MatLabG · Experiência
Com ou sem reposição: a árvore que muda
Uma urna de bolas vermelhas e azuis, duas ou três retiradas: a fração de cada ramo depende do que saiu antes.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como a reposição (ou não) da bola muda as frações da árvore — e por que a probabilidade de um caminho é o produto dos ramos?
Execução restrita
Escolha quantas bolas vermelhas e azuis tem a urna, duas ou três retiradas e se a bola volta ou não. A árvore de probabilidades aparece com "?" em cada ramo: escreva a fração de cada ramo, já levando em conta o que saiu antes, multiplique ao longo dos caminhos e some os favoráveis ao evento. Só ao revelar aparecem as frações, os produtos, os caminhos favoráveis (✓), a probabilidade conferida por contagem de sequências de bolas numeradas e a outra versão (com × sem) para comparar; DADOS SIMULADOS conferem. Na investigação guiada: a mesma fração repetida, só um caminho, uma vermelha em três retiradas e o desconto só no numerador.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Controle de qualidade (modelo hipotético)
Amostra de duas peças de um lote, sem devolver
Na inspeção, as peças retiradas não voltam ao lote: a 2ª fração já conta a 1ª retirada. A aplicação calcula a probabilidade de nenhuma defeituosa sem e com reposição.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): um lote tem 50 peças, 4 delas defeituosas. Um inspetor retira 2 peças ao acaso, sem devolver. Qual é a probabilidade de nenhuma ser defeituosa? Compare com a retirada com reposição.
Modelo: Árvore de probabilidades: sem reposição, a 2ª fração já leva em conta a 1ª retirada; regra do produto P(A e B) = P(A) · P(B, sabendo que A ocorreu). Com reposição, as retiradas são independentes.
- 1ª boa: 46/50. Sabendo que a 1ª foi boa, restam 45 boas em 49: 45/49.
- Sem reposição: 46/50 · 45/49 = 207/245 ≈ 0,8449.
- Com reposição: 46/50 · 46/50 = 529/625 = 0,8464.
Resultado: Nenhuma defeituosa, sem reposição: 207/245 ≈ 0,845; com reposição: 529/625 ≈ 0,846.
Leitura crítica: Modelo hipotético. Sem reposição a chance de duas boas é um pouco menor: cada boa retirada deixa menos boas no lote. Em lotes grandes, as duas contas ficam próximas; em lotes pequenos, a diferença pesa. Uma amostra de 2 peças diz pouco sobre o lote.
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Organização escolar (modelo hipotético)
Sorteio de uma comissão de duas pessoas
Sortear duas pessoas diferentes é retirar sem reposição. A aplicação soma os dois caminhos de "uma menina e um menino" e compara com o sorteio com reposição.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma turma tem 14 meninas e 16 meninos. Sorteiam-se duas pessoas diferentes para uma comissão. Qual é a probabilidade de a comissão ter uma menina e um menino?
Modelo: Dois caminhos na árvore: (menina, menino) e (menino, menina); multiplica-se ao longo de cada caminho e somam-se os caminhos, que não ocorrem juntos. Sem repetição de pessoa: sem reposição.
- Caminho (menina, menino): 14/30 · 16/29.
- Caminho (menino, menina): 16/30 · 14/29.
- Soma: 448/870 = 224/435 ≈ 0,515 ≈ 51,5%.
Resultado: P(uma menina e um menino) = 224/435 ≈ 0,515.
Leitura crítica: Modelo hipotético (sorteio justo). Se a mesma pessoa pudesse sair duas vezes (com reposição), daria 112/225 ≈ 0,498. Contar só um caminho daria metade do valor correto.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.