MatLabG · Experiência
Fração geratriz: a álgebra encontra, a divisão confirma
Monte uma dízima, siga o procedimento algébrico por etapas e confira a fração pela divisão — inclusive quando o período é 9.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como encontrar a fração que gera uma dízima periódica — e como ter certeza de que ela gera exatamente essa dízima?
Execução restrita
Monte uma dízima periódica escolhendo a parte inteira, o anteperíodo e o período. Siga as etapas do procedimento do tema: multiplicar por potências de 10 para alinhar as partes que se repetem, subtrair e isolar x. Preveja a fração antes de revelá-la e, por fim, confira pela divisão longa, que é a verificação completa. Uma lupa mostra como cada casa decimal prende o número num intervalo dez vezes menor. Quando o período é 9, a divisão da fração encontrada termina: são duas escritas do mesmo número — e a demonstração está no tema, não na tela.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Medidas de tempo
Horas em dízima: 1,8333… h são quantos minutos?
Um tempo calculado como dízima periódica de horas (por exemplo, uma distância dividida por uma velocidade) só vira horas e minutos exatos pela fração geratriz. A aplicação converte uma dízima de horas em fração e em horas e minutos.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um percurso levou 1,8333… h (o 3 se repete). Quantas horas e minutos são, exatamente?
Modelo: Fração geratriz (tema): com parte inteira I, anteperíodo A (1 algarismo) e período P (1 algarismo), x = I + (AP − A)/90. Em minutos: x · 60.
- x = 1,8333…; 10x = 18,333…; 100x = 183,333….
- Subtraindo: 90x = 165; x = 11/6 h.
- Em minutos: 11/6 · 60 = 110 min = 1 h e 50 min.
Resultado: 1,8333… h = 11/6 h = 1 h 50 min.
Leitura crítica: Usar 1,83 h daria 1,83 · 60 = 109,8 min, não os 110 min exatos: truncar a dízima antes de converter introduz erro.
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Planilhas e calculadoras
Truncar uma dízima e multiplicar de volta
Uma planilha que guarda 1/b com poucas casas e multiplica de volta por b não obtém 1: o erro é exatamente o que o truncamento descartou. A aplicação calcula esse erro, de forma exata, para o número de casas escolhido.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Uma planilha guarda 1/12 com 4 casas decimais (truncado) e multiplica o valor guardado por 12. Que resultado aparece, e qual é o erro em relação a 1?
Modelo: Truncar 1/b com k casas guarda t = ⌊10ᵏ/b⌋/10ᵏ. Então b·t = (10ᵏ − r)/10ᵏ, onde r é o resto de 10ᵏ por b, e o erro 1 − b·t = r/10ᵏ (exato).
- Guardado: 1/12 ≈ 0,0833 (truncado com 4 casas).
- 12 · 0,0833 = 0,9996.
- Erro: 1 − 0,9996 = 4/10000 = 0,0004.
Resultado: Resultado 0,9996 ≠ 1; erro 0,0004.
Leitura crítica: O erro é o resto da divisão de 10ᵏ por b, dividido por 10ᵏ: diminui com mais casas, mas só é zero quando a representação de 1/b é finita (denominador só com fatores 2 e 5). Para operar exatamente, use a fração.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.