MatLabG · Experiência
A diagonal do quadrado: duplicar, medir, transportar
Quatro quadrados, um quadrado inclinado de área 2L², o compasso que leva a diagonal à reta e uma unidade comum que nunca aparece.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
Quanto mede a diagonal de um quadrado de lado L — e existe uma unidade que meça exatamente o lado e a diagonal?
Execução restrita
Escolha o lado L de um quadrado numa malha. Duplique (quatro cópias formam o quadrado de lado 2L), trace as diagonais e preveja a área do quadrado inclinado contando metades; só então revele: 4 metades de L², isto é, 2L² — logo d² = 2L², sem régua e sem o teorema de Pitágoras. Com o compasso, leve a diagonal para a reta: o ponto fica localizado exatamente. Por fim, procure uma unidade que caiba um número inteiro de vezes no lado e na diagonal: para cada q testado, sobra um pedaço. A tela confere finitos casos; que nenhuma unidade serve é a demonstração do tema.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Construção (modelo hipotético)
Fita na diagonal de um piso quadrado
Para cobrir a diagonal de um piso quadrado de lado L com uma fita, o comprimento exato é L√2; na prática usa-se uma aproximação, com cotas exatas: L·1,41421 < L√2 < L·1,41422. A aplicação calcula as cotas e recomenda comprar pela cota superior.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): uma fita decorativa será colada na diagonal de um piso quadrado de 3,6 m de lado. Que comprimento de fita é necessário?
Modelo: Diagonal do quadrado de lado L: d = L√2 (d² = 2L², tema). Como 1,41421 < √2 < 1,41422 (os quadrados conferem: 1,41421² = 1,9999899241 < 2 < 2,0000182084 = 1,41422²), tem-se L·1,41421 < d < L·1,41422.
- Valor exato: d = 3,6·√2 m.
- Cotas: 3,6 · 1,41421 = 5,091156 < d < 5,091192 = 3,6 · 1,41422.
Resultado: d = 3,6√2 m ≈ 5,091156 m; compra-se pela cota superior (5,091192 m, ou mais, para cortes).
Leitura crítica: Modelo hipotético. Nenhum decimal é igual a d, porque √2 é irracional; as cotas dizem o erro máximo da aproximação. Na obra, perdas de corte pesam mais que a quinta casa decimal.
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Horta (modelo hipotético)
Dobrar a área de um canteiro quadrado
Um canteiro quadrado com o dobro da área de outro tem como lado a diagonal do primeiro — não o dobro do lado (que quadruplicaria a área). A aplicação calcula a nova área, o novo lado (exato e com cotas) e compara com o erro de dobrar o lado.
Fonte: [1]
Como usar: aplicação resolvida
<strong>Modelo hipotético</strong> (não são dados reais): um canteiro quadrado tem 2,5 m de lado. Outro canteiro quadrado deve ter o dobro da área. Qual deve ser o seu lado?
Modelo: Se o novo quadrado tem área 2ℓ², seu lado é ℓ√2: a diagonal do canteiro original (duplicação do quadrado, tema). Dobrar o lado quadruplicaria a área.
- Área original: 2,5² = 6,25 m²; nova área: 12,5 m².
- Novo lado: 2,5·√2 m, com 3,535 < 2,5√2 < 3,5375 (1,414 < √2 < 1,415).
- Dobrar o lado (5 m) daria área 25 m²: o quádruplo.
Resultado: Lado 2,5√2 m ≈ 3,535 m (aproximação por falta).
Leitura crítica: Modelo hipotético. A construção exata do novo lado é geométrica (a diagonal do canteiro original, transportada com uma corda); a medida decimal é sempre aproximada.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.