MatLabG · Experiência
Densidade e escala: razão com unidade × razão sem unidade
Um município hipotético com área urbana e rural e um mapa quadriculado: o que a densidade demográfica informa e esconde, e por que a escala não tem unidade — mas as áreas crescem com o seu quadrado.
Relação com o Laboratório Virtual G
Teoria e experimentação: explorar todos os vínculosPergunta científica
O que uma razão entre grandezas de espécies diferentes (como habitantes por km²) informa e o que ela esconde — e em que ela difere de uma razão de mesma espécie, como a escala?
Execução restrita
No modo densidade, o território de um município hipotético é uma malha: a área urbana (sombreada) ocupa uma fração do território e abriga uma fração da população; os pontos de cada célula são proporcionais à densidade da parte. Preveja a densidade do município todo antes de revelar: ela não é a média das densidades das partes e não descreve nenhuma delas. No modo escala, um segmento e um quadrado num mapa 1 : n: calcule a distância e a área reais. A escala compara centímetro com centímetro — mesma espécie, sem unidade — e as áreas ficam multiplicadas por n², enquanto a densidade divide habitantes por km² e tem unidade.
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Conexões com a realidade e com outras áreas
Cada conexão traz uma aplicação resolvida: a situação, o modelo, o cálculo passo a passo e uma leitura crítica do resultado. Mude os dados para recalcular.
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Química
Densidade de um material: massa pelo volume
A densidade de um material é a razão massa ÷ volume (g/cm³). Com ela, a massa de outro bloco do mesmo material sai só do volume: massa e volume são diretamente proporcionais, e a densidade é a constante. A aplicação calcula a massa de um bloco retangular a partir das medidas e da densidade.
Como usar: aplicação resolvida
Um bloco de 2 cm × 3 cm × 5 cm é feito de um material de densidade 2,7 g/cm³ (o exemplo do tema). Qual é a sua massa? E a de um bloco do mesmo material com o dobro de cada medida?
Modelo: Densidade = massa ÷ volume, então massa = densidade × volume (massa diretamente proporcional ao volume, com a densidade como constante). Volume do bloco = a·b·c.
- Volume: 2 · 3 · 5 = 30 cm³.
- Massa: 2,7 · 30 = 81 g.
- Dobro de cada medida: volume 240 cm³ (× 8) e massa = 648 g — × 8, não × 2.
Resultado: Massa 81 g; com as medidas dobradas, 648 g.
Leitura crítica: A densidade é uma média: vale para blocos maciços e homogêneos. Objetos ocos ou com bolhas têm massa menor que densidade × volume externo. Dobrar as medidas multiplica o volume por 2³ = 8, e a massa acompanha o volume.
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Arquitetura
Planta baixa: medidas e áreas reais
Plantas baixas usam escalas como 1 : 50. As medidas reais saem da planta multiplicando por 50 (e convertendo a unidade); as áreas, multiplicando por 50². A aplicação calcula as medidas e a área reais de um cômodo a partir da planta.
Como usar: aplicação resolvida
Numa planta baixa na escala 1 : 50, uma sala mede 9 cm × 7 cm. Quais são as medidas reais e a área real da sala?
Modelo: Escala 1 : n (mesma unidade): medida real = n × medida na planta; área real = n² × área na planta. 1 m = 100 cm; 1 m² = 10 000 cm².
- Medidas reais: 9 · 50 = 450 cm = 4,5 m; 7 · 50 = 350 cm = 3,5 m.
- Área real: 4,5 · 3,5 = 15,75 m².
- Pela área: 63 cm² na planta × 50² = 157500 cm² = 15,75 m² (÷ 10 000).
Resultado: Sala de 4,5 m × 3,5 m, com 15,75 m².
Leitura crítica: A escala compara comprimento com comprimento (sem unidade): os comprimentos ficam × 50 e as áreas × 50². Multiplicar a área da planta só por 50 é o erro mais comum. Plantas reais indicam cotas; a escala serve para conferir e para medir o que não está cotado.
Referências
- BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2018.
- OECD. PISA 2022 assessment and analytical framework. Paris: OECD Publishing, 2023.