MatLabG · Experiência
Expoente zero e negativo: a escada das divisões
Descer um degrau é dividir pela base — até onde o padrão pode ir?
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como estender aⁿ a expoentes zero e negativos de modo que o padrão “cada degrau divide pela base” e as propriedades das potências continuem valendo — e por que isso é impossível com base 0?
Execução restrita
Escolha uma base (inteira, fracionária, negativa, 1, −1 ou 0) e percorra a escada das potências aᵏ de k = 6 a k = −6: cada degrau para baixo divide por a. O padrão explica por que a⁰ = 1 e por que a⁻ⁿ é o inverso de aⁿ, e as propriedades aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ e aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ são conferidas em frações exatas. Com base 0, o padrão para: descer de 0¹ exigiria dividir por 0, e a potência de base 0 com expoente 0 ou negativo não é definida. Os erros frequentes (resultado negativo, produto base × expoente) são calculados e comparados ao valor correto.
A execução integral é aberta a quem tem acesso concedido pela Administração do Portal. Entre com sua conta ou veja como participar na página Acesso.
Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
-
Química (modelo hipotético)
Reduzir à metade a cada período
Num modelo hipotético em que uma quantidade se reduz à metade a cada período, a quantidade depois de t períodos é Q₀·2⁻ᵗ; com t negativo, o mesmo modelo dá a quantidade antes do início. A aplicação calcula exatamente e discute os limites do modelo.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma amostra tem Q₀ unidades de uma substância que se reduz à metade a cada período. Quanto há t períodos depois do início — e quanto havia t períodos antes (t negativo)?
Modelo: Q(t) = Q₀·2⁻ᵗ, com t inteiro: cada período multiplica por 1/2; voltar um período multiplica por 2. Q(0) = Q₀ porque 2⁰ = 1.
- Q(3) = 800·2⁻³.
- 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1 ÷ 8: um fator 1/2 por período.
- Q(3) = 800 ÷ 8 = 100.
Resultado: Depois de 3 períodos, Q(3) = 800·2⁻³ = 100: o modelo dá 100 unidades.
Leitura crítica: O expoente negativo de 2 aparece naturalmente: avançar no tempo é multiplicar por 2⁻¹ a cada período. No modelo a quantidade nunca chega a zero; numa amostra real, feita de partículas, o decaimento é aleatório e o modelo só descreve a tendência média. Valores com casas decimais mostram que o modelo contínuo deixa de valer quando sobram poucas unidades.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.