MatLabG · Experiência
Aproximar √2: bisseção, método decimal e o erro
Intervalos cada vez menores, com extremos e quadrados exatos: quantos passos para uma tolerância — e por que nenhum passo chega a √2.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Como aproximar √2 tanto quanto se queira, quantos passos isso custa em cada método — e por que nenhuma aproximação é exata?
Execução restrita
Aproxime √2 por dois métodos: a bisseção, que divide o intervalo ao meio, e o método decimal, que divide em 10 partes (uma casa a mais por passo). Lupas ampliam os últimos intervalos. Os extremos e seus quadrados são exatos — a decisão de que lado fica √2 compara o quadrado com 2 sem arredondar. Escolha uma tolerância, preveja quantos passos cada método precisa e revele. O comprimento do intervalo limita o erro; a aproximação se escreve com “≈”. Nenhum extremo tem quadrado 2: a tela mostra finitos passos, e o teorema do tema garante que o processo nunca termina nem se repete.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Computação
Quantos passos a bisseção custa?
A bisseção é usada em computação para aproximar soluções; cada passo divide o intervalo ao meio, e o número de passos para uma tolerância se calcula antes de rodar. A aplicação aproxima o lado de um quadrado de área dada (não quadrado perfeito) e calcula os passos, o intervalo final e seu comprimento, exatos.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Um quadrado tem 7 m² de área. Aproxime o seu lado (√7) por bisseção, começando com o intervalo de 2 a 3, até um comprimento menor que 0,005 m. Quantos passos são necessários e qual é o intervalo final?
Modelo: Bisseção: a cada passo, m = (a + b)/2; como m² ≠ A (quando A não é quadrado perfeito), fica-se com [a; m] se m² > A e com [m; b] se m² < A. Depois de n passos, comprimento 1/2ⁿ. Comparações exatas com inteiros.
- Início: 2² = 4 < 7 < 9 = 3², intervalo de 2 a 3.
- Passos: 1/2ⁿ < 1/200 exige 2ⁿ > 200: n = 8.
- Intervalo final (exato): 2,64453125 < √7 < 2,6484375, comprimento 0,00390625.
Resultado: 8 passos; 2,64453125 m < lado < 2,6484375 m.
Leitura crítica: O número de passos se calcula antes de rodar: cada passo divide o comprimento por 2. Nenhum extremo é igual a √7 (que é irracional, por um argumento como o do tema para √2).
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Medidas
Multiplicar uma aproximação multiplica o erro
Com 1,41 < √2 < 1,42, tem-se k·1,41 < k√2 < k·1,42: o intervalo de k√2 é k vezes mais largo. A aplicação calcula as cotas de k√2 para k e número de casas escolhidos e mostra quantas casas de √2 são necessárias para uma precisão desejada em k√2.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
Usando 1,41 < √2 < 1,42, entre que valores está 8√2? E quantas casas de √2 são necessárias para que o intervalo de 8√2 tenha comprimento menor que 0,01?
Modelo: Se a < √2 < b, então k·a < k√2 < k·b (k > 0): o comprimento fica multiplicado por k. Com n casas (método decimal), o comprimento de √2 é 10⁻ⁿ e o de k√2 é k·10⁻ⁿ.
- Com 2 casas: 1,41 < √2 < 1,42.
- Multiplicando por 8: 11,28 < 8√2 < 11,36; comprimento 0,08.
- Para comprimento menor que 0,01: 8·10⁻ⁿ < 0,01 exige n = 3 casas.
Resultado: 11,28 < 8√2 < 11,36; para precisão 0,01 em 8√2, 3 casas de √2.
Leitura crítica: Multiplicar uma aproximação multiplica o erro: convém manter a forma exata (k√2) e aproximar só no fim, com as casas que a precisão final exige.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.