9º ano · Execução restrita
Escolha uma figura de palitos — fileira de quadrados, de triângulos ou de hexágonos, duas fileiras ou uma grade — e o número de peças. Conte os palitos e só então peça a contagem e a tabela, que cresce junto com a figura. Preveja quantos palitos tem uma figura grande, que você não vai desenhar, e proponha uma fórmula do tipo palitos = a·n + b. O programa procura o primeiro n em que a sua fórmula falha. Na grade, uma fórmula que acerta os dois primeiros casos falha no terceiro: as variações não são constantes, e nenhuma fórmula a·n + b serve.
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Cada cartão traz uma relação: aluno → altura, altura → aluno, número → quadrado, número → números cujo quadrado é ele, aluno → time (com alguém sem time), aluno → turma, aluno → irmão. Decida se é função e escolha a justificativa; só então verifique. O programa confere todas as entradas e, quando a relação não é função, mostra o contraexemplo: uma entrada com duas saídas ou uma entrada sem saída. Repare nos casos em que duas entradas diferentes têm a mesma saída: isso é permitido. Por fim, construa a sua própria relação com as flechas.
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Cinco situações com a tabela marcada no gráfico: palitos e quadradinhos, ingressos de cinema, pessoas numa excursão, um reservatório que esvazia (V(t) = 500 − 20t, modelo hipotético) e uma caminhada em ritmo constante. Em cada uma, decida se os pontos devem ser ligados e só então revele o que a situação permite. Leia com a fórmula um valor intermediário — 3,5 quadradinhos, 2,5 ingressos, 7,5 horas — e julgue: ele tem sentido na situação? O critério não é a forma do gráfico, e sim que valores a variável independente pode assumir.
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Uma viagem em dois ou três trechos, cada um com sua velocidade média, e às vezes uma parada. Antes de qualquer conta, registre a sua previsão da velocidade média da viagem toda: ela aparece como uma reta no gráfico distância × tempo. Calcule o tempo de cada trecho e só então peça os tempos. Ao revelar, a reta tracejada da origem ao fim da viagem tem inclinação igual à velocidade média, v_m = Δs/Δt; a reta pontilhada da “média das velocidades” não chega ao fim da viagem. Em algumas viagens a média das velocidades fica acima da velocidade média, em outras abaixo, e pode até coincidir: descubra em quais e por quê.
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No modo densidade, o território de um município hipotético é uma malha: a área urbana (sombreada) ocupa uma fração do território e abriga uma fração da população; os pontos de cada célula são proporcionais à densidade da parte. Preveja a densidade do município todo antes de revelar: ela não é a média das densidades das partes e não descreve nenhuma delas. No modo escala, um segmento e um quadrado num mapa 1 : n: calcule a distância e a área reais. A escala compara centímetro com centímetro — mesma espécie, sem unidade — e as áreas ficam multiplicadas por n², enquanto a densidade divide habitantes por km² e tem unidade.
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Uma quantia N é dividida entre duas ou três pessoas em partes diretamente proporcionais a números a, b, c — ou inversamente proporcionais a eles. Preveja quem recebe a maior parte. Peça os pesos inteiros e a parte unitária k = N ÷ (soma dos pesos), que aparecem como uma barra repartida em pedaços iguais; depois revele as partes e a conferência: na direta, parte ÷ número é o mesmo para todos; na inversa, parte × número. Ponha ao lado o erro do tema — dividir na ordem invertida dos números: a soma dá N, mas os produtos não são iguais.
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Um par conhecido K = (x₁; y₁) e um novo valor x₂. A regra de três direta supõe que o gráfico da situação é a reta pela origem que passa por K; a inversa, que é a hipérbole x·y = x₁·y₁. Antes de revelar, decida qual regra é legítima — talvez nenhuma — e peça o que cada uma daria. Ao revelar, o gráfico verdadeiro da situação aparece: na impressora, coincide com a reta; nos pintores e no percurso, com a hipérbole; no frete, no reservatório e no táxi, com nenhuma — e o erro da regra direta é exatamente b·(1 − x₂/x₁), em que b é a parte fixa.
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Escolha (a + b)², (a − b)² ou (a + b)(a − b) e os valores de a e b, inclusive nulos, negativos e frações. Quando a e b são medidas positivas, um quadrado ou retângulo é decomposto em peças rotuladas com as áreas exatas; sempre, o cálculo direto e o desenvolvimento são comparados em frações. O erro (a + b)² = a² + b² é medido pela diferença 2ab, que só se anula quando a = 0 ou b = 0.
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Escolha uma equação do 2º grau (com fator comum, trinômio quadrado perfeito, diferença de quadrados ou soma e produto) ou monte a sua a partir de a·(x − r)(x − s). A prancheta mostra a forma fatorada, confere a fatoração por expansão, aplica a lei do anulamento do produto e verifica cada raiz por substituição exata; o gráfico de y = p(x) marca as raízes. Inclui raiz dupla, raiz nula, raízes fracionárias e negativas, um produto igual a 6 (onde o anulamento não se aplica), uma equação sem raiz real e outra com raízes irracionais.
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