um valor x = p/q, inclusive negativo, nulo ou fracionário. A prancheta substitui x entre parênteses e calcula passo a passo, na ordem das operações, com valores exatos. Ao lado, o mesmo x passa por um erro típico, descrito em palavras: a conta do erro é a conta correta de OUTRA expressão. Há valores de x para os quais a expressão não tem valor (divisão por zero).
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Fórmulas com contexto — diagonais de um polígono, soma 1 + 2 + … + n, área do trapézio — e cálculos por propriedade — a·b + a·c = a·(b + c) e termos semelhantes. Para cada caso, a prancheta calcula por dois caminhos equivalentes, conta as operações de cada um e confere que o valor é o mesmo, em aritmética exata. Ela também distingue "a expressão tem valor" de "o valor serve ao contexto": n(n − 3)/2 vale −1 para n = 2, mas não existe polígono de 2 lados.
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Escolha a e b inteiros e veja a curva y = ax² e a reta horizontal y = b. Para a ≠ 0, dividir por a dá a equação equivalente x² = b/a, e o sinal de b/a decide: duas soluções opostas, ±√(b/a), se b/a > 0; só x = 0 se b = 0; nenhuma real se b/a < 0. As leituras escrevem as soluções na forma exata, com o radical simplificado, a aproximação declarada com ≈ e a verificação. Com a = 0 não há termo x²: a equação vira 0 = b, verdadeira para todo x ou falsa para todo x.
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Três contextos levam a uma equação kx² = b: k quadrados iguais de lado x com área total b, uma caixa de base quadrada de lado x e altura k com volume b, e um número desconhecido cujo quadrado, vezes k, é b. As leituras resolvem a equação (±√(b/k)) e depois decidem quais soluções o problema aceita — um comprimento é positivo; um número pode ser negativo. Quando a raiz é irracional, a prancheta a enquadra entre decimais consecutivos, arredonda com o número de casas escolhido e mostra que o decimal arredondado não satisfaz a equação exatamente.
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Monte a regra aₙ₊₁ = k·aₙ + d, escolha o termo inicial a₁ e quantos termos escrever. O fluxograma mostra o algoritmo — atribuir a₁, escrever, decidir se já chegou ao último termo, aplicar a regra e voltar —, e as leituras o executam num teste de mesa, passo a passo. Os termos aparecem como pontos isolados nas posições inteiras. A prancheta mostra que a mesma regra com outro termo inicial gera outra sequência (a recursão precisa do termo inicial), conta quantas vezes a caixa de cálculo roda e diz quando a sequência é constante.
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Escolha uma sequência figural — quadrados de palitos, faixa de triângulos, pontos em L, em quadrado ou em retângulo — e veja a figura da posição n, os primeiros termos como pontos isolados e o fluxograma do termo geral: ler n, calcular f(n), escrever. As leituras justificam a lei pela figura, calculam qualquer termo em uma só conta, comparam com a versão recursiva (que precisaria de n − 1 passos), descrevem a regularidade das diferenças e decidem se um número dado é termo da sequência, procurando uma posição inteira n ≥ 1.
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